Индекс эллиптического оператора на компактном многообразии вычисляется в виде знаменитой формулы Атья-Зингера. На эту тему был доклад профессора Б.Ю.Стернина на семинаре в апреле 2010 года (http://dfgm.math.msu.su/seminars.php?comments=10114). Я же расскажу о различных обобщениях теории эллиптических операторов и теории индекса преимущественно для некомпактных многообразий с точки зрения C*-алгебр. Частично этот рассказ пересекается с моим же докладом о формуле Хирцебруха на этом же семинаре в 2010 году (http://dfgm.math.msu.su/seminars.php?comments=1019). Но за прошедшее время произошли события, которые позволяют поновому взглянуть на проблему. Примерный план доклада: 1) Замена стандартного поля скаляров на C*-алгебру. 2) Экскурс в теорию C*-модулей над C*-алгебрами. a) Свободные и проективные конечно-порожденный модули C*-модули. b) C*-аналог классического гильбертова модуля. c) C*-аналог классического компактного оператора. d) C*-аналог классического фредгольмова оператора. Операторы Нетеровы и Фредгольмовы. e) Индекс фредгольмова C*-оператора. 3) C*-аналог формулы индекса для эллиптических операторов. a) C*-аналог классического векторного расслоения. b) C*-аналог классического характера Черна. c) Формула индекса для C*-эллиптических ПДО. 4) Некомпактные многообразия с кокомпактным действием дискретной группы. a) Свободные действия. b) Собственные действия. c) Действия групп Ли (Троицкий и др.) d) Краткий обзор других работ.