При исследовании топологических пространств нам очень часто приходится делать заключения о структуре пространства, основываясь на свойствах алгебры его функций. Например, можно сказать, что когомологии де Рама, один из основных и наиболее популярных топологических инвариантов гладкого многообразия, зависят только от структуры алгебры гладких функций многообразия. (Строго сформулировать это утверждение можно, воспользовавшись понятием циклических гомологий). Есть аналогичные примеры и в других отраслях математики - в частности, понятие пуассоновой структуры на многообразии можно сформулировать, как структуру алгебры Ли на алгебре гладких функций многообразия, на этом же языке можно сформулировать и интегрируемость гамильтоновой системы и многое другое. Все эти важные понятия являются в значительной степени алгебраическими и могут быть исследованы при помощи современной алгебраической машинерии. Конечно, набор инвариантов и конструкций такого рода довольно ограниченный, хотя и позволяет получить многие важные результаты. Отметим, что большинство этих методов традиционно применимы только к коммутативным алнгебрам (на использовании «геометрических» свойств таких алгебр основана большая часть современной алгебраической геометрии). С другой стороны, с топологическими пространствами часто можно связать большое количество важных некоммутативных алгебр, к которым, по определению, методы коммутативной алгебры неприменимы.

Идея, стоящая за некоммутативной геометрией довольно проста: если мы часто можем описывать топологические пространства при помощи тех или иных конструкций, применяемых к алгебрам их функций, то, быть может мы сможем получить полезные сведения, исследуя некоммутативные алгебры таким образом, как будто пытаемся исследовать алгебры функций на некоторых «некоммутативных», или «квантовых» пространствах. На первый взгляд, идея кажется достаточно дикой, но при подробном изучении, ее использование приносит довольно много пользы, как для установления свойств некоммутативных алгебр, так и для обычной топологии - как мы уже говорили, с самым обычным пространством часто можно ассоциировать большое количество важных некоммутативных алгебр. Отдельно надо упомянуть о важности таких работ с точки зрения физики, точнее, квантовой механики и смежных дисциплин.

Основная часть моих исследований посвящена важному разделу некоммутативной геометрии -- теории циклических гомологий и когомологий. Эта теория играет в «некоммутативном мире» роль теории де Рама для «нормальных» пространств. Впервые эти гомологии были рассмотрены в начале 80-х годов А.Конном и независимо Б.Цыганом. С тех пор понятие неоднократно обобщалось и расширялось, так что последние версии этой теории позволяют рассматривать циклические гомологии, эквивариантные по отношению к действию алгебры Хопфа. Этим когомологиям посвящены наши совместные работы с И.Никоновым (см. список работ). С другой стороны, как объяснялось выше, применение подобных методов к некоммутативным алгебрам, ассоциированным с обычными пространствами может оказаться полезным для «традиционной» топологии. В моем случае это позволило построить характеристические классы главных расслоений по функциям переклейки этого расслоения, как обычные классы Чженя–Вейля, так и класс Бисмю.

Помимо перечисленных тем, я активно интересуюсь элементарной математикой, прежде всего, евклидовой (школьной) геометрией.