|
Совместная работа с Дасибергом Гонсалвесом (Бразилия) и Хайнером Цишангом (Германия), 2006 г.
Квадратные уравнения в свободных группах возникают при изучении задачи о неподвижных точках и точках совпадения отображений.
Задача совпадения для пары отображений
f, g : Xn → Yn
состоит в нахождении минимального числа точек совпадения
MC[f,g] := min |{ x ∈ X : f′(x) = g′(x) }|
среди всех пар отображений f′, g′ ,
гомотопных отображениям f, g . Метод Нильсена (1927) вводит отношение эквивалентности на множестве точек
совпадения и определяет индексы этих классов. Нильсенское число совпадения NC[f,g] — это число классов
Нильсена точек совпадения, имеющих ненулевой индекс. При n ≠ 2 имеем
MC[f,g] = NC[f,g] (Векен, 1941; Ширмер, 1955). Однако для
отображений поверхностей возможно неравенство MC[f,g] > NC[f,g] , и задача совпадения
не решена.
В свободной группе F = < a,b | > рассмотрим квадратное
уравнение
xyxεy-1 = vBθv-1B ,
где
B := abaδb-1 ,
ε,δ,θ ∈ {1,-1} ,,
с параметром v ∈ F и двумя неизвестными x ∈ N,
y ∈ F, где N = << B >> —
минимальная нормальная подгруппа в F , содержащая элемент B. Решению такого
уравнения отвечает пара отображений поверхностей (тора, бутылки Клейна), имеющая две точки совпадения одного класса Нильсена,
а элемент v характеризует «различие» этих точек. Из исходного уравнения выведены
два уравнения в фактор-группах N / [N,N] = Z[π] и
[N,N] / [F,[N,N]] = Z[π \ {1}] / (g ∼ -g-1) ,
где π := F / N . Получены необходимые условия, при которых исходное уравнение имеет решение,
в терминах «проекций» правой части уравнения в эти фактор-группы.
|
