Эллиптический дифференциальный оператор на гладком замкнутом многообразии является фредгольмовым и, следовательно, определен его индекс - целое число, равное разности размерностей ядра и коядра оператора. Индекс является гомотопическим инвариантом оператора, и, в своё время, И.М. Гельфанд поставил задачу вычисления индекса в топологических терминах. Эта проблема была решена Атьёй и Зингером. Именно, они выразили индекс в терминах класса когомологий, отвечающего коэффициентам оператора (его символа) и характеристических классов многообразия. Для конкретных операторов (Эйлера, сигнатуры, оператора Дирака и др.), отвечающих геометрическим структурам на многообразии, формула Атьи-Зингера даёт явные выражения для индекса через характеристические классы структуры, определяющие эти операторы. Более того, она, в частности, даёт объяснение целочисленности соответствующих родов. Цель доклада - рассказать о теореме Атьи-Зингера. Предполагается, что все необходимые сведения из анализа и топологии будут сообщаться в ходе доклада. В то же время, знакомство с элементами К-теории приветствуется.