13.03.2006
А.Б.Скопенков
«Дебют Гаусса»

Будет рассказана идея элементарного доказательства следующей теоремы Гаусса о возможности построения правильных многоугольников.

Теорема Гаусса.  Калькулятор (вычисляющий числа с абсолютной точностью) имеет кнопки " 1 ", " + ", " - ", " × ", " : ", " √ " (и неограниченную память). Тогда на этом калькуляторе можно вычислить число  cos(2π/n),  где  n = 2α p1 … pm,  и  p1, …, pm  — различные простые числа вида  22s + 1.

Предложенное доказательство элементарно и не использует понятия группы Галуа (и даже группы), однако его идея является основной идеей теории Галуа («группируй и властвуй»). Это доказательство известно в математическом фольклоре (и в неявном виде содержится в оригинальной работе Гаусса). Однако докладчику не удалось найти его в явном виде в литературе (в которой, впрочем, имеется элементарное доказательство построимости правильного 17-угольника, дающее некоторое представление об общем случае).

Невозможность построения других правильных многоугольников не будет доказана.