|
Изучается задача пересечения для пары замкнутых кривых
γ1, γ2 : S1 → M
на двумерной поверхности M . Рассматривается множество точек пересечения
int (γ1,γ2) := { (t1,t2) ∈ S1 × S1 | γ1(t1) = γ2(t2) } .
Требуется определить, насколько «большим» должно быть это множество.
Более точно, ищется минимальное число точек пересечения:
MI [γ1,γ2] := min |int (γ1',γ2')| ,
где минимум берется по всем парам кривых γ1', γ2' ,
гомотопным данным кривым γ1, γ2.
Для решения этой задачи методом Нильсена вводится отношение эквивалентности на множестве
int (γ1,γ2) .
Число Нильсена NI [γ1,γ2]
определяется равным числу существенных классов эквивалентности. Легко проверяется неравенство
MI [γ1,γ2] ≥ NI [γ1,γ2] .
Аналогичное неравенство в случае более высокой размерности обращается в равенство (это доказывается с помощью трюка Уитни).
Однако в случае кривых на поверхности это, вообще говоря, не так.
В частности, мы доказываем равенства
MI [γk,γm] = 2 |km| NI [γ] + min (|k|,|m|) ,
NI [γk,γm] = 2 |km| NI [γ] + gcd (k,m) ,
для любых нечетных чисел k,m и любой замкнутой кривой
γ : S1 → M ,
меняющей ориентацию и не гомотопной собственной степени никакой замкнутой кривой.
Здесь NI [γ] обозначает число Нильсена
для задачи самопересечения замкнутой кривой γ .
Аналогично решается задача самопересечения кривых на поверхностях.
|
