Формула Хирцебруха связывает сигнатуру многообразия с некоторым характеристическим классом того же многообразия. А именно, формула Хирцебруха имеет следующий вид: $$\sign X = 2^{2k}\left\langle L(X),[X] ight angle,$$ Где характеристический класс (X)$ есть так называемый мультипликативный род Хирцебруха, который задается формулой $(X)=\prod_{j}rac{t_{j}/2}{ angh (t_{j}/2)},$$ а образующие {j}$ -- такие формальные образующие Ву, что $$\sigma_{k}(t_{1}^{2},\dots,t_{n}^{2})=p_{k}(X).$$ {k}(X)$ суть целочисленные классы Понтрягина. Ключевым моментом в формуле Хирцебруха является то обстоятельство, что ее левая часть выражается исключительно в гомотопических терминах, в то время как правая часть есть инвариант гладкой структуры многообразия, точнее инвариантом ориентируемых бордизмов гладких многообразий. Это значит, что если два гладких многообразия являются гомотопически эквивалентными, и, значит, имеют, вообще говоря, различные классы Понтрягина, тем не менее род Хирцебруха, как некотрый многочлен от классов Понтрягина, принимает одно и то же значение. Это обстоятельство породило много естественных проблем, некотрые из которых привели к глубоким результатам, а другие до сих пор остаются нерешенными. В докладе будет, в частности, рассказано о недоказанной до сих пор гипотезе Новикова о гомотопической инвариантности высших сигнатур и о коротком естественном доказательстве теоремы Новикова о тополгической инвариантности рациональных классов Понтрягина, которое представил М.Громов на основе гомотопической инвариантности некоторых высших сигнатур.