Доклад посвящен одному из важных вопросов классической геометрии - теории изгибаний и бесконечно малых (б.м.) изгибаний поверхностей. Эти вопросы рассматриваются для поверхностей вращения в полном диапазоне классов гладкости от класса C^1 до аналитической гладкости как для самих поверхностей, так и для их полей изгибаний. Сначала будет рассмотрен вопрос о существования и единственности б.м. изгибаний в малой окрестности полюса в классе гладкости C^1. Затем в аналитическом классе устанавливаются простые признаки жесткости и неизгибаемости компактных поверхностей вращения в зависимости от значений целочисленных характеристик, связанных с порядками уплощений поверхности в ее полюсах. Вместе с тем показывается, что в неаналитических случаях существуют нежесткие поверхности с любыми наперед заданными порядками уплощений в полюсах.