|
Изучается задача пересечения для пары непрерывных отображений
fi : Mi → M
замкнутых двумерных поверхностей Mi ,
i = 1 , 2 ,
в четырехмерное многообразие M .
Рассматривается множество точек пересечения
int (f1,f2) := { (x1,x2) ∈ M1 × M2 | f1(x1) = f2(x2) } .
Требуется определить, насколько «большим» должно быть это множество.
Более точно, ищется минимальное число точек пересечения:
MI [f1,f2] := min |int (f1',f2')| ,
где минимум берется по всем парам отображений f1', f2' ,
гомотопным данным отображениям f1, f2.
Для решения этой задачи методом Нильсена вводится отношение эквивалентности на множестве
int (f1,f2) .
Число Нильсена NI [f1,f2]
определяется равным числу «существенных» классов эквивалентности. Мы доказываем равенство
MI [f1,f2] = NI [f1,f2] .
Аналогичное равенство в случае отображений более высокой размерности
( dim M1, dim M2 ≥3 ,
dim M = dim M1 + dim M2 )
доказывается с помощью трюка Уитни (Кервер [1965], Милнор [1965]), а в случае
max { dim M1, dim M2 } ≥ 3
оно было доказано с помощью более тонкой техники (McCord [1997]).
В случае низких размерностей задача пересечения была недавно решена
(Богатый, Гонсалвес, Кудрявцева, Цишанг [2001–2005]) в случаях
( dim M1, dim M2 ) ∈ { (0,2), (1,1) }
(задача корней для отображений поверхностей и задача пересечения кривых на поверхностях). В этих случаях
существуют пары отображений, для которых
MI [f1,f2] > NI [f1,f2] .
Остались нерешенными задача пересечения в случае
( dim M1, dim M2 ) = (1,2)
и задача самопересечения для отображения
двумерной поверхности в четырехмерное многообразие.
|
