Нелокальные эллиптические операторы возникают во многих задачах, связанных с некоммутативной геометрией. Например, А.Конн изучал дифференциальные операторы на некоммутативном торе и, в частности, получил формулу индекса для них. Коэффициенты этих операторов включают операторы сдвига, индуцированные иррациональными вращениями. Более общие примеры нелокальных операторов связаны с деформациями алгебр функций на торических многообразиях (Конн–Ланди).

В связи с этими примерами естественно возникает интерес к общим нелокальным эллиптическим операторам на гладком замкнутом многообразии, коэффициенты которых содержат операторы сдвига, порожденные действием некоторой дискретной группы диффеоморфизмов. Мы предлагаем формулу индекса для операторов такого типа. При этом, оказывается, что символ нелокального оператора является элементом некоторой некоммутативной алгебры, и поэтому для получения формулы индекса надо использовать язык и методы некоммутативной геометрии.