Пусть G - связная простая компактная группа Ли с тривиальным центром. Триадой в группе G называется тройка сопряженных инволютивных элементов s_1, s_2, s_3, удовлетворяющих условию s_1s_2s_3=e (т.е. вместе с единицей составляющих четверную группу Клейна). Порядок элементов в триаде несуществен, так как простое геометрическое рассуждение (принадлежащее А.Н. Минченко) показывает, что любая их перестановка реализуется некоторым внутренним автоморфизмом группы G. Простейшим и исходным примером триады является множество диагональных матриц (кроме единичной) в группе SO_3. Ясно, что триада в любой подгруппе Hsubset G является триадой в G. В частности, всякая подгруппа, изоморфная SO_3 (мы в дальнейшем будем называть такие подгруппы SO_3-подгруппами), определяет триаду в G. Однако несопряженным SO_3-подгруппам могут отвечать сопряженные триады. Назовем SO_3-подгруппу короткой, если размерности неприводимых компонент ее присоединенного представления в касательной алгебре Ли группы G не превосходят 5 (т.е. равны 1,3 или 5). Классификация коротких SO_3-подгрупп легко может быть извлечена из классификации всех 3-мерных простых подалгебр простых алгебр Ли, полученной Е.Б. Дынкиным. Путем классификации триад и ее сравнения с классификацией коротких SO_3-подгрупп докладчик в 2005 г. установил, что всякая триада содержится в короткой SO_3-подгруппе, определенной однозначно с точностью до сопряженности, а недавно А.Н. Минченко получил простое априорное доказательство этого факта. В серии работ 1960-х гг. Л.В. Сабинин изучал однородные пространства, названные им трисимметрическими. В предыдущих терминах они могут быть описаны как однородные пространства G/H, где H - подгруппа, нормализуемая некоторой триадой и содержащая ее централизатор. Сабинин классифицировал все несимметрические трисимметрические пространства и, тем самым, частично классифицировал триады. Другой тип геометрий, связанных с триадами, обобщает эллиптические плоскости над полями R и C и телом кватернионов H. А именно, для любой триады s_1,s_2,s_3in G рассмотрим симметрическое пространство X=G/K, где K=Z_G(s_1). Тогда s_1 - это симметрия относительно точки o=eK этого пространства, а s_2 - симметрия относительно некоторой другой точки p. Назовем точки x,yin X ортогональными, если пара (x,y) G-эквивалентна паре (o,p). Множество точек, ортогональных какой-либо точке, назовем ее полярой. Это связное вполне геодезическое подмнообразие половинной размерности, изоморфное K/L, где L=Z_K(s_2). Поляры точек будем называть прямыми. Отображение точка -> поляра биективно и сохраняет отношение инцидентности. В этом смысле пространство X можно называть квазиэллиптической плоскостью. Любые две точки общего положения принадлежат одному и тому же конечному числу d прямых, называемому степенью данной квазиэллиптической плоскости, и, по двойственности, любые две прямые общего положения пересекаются по d точкам. Геометрии такого типа изучались в 1980-90-е гг. в работах Б.И. Ченя, Т. Нагано и К. Атсуямы. Анализируя градуировку касательной алгебры g группы G, определяемую триадой, можно каноническим образом построить некоторую неассоциативную алгебру J с инволюцией так, что касательное пространство T_o(X) естественно отождествляется с Joplus J. Это позволяет называть X квазиэллиптической плоскостью над J. Сама алгебра Ли g при этом в некотором обобщенном смысле оказывается алгеброй косоэрмитовых матриц третьего порядка над J. В случае, когда J - тензорное произведение двух композиционных алгебр, такие алгебры Ли были построены докладчиком в 1964 г., что пролило некоторый свет на гипотезу Б.А. Розенфельда о существовании проективных (или, более точно, эллиптических) плоскостей над тензорными произведениями алгебры октав на композиционные алгебры. В настоящее время можно считать, что гипотеза Розенфельда в ее правильном понимании доказана. Более того, оказалось, что все симметрические пространства особых групп Ли являются квазиэллиптическими плоскостями над некоторыми неассоциативными алгебрами (не обязательно тензорными произведениями композиционных алгебр). Неассоциативные алгебры описанного выше типа впервые появились (несколько в другой связи) в работах И.Л. Кантора в 1960-70-е гг. Впоследствии их аксиоматическая теория была построена Б.Н. Аллисоном.