В докладе будет рассказано об одной из выдающихся конструкций современной теории узлов — гомологиях Хованова. Каждому узлу сопоставляется цепной биградуированный комплекс, гомологии которого оказываются инвариантами исходного узла. Эйлерова характеристика гомологий Хованова совпадает с полиномом Джонса. Гомологии Хованова имеют приложения к различным геометрическим задачам: оценке количества перекрестков, оценке рода Зейферта и др.

Важным инструментом для понимания полинома Джонса и гомологий Хованова узлов является конструкция атома, предложенная А.Т.Фоменко для кодирования интегрируемых гамильтоновых систем малой сложности.

Оказывается, посредством атомов гомологии Хованова естественно продолжаются на более широкий класс объектов — виртуальные узлы (Л.Кауфман), которые с топологической точки зрения представляют собой узлы в утолщенных двумерных поверхностях.

Будет рассказано о теории Хованова для классических и виртуальных узлов, приведены различные приложения и обобщения; сформулирован ряд нерешенных задач.