Хорошо известна следующая конструкция, принадлежащая Д.Бар-Натану: по трехвалентному графу Г и алгебре Ли G строится число, получаемое сверткой тензора структурных констант алгебры G согласно этому графу. Среди трехвалентные графов особую роль играют так называемые хордовые диаграммы - графы, состоящие из одного ориентированного цикла, проходящего через все вершины, и набора неориентированных ребер-хорд, соединяющих точки на цикле. На хордовых диаграммах имеется так называемое четырехчленное соотношение, благодаря которому они приобретают структуру алгебры Хопфа. Эта алгебра связана с инвариантами Васильева узлов: каждой функции на хордовых диаграммах, удовлетворяющей четырехчленному соотношению, соответствует инвариант Васильева. Оказывается, что многие известные функции из теории графов удовлетворяют этому соотношению и, следовательно, задают инварианты Васильева. В частности, таковыми являются и функции, получающиеся согласно конструкции Бар-Натана, по той причине, 4T-соотношение соответствует тождеству Якоби. Эта конструкция (и ее обобщение, связанное не только с алгеброй Ли, но и с ее представлением) дает одно из описаний инвариантов узлов, связанных с алгебрами Ли - квантовых инвариантов. В настоящем докладе мы затронем два вопроса. 1. Дан четырехвалентный граф, у которого в каждой вершине четыре исходящих полуребра разбиты на две пары (формально) противоположных. В какие двумерные поверхности можно вложить этот граф, чтобы соотношение противоположности сохранялось, а поверхность была разбита на диски способом, допускающим шахматную раскраску? 2. Какими свойствами будут обладать функции на хордовых диаграммах, получающиеся из присоединенного представления алгебры sl(n) посредством конструкции Бар-Натана? Оказывается, задачи 1 и 2 тесным образом связаны: производщая функция для вложений графов в двумерные поверхности "похожа" на функцию на некоторых соответствующих графам хордовую диаграмму. Будет упомянута связь этой теории с другими комбинаторными конструкциями, в частности, с работой Бар-Натана про проблему четырех красок и алгебру so(3). Будет сформулирован ряд задач, одна из которых - переформулировка задачи 1 - звучит следующим образом: Дана симметричная матрица M размера nxn над полем из двух элементов. Нужно разбить множество индексов {1,...,n} матрицы M на два подмножества I и J и описать всевозможные значения, которые пробегает сумма рангов соответствующих квадратных матриц M_{I} и M_{J}. В частности, матрицы с суммой рангов 0, т.е. с двумя нулевыми блоками по диагонали, соответствуют так называемым d-диаграммам, которые играют ключевую роль в ряде задач теории узлов и теории графов.