Изначальное определение одного из самых знаменитых в последнее время инвариантов узлов — гомологий Хованова — было чисто комбинаторным. В дальнейшем Д.Бар-Натан привел более наглядное определение, опирающееся на кобордизмы двумерных поверхностей в четырехмерном пространстве и «комплексы кобордизмов». Это позволило дать простое доказательство (проективной) функториальности гомологий Хованова (недавно С.Моррисоном была доказана точная функториальность). В понимании многих свойств гомологий Хованова важную роль играет понятие атома, предложенное А.Т.Фоменко.

В докладе будет рассказано о гомологиях Хованова как классических узлов, так и узлов в утолщениях двумерных поверхностях — с комбинаторной и топологической точек зрения, а также о дополнительных структурах, которые на комплексе возникают (в том числе о дополнительных топологических градуировках, предложенных недавно докладчиком). Будут описаны различные приложения.