Я расскажу о паре проблем интегральной геометрии, которые явно "зажились" в качестве нерешенных. Ограниченная область в R^n с гладкой границей называется алгебраически интегрируемой, если объемы, отсекаемые от нее всевозможными аффинными гиперплоскостями, являются алгебраической функцией на пространстве всех этих гиперплоскостей. Ньютон доказал, что в R^2 не бывает выпуклых алгебраически интегрируемых областей, а согласно Архимеду шар в R^3 алгебраически интегрируем; легко проверить также, что интегрируемы всевозможные эллипсоиды в нечетномерных пространствах. Две задачи, пока не решенные в полной общности, таковы: 1. Существуют ли алгебраически интегрируемые овалы в четнометрных пространствах? 2. Существуют ли алгебраически интегрируемые овалы в нечетномерных пространствах, кроме эллипсоидов? Я расскажу о подходах к решению этих задач и о частичных результатах. Например, ни в каких четномерных пространствах не существует выпуклых овалов, а в R^2 не существует и невыпуклых. Если они (помимо эллипсоидов) и существуют в нечетномерных пространствах, то должны удовлетворять крайне сильным ограничениям на геометрию комплексификации границы области. Мне представляется, что имеющейся на сегодняшний день теории достаточно для решения этих двух задач, и завершение доказательств - задача скорее олимпиадного типа, которая может поддаться изобретательному и технически сильному энтузиасту.