Михаил Афанасьевич Булгаков — гениальный русский писатель, некоторые произведения которого были долго и незаслуженно замолчаны. Когда в СССР впервые стал готовиться к публикации его замечательный роман «Мастер и Маргарита», в издательских кругах обсуждалась идея снабдить его иллюстрациями. Возникла идея проведения неформального конкурса художественных работ. Для меня было приятной неожиданностью оказаться среди тех, кому предложили в нем участвовать, хотя я — математик, увлекавшийся в то время живописью, а не профессиональный художник. (К тому времени у меня было несколько выставок и некоторые работы были опубликованы.) Для этого готовившегося издания «Мастера и Маргариты» я сделал несколько десятков иллюстраций. Однако по каким-то причинам конкурс не состоялся, и первое издание романа вышло вообще без иллюстраций. С тех пор прошло много лет. Роман был неоднократно переиздан, в том числе и с прекрасными иллюстрациями разных художников.

Несколько слов о характере моих иллюстраций.

Я — профессиональный математик и не имею специального художественного образования (рисовать меня научила моя мать Валентина Поликарповна). Однако в моей жизни был период (довольно продолжительный и закончившийся в конце 80-х годов), когда мне довелось проиллюстрировать некоторые математические книги, — как мои собственные, так и моих коллег-математиков, — графическими работами на темы математики. Таких монографий и учебников набралось довольно много — около двух десятков. Дело в том, что геометрическое воображение и интуиция играют огромную роль в современных математических исследованиях, в особенности, связанных с математической физикой, геометрией, топологией. Бывает так, что доказательство строгого математического факта удается сначала «разглядеть» лишь в неформальных геометрических образах, и только потом удается оформить как аккуратное логическое рассуждение. Оказалось также, что и при чтении лекций по математике часто бывает полезным проиллюстрировать сложное математическое доказательство неформальными изображениями. Это помогает студентам быстрее вникнуть в суть проблемы. В этом смысле многие мои графические работы имеют прикладной характер. Таким образом, именно математика и преподавание в МГУ привели меня в свое время к созданию графических работ. Это была попытка как бы сфотографировать изнутри увлекательный мир геометрии и топологии. Многие мои графические листы основаны на математических идеях и теоремах, либо изображают реальные физические процессы и важные математические понятия.

В то же время часть моих работ возникла на границе математики и других областей знания и искусства. Таковы, например, мои работы, навеянные замечательным романом Михаила Афанасьевича Булгакова «Мастер и Маргарита». Некоторые мои графические работы вообще не связаны напрямую с математикой и отражают совсем другие мысли. Однако «математический налет» присутствует всюду и, вероятно, такая неожиданная комбинация ощущается зрителями.

Мои графические и живописные работы многократно выставлялись на выставках, организованных в разные годы различными энтузиастами в научных и учебных центрах Москвы, Ленинграда (Санкт-Петербурга), Киева, Новосибирска, Свердловска и других городов. Мои персональные официальные выставки происходили также в художественных музеях Челябинска, Магнитогорска, Магадана. Голландское издательство Reidel (потом Kluwer) организовало большую персональную выставку в Амстердаме. Кроме подобных персональных выставок (всего их насчитывается около 100), работы участвовали в известных всесоюзных и международных выставках, например: «Ученые рисуют» (1982 г.) и «Время-пространство-человек» (1980 г.), экспонировавшихся во многих городах страны и за рубежом.

На киностудии «Союзмультфильм» в 1988 году режиссером В.И.Тарасовым был создан с широким использованием моих работ получасовой мультфильм «Перевал» по повести К.Булычёва. Довольно много работ было также использовано в двухсерийном телефильме Т.А.Лебедевой «Мир и война» (Центральное телевидение).

Ввиду отсутствия специального художественного образования, я не ограничивал себя рамками какого-либо одного жанра. Возможно, определенное влияние оказали мои любимые художники Босх, Брейгель, Дюрер, Дали, Эшер, Беклин, хотя сознательного подражания им никогда не было. Все работы выполнены «от руки», то есть без использования компьютерной графики.

Роман М.А.Булгакова очень глубок. В частности, в его части, говорящей о Христе, встечаются любопытные старинные сведения. Отметим, например, такой интересный штрих. По-видимому, подлинная дата распятия Христа в той или иной форме долго сохранялась в литературе, объявленной затем апокрифической. В частности, крещение Руси апостолом Андреем, — как считается, в самом конце X века, — иногда напрямую связывалось во времени с распятием Христа. Эту традицию и отразил М.А.Булгаков, литературно обработав многочисленные апокрифические сказания о Христе. М.А.Булгаков в последней, 32-й главе «Прощение и вечный приют» своего романа, рассказывает, что покидая Москву в конце 30-х годов (более точно, роман был завершен в 1940 году), Воланд со свитой посещает римского прокуратора Иудеи Понтия Пилата, одиноко отбывающего наказание на скале в пустынной местности. И тогда Маргарита, пораженная длительностью наказания Пилата, спрашивает Воланда: «ДВЕНАДЦАТЬ ТЫСЯЧ ЛУН за одну луну когда-то, не слишком ли это много?»

Выражение «прошло столько-то лун» хорошо известно. Имеется в виду, что от какого-то события прошло некоторое число лунных месяцев, так называемых синодических месяцев. Такой месяц-«луна» равен 29.5 суток [«Советский Энциклопедический Словарь» – М., Советская Энциклопедия, 1984, с. 792]. Но в таком случае получается, что от распятия Христа до 1940 года прошло 12000 лун, то есть 970.8 лет. Откладывая эту величину назад от 1940 года, года завершения романа М.А.Булгакова, получаем примерно 969 год н.э. Если же считать, что имелся в виду звездный лунный месяц, равный 27.3 суток [см. там же], то в качестве даты распятия Христа получится 1043 год н.э. Так или иначе, но традиция, — которую в слегка завуалированной форме озвучил М.А.Булгаков, — указывает на распятие Христа либо в конце X века, либо в XI веке. Конечно, отмеченное обстоятельство само по себе ничего не доказывает, однако в ряду фактов, становящихся теперь известными, оно становится вполне понятным. (Подлинная дата распятия Андроника-Христа такова: 1185 год. Подробности на эту тему см. в книге Г.В.Носовского и А.Т.Фоменко «Царь Славян»).

Но вернемся к иллюстрациям. Конечно, они не претендуют на какую-либо объективность, а отражают индивидуальное восприятие замечательного романа «Мастер и Маргарита». Сколько читателей — столько и мнений. Мои работы отражают то восхищение и уважение, которые возбудил роман среди студентов механико-математического факультета МГУ тех лет.

РИСУНКИ К РОМАНУ БУЛГАКОВА «МАСТЕР И МАРГАРИТА»

Рисунки расположены в порядке, соответствующем тексту романа. Цитаты из романа и ссылки на страницы даны по изданию романа Булгакова 1999 года: Москва, Интрейд Корпорейшн.

БУЛГАКОВ: Выход Понтия Пилата для суда над Иешуа

«В белом плаще с кровавым подбоем, шаркающей кавалерийской походкой, ранним утром четырнадцатого числа весеннего месяца нисана в крытую колоннаду между двумя крыльями дворца Ирода Великого вышел прокуратор Иудеи Понтий Пилат.

Более всего на свете прокуратор ненавидел запах розового масла…»

(с. 27)

БУЛГАКОВ: Суд Понтия Пилата

«Прокуратор дернул щекой и сказал тихо:

— Приведите обвиняемого.»

(с. 28)

МАТЕМАТИКА: ОПЕРАЦИЯ РАЗРЕЗАНИЯ ПОВЕРХНОСТИ

В топологии и геометрии часто используется разрезание многообразия вдоль какого-то подмногообразия. Если разрезается двумерная поверхность вдоль гладкой кривой, то получается поверхность с краем. Кривая порождает два берега разреза. Затем многообразие можно перестроить, приклеив к этим берегам другую поверхность (по какому-то отображению границы). Видно, как две человеческие фигуры раздвигают два берега получившегося разреза.

МИФОЛОГИЯ

Древняя обсерватория. Прообразы современных обсерваторий сегодня находят во многих древних культурных центрах. Жрецы раздвигают купол, чтобы начать наблюдения над ночными светилами. Исследование и толкование движения ярких планет составляли важнейшую часть астрологии, из которой выросла астрономия. Чрезвычайно распространенным мотивом является представление о людях, переместившихся на небо и ставших там звездой или созвездием. Так объясняется происхождение большого числа созвездий и многих звезд в греческой мифологии. В кельтской системе мира и легендах селькупов (одного из самодийских народов) звезды считаются корнями деревьев, растущих на «верхнем небе». В Евразии был распространен мотив звезды (или созвездия) как собаки, посаженной на цепь и стремящейся сорваться с цепи, что опасно для всего мироздания.

БУЛГАКОВ: Суд Понтия Пилата

«И сейчас же с площадки сада под колонны на балконе двое легионеров ввели и поставили перед креслом прокуратора человека лет двадцати семи. Этот человек был одет в старенький и разорванный голубой хитон.»

(с. 28)

МАТЕМАТИКА: АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ С ГЕОМЕТРИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ

Для вычисления групп гомологий, — топологических инвариантов полиэдров, — требуется предварительно разбить полиэдр в объединение «элементарных кусков». Например, симплексов. Идея выделения внутри исследуемого пространства простейших «блочных» структур и проиллюстрирована рисунком. Затем наступает алгебраический этап. Изучая примыкания друг к другу таких «блоков», вычисляются группы цепей с граничным оператором, что позволяет в итоге вычислить искомые инварианты.

МИФОЛОГИЯ

Ночной суд, военный трибунал, показательный процесс. Жрецы согнали народ наблюдать за процедурой. Легенда о последнем суде, который состоится в «конце времен». Его будет вершить вернувшийся Иисус. Каждый человек (из всех когда-либо живших) получит сообразно со своими делами либо райское блаженство, либо вечное наказание в аду. Каждую душу призовут на суд. Ее дела (добрые и злые) будут взвешены на весах перед лицом бога. Праведники, приветствуемые ангелами, поднимутся в рай, а грешников бесы отправят в ад. Этот сюжет постоянно разрабатывался в христианской иконографии и светской живописи (И.Босх и др.).

БУЛГАКОВ: Допрос Иешуа Понтием Пилатом

«Прозвучал тусклый, больной голос:

— Имя?

— Мое? — торопливо отозвался арестованный, всем существом выражая готовность отвечать толково, не вызывая более гнева»

(с. 31)

БУЛГАКОВ: Беседа Понтия Пилата с Иешуа

« — Ну, хотя бы жизнью твоею, — ответил прокуратор, — ею клясться самое время, так как она висит на волоске, знай это…

Я могу перерезать это волосок.

— И в этом ты ошибаешься, — светло улыбаясь и заслоняясь рукой от солнца, возразил арестант, — согласись, что перерезать волосок уж наверное может лишь тот, кто подвесил?»

(с. 40)

МАТЕМАТИКА: НЕУСТОЙЧИВОЕ РАВНОВЕСИЕ

БУЛГАКОВ: Беседа Понтия Пилата с Иешуа

«Опять-таки виновата была, вероятно, кровь, прилившая к вискам и застучавшая в них, только у прокуратора что-то случилось со зрением. Так, померещилось ему, что голова арестанта уплыла куда-то, а вместо нее появилась другая. На этой плешивой голове сидел редкозубый золотой венец: на лбу была круглая язва, разъедающая кожу и смазанная мазью: запавший беззубый рот с отвисшей нижней капризной губой. Пилату показалось, что исчезли розовые колонны балкона и кровли Ершалаима вдали, внизу за садом, и все утонуло в густейшей зелени капрейских садов. И со слухом совершилось что-то странное — как будто вдали проиграли негромко и грозно трубы и очень явственно послышался носовой голос, надменно тянущий слова: “Закон об оскорблении величества…”

Мысли понеслись короткие, бессвязные и необыкновенные: “Погиб!”, потом: “Погибли!…”

И какая-то совсем нелепая среди них о каком-то долженствующем непременно быть — и с кем?! — бессмертии, причем бессмертие почему-то вызвало нестерпимую тоску.»

(с. 42–43)

МАТЕМАТИКА (ТОПОЛОГИЯ): СКЛЕЙКА ПОЛИЭДРОВ УМЕНЬШАЕТ ИХ ОБЩУЮ ГРАНИЦУ

Изображены трехмерные полиэдры, склеиваемые по некоторым частям их границ. В результате получается новый полиэдр, граница которого «меньше», чем «сумма границ» исходных полиэдров.

БУЛГАКОВ: Заседание Синедриона, приговорившего Иешуа к казни

«Таким образом, к смертной казни, которая должна совершиться сегодня, приговорены трое разбойников: Дисмас, Гестас, Вар-равван и, кроме того, этот Иешуа Га-Ноцри»

(с. 49)

МАТЕМАТИКА: СЛУЧАИ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ И НЕИНТЕГРИРУЕМОСТИ ГАМИЛЬТОНОВОЙ СИСТЕМЫ, ОПИСЫВАЮЩЕЙ ДВИЖЕНИЕ НЕСКОЛЬКИХ ВИХРЕЙ

Стационарный поток несжимаемой жидкости на плоскости может иметь какое-то количество вихрей, т.е. изолированных точек, в окрестности которых поведение жидкости становится вихреобразным. Оказывается, если количество таких вихрей невелико, то соответствующая система дифференциальных уравнений интегрируется. То есть, существуют дополнительные интегралы движения, решающие задачу. Напротив, если число вихрей достаточно велико (в общем случае, не меньше чем четыре), то система неинтегрируема. Это означает, что траектории частиц жидкости становятся чрезвычайно сложными и их движение похоже на хаотическое.

МИФОЛОГИЯ

Из цикла «Трибунал». Выступление председателя военного трибунала с заключительным словом. Судьи и председатель видны вдали на наклонной галерее, пересекающей небо.

БУЛГАКОВ: Понтий Пилат выходит перед толпой для объявления приговора

«Он выждал некоторое время, зная, что никакою силой нельзя заставить умолкнуть толпу, пока она не выдохнет все, что накопилось у нее внутри, и не смолкнет сама.

И когда этот момент наступил, прокуратор выбросил вверх правую руку, и последний шум сдуло с толпы.»

(с. 58)

БУЛГАКОВ: Сцена объявления Пилатом приговора Иешуа и двум преступникам

Пилат отдает приказ о казни Иешуа и двух преступников, однако в то же время пытается спасти Иешуа, пользуясь обычаем помилования одного из осужденных перед великим праздником. Однако Синедрион категорически отказывается удовлетворить пожелание Пилата и освобождает Вар-раввана. Пилату ничего не остается как утвердить приговор и объявить о нем на площади перед огромной толпой. «Великий врач» уходит от него безвозвратно. Эта мысль приводит Пилата в бешенство, усугубляемое его очевидным бессилием.

«Он выждал некоторое время, зная, что никакой силой нельзя заставить умолкнуть толпу, пока она не выдохнет все, что накопилось у нее внутри, и не смолкнет сама.

И когда этот момент наступил, прокуратор выбросил вверх правую руку, и последний шум сдуло с толпы.

Тогда Пилат набрал, сколько мог, горячего воздуха в грудь и закричал, и сорванный его голос понесло над тысячами голов:

— Именем кесаря императора!

Тут в уши ему ударил несколько раз железный рубленый крик — в когортах, взбросив вверх копья и значки, страшно прокричали солдаты:

— Да здравствует кесарь!»

(с. 58)

МАТЕМАТИКА (АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТОПОЛОГИЯ): ПОЛИЭДРЫ И СИМПЛИЦИАЛЬНЫЕ ЦЕПИ

Иллюстрируется такое важное понятие, как симплициальная цепь. То есть, объект составленный из «элементарных кирпичей», снабженных некоторыми числовыми коэффициентами. Такие цепи можно складывать и вычитать как элементы абелевой группы. Вводя понятие граничного оператора, можно вычислять границу цепи, а затем определить группы гомологий как фактор-группу группы циклов по подгруппе границ. Наглядно цепь можно представлять себе как произвольный набор блоков, снабженных числовыми метками.

БУЛГАКОВ: Берлиоз и Бездомный в конце рассказа Воланда про прокуратора Иудеи

«Поэт провел рукою по лицу, как человек, только что очнувшийся, и увидел, что на Патриарших вечер…

В аллеях на скамейках появилась публика, но опять-таки на всех трех сторонах квадрата, кроме той, где были наши собеседники»

(с. 62)

БУЛГАКОВ: Гибель Берлиоза

«Трамвай накрыл Берлиоза, и под решетку Патриаршей аллеи выбросило на булыжный откос круглый темный предмет. Скатившись, с откоса, он запрыгал по булыжникам Бронной.

Это была отрезанная голова Берлиоза.»

(с. 68)

БУЛГАКОВ: Мастер и Маргарита

На мастера обрушивается травля его коллег-писателей. «Отеческий» анализ творчества Булгакова в свое время был дан некоторыми его коллегами на страницах центральной советской прессы. Мастер на грани безумия и сжигает свой роман о Понтии Пилате в печке. Неожиданно в его комнату врывается Маргарита.

«Тихо вскрикнув, она голыми руками выбросила из печки на пол последнее, что там оставалось, пачку, которая занялась сразу. Дым наполнил комнату сейчас же. Я ногами затоптал огонь, а она повалилась на диван и заплакала неудержимо и судорожно.

Когда она утихла, я сказал:

— Я возненавидел этот роман, и я боюсь. Я болен. Мне страшно.

Она поднялась и заговорила:

—Боже, как ты болен. За что это, за что? Но я тебя спасу, я тебя спасу. Что же это такое?

Я видел ее вспухшие от дыму и плача глаза, чувствовал, как холодные руки гладят мне лоб.»

(с. 207).

БУЛГАКОВ: Мастер и Маргарита

«И вот, последнее, что я помню в моей жизни, это — полоску света в моей передней, и в этой полосе света развившуюся прядь, ее берет и ее полные решимости глаза. Еще помню черный силуэт на пороге наружной двери и белый сверток.»

(с. 208)

МАТЕМАТИКА: ГОМЕОМОРФИЗМ

Гомеоморфизм — одно из важнейших понятий топологии. Это — взаимно-однозначное, непрерывное в обе стороны отображение (соответствие). Наглядно его можно представлять как деформацию объектов, «сделанных из резины». При этом запрещены «разрывы» и «склейки». Изображены две человеческие фигуры, слегка напоминающие композицию известной картины Рембрандта «Возвращение блудного сына». Однако этот классический образ угадывается далеко не сразу, поскольку композиция подвергнута гомеоморфизму, исказившему первоначальную картину практически до неузнаваемости. В этом — важное свойство гомеоморфизма — менять метрические (и, следовательно, легко узнаваемые) свойства объекта, но сохранять его топологические (не столь легко распознаваемые) свойства. На заднем плане видны оснащенные окружности, т.е. снабженные семейством нормальных реперов.

МИФОЛОГИЯ

Миф о близнецах — брате и сестре, вступающих в кровосмесительный брак (чаще всего в результате уговоров сестры), был распространен в древности. Например, египетский миф об Осирисе и Изиде, древнеиндийский миф о Яме и его сестре-близнеце Ями и т. д. Иногда этот брак начинается еще во чреве матери. Древнейшая точка зрения усматривала родство между животными и близнецами. Нивхи (на Сахалине) хоронили мать близнецов в медвежьей клетке, а о самих близнецах говорили как о «зверях». Обряд убийства близнецов после их рождения был распространен в древности (сами близнецы и их родители считались опасными). Обычай отделения родителей близнецов от всего племени известен у многих народов Африки. Близнецы и их мать рассматривались как существа, соприкоснувшиеся со сверхъестественной силой и ставшие ее носителями. Английский исследователь Р.Харрис выдвинул гипотезу, что страх, который некогда внушали близнецы, согласуется с данными приматологии, указывающими на наличие у приматов тех же основных черт поведения по отношению к двойне. Мать двойни держится поодаль от обезьяньего стада, причем ее отгоняет в сторону вожак. Широко были распространены мифы о посягательстве близнецов на жизнь родителей.

БУЛГАКОВ: Перед казнью

«Солнце уже снижалось над Лысой Горой, и была эта гора оцеплена двойным оцеплением…

Через некоторое время за алой к холму пришла вторая когорта, поднялась на один ярус выше и венцом опоясала гору.

Наконец подошла кентурия под командой Марка Крысобоя.»

(с. 240)

МАТЕМАТИКА: СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

См. книгу А.Т.Фоменко, Д.Б.Фукс, «Курс гомотопической топологии», М., Наука, 1989.

БУЛГАКОВ: Бегемот наблюдает за казнью Иешуа и двух преступников

Несколько намеков, разбросанных Булгаковым в тексте, позволяют предположить, что (по мнению Булгакова) Бегемот присутствовал при казни Иешуа. Вероятно, Бегемот присутствует и при ночной сцене разговора Пилата с Афранием, и на Лысой горе, и еще при нескольких узловых эпизодах, связанных с судьбой Иешуа и Пилата.

«Солнце уже снижалось над Лысой горой, и была эта гора оцеплена двойным оцеплением…

Жар еще был невыносим, и солдаты в обоих оцеплениях страдали от него, томились от скуки и в душе проклинали трех разбойников, искренне желая им скорейшей смерти.»

(с. 239, 241)

БУЛГАКОВ: Казнь на Голгофе

«Ала пропустила всех во второй ярус, а вторая кентурия наверх пропустила только тех, кто имел отношение к казни, а затем, быстро маневрируя, рассеяла толпу вокруг всего холма, так что та оказалась между пехотным оцеплением вверху и кавалерийским внизу.»

(с. 240)

БУЛГАКОВ: Казнь Иешуа и Марк Крысобой

Казнь началась после полудня и длилась уже долго. Страшная жара разогнала любопытствующих, и на Лысой Горе остались лишь осужденные и охраняющие их римские когорты, оцепившие вершину горы.

«Римская пехота на втором ярусе страдала еще больше кавалеристов. Кентурион Крысобой единственно что разрешил солдатам — это снять шлемы и накрыться белыми повязками, смоченными водой, но держал солдат стоя и с копьями в руках. Сам он в такой же повязке, но не смоченной, а сухой, расхаживал невдалеке от группы палачей, не сняв даже со своей рубахи накладных серебряных львиных морд, не сняв поножей, меча и ножа. Солнце било прямо в кентуриона, не причиняя ему никакого вреда, и на львиные морды нельзя было взглянуть, глаза выедал ослепительный блеск как бы вскипавшего на солнце серебра.

На изуродованном лице Крысобоя не выражалось ни утомления, ни неудовольствия, и казалось, что великан кентурион в силах ходить так весь день, всю ночь и еще день, — словом, столько, сколько будет надо. Все так же ходить, наложив руки на тяжелый с медными бляхами пояс, все так же сурово поглядывая то на столбы с казнимыми, то на солдат в цепи, все так же равнодушно отбрасывая носком мохнатого сапога попадающиеся ему под ноги выбеленные временем человеческие кости или мелкие кремни.»

(с. 242)

БУЛГАКОВ: Казнь Иешуа

Он и двое преступников распяты на Голгофе, оцепленной римскими войсками. За казнью наблюдает Афраний — начальник тайной службы при прокураторе Пилате. Казнью руководят Марк Крысобой и начальник храмовой стражи Ершалаима. Афраний имел мимолетное совещание с Пилатом в затемненной комнате во дворце, прежде чем отбыть на казнь.

«Тот человек в капюшоне поместился невдалеке от столбов на трехногом табурете и сидел в благодушной неподвижности, изредка, впрочем, от скуки, прутиком расковыривая песок.»

(с. 242–243).

БУЛГАКОВ: Левий Матвей у подножия Голгофы

«Теперь Левий Матвей безнадежно записал острой палочкой так: “Бог! За что гневаешься на него? Пошли ему смерть.”»

(с. 245)

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФАНТАЗИЯ

В композиции использованы элементы двумерной топологии и теории алгебраических поверхностей.

Ассоциативная связь с «молением о чаше» (Новый Завет). Согласно Евангелиям, Иисус перед своим арестом уединяется в Гефсиманском саду и умоляет Бога не подвергать его тяжкому испытанию.

«И, отойдя немного, пал на лице Свое, молился и говорил: Отче Мой! если возможно, да минует Меня чаша сия: впрочем не как Я хочу, но как Ты.» (Еванг. от Матфея. 26:39).

БУЛГАКОВ: Левий Матвей крадет нож, чтобы убить им Иешуа и избавить его от мучений

«Левий… молча и быстро взял с прилавка то, чего лучше и быть не может, — отточенный, как бритва, длинный хлебный нож, и тотчас кинулся из лавки вон.»

(с. 247)

МАТЕМАТИКА: СИМПЛИЦИАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И КЛЕТОЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. КРИСТАЛЛ И ЖИДКОСТЬ

Сделана попытка показать взаимоотношение двух языков, используемых в топологии. Симплициальные пространства можно представлять себе как объекты, «достаточно хорошо» склеенные из простых блоков, элементарных кирпичей: тетраэдров, призм, кубов, параллелепипедов и т. п. Клеточные пространства — это объекты, «достаточно хорошо» склеенные из евклидовых шаров, рассматриваемых с точностью до гомеоморфизмов. Психологический образ симплициального комплекса — это нечто угловатое, жесткое, с прямолинейными ребрами и гранями. Нечто похожее на сложный кристалл. Психологический образ клеточного комплекса — это что-то податливое, мягкое, аморфное, гибкое. Как деформирующаяся глиняная скульптура. Тем не менее, с математической точки зрения, в классе «хороших пространств», это — один и тот же вид объектов, если считать, что они склеены из конечного числа элементарных «кирпичей». Каждый конечной симплициальный комплекс является клеточным, и наоборот, каждый конечный клеточный комплекс представляется в виде симплициального пространства. Большой кристалл, изображенный справа, обладает сложной группой симметрий. Классификация кристаллических структур — одна из ветвей теории групп.

МИФОЛОГИЯ

«Погоня». Человек на переднем плане догоняет убегающую от него фигуру на линии горизонта. Вечный бег без отдыха и остановки. Известная средневековая легенда об Агасфере. Во время страдальческого пути Христа на Голгофу под бременем креста, Агасфер оскорбительно отказал Иисусу в кратком отдыхе и безжалостно потребовал идти дальше. За это ему было отказано в покое могилы. Он обречен теперь из века в век безостановочно скитаться по миру, ожидая второго пришествия Христа. Встреча с Агасфером — дурное предзнаменование. В «Большой Хронике» Матвея Парижского (якобы, около 1250 года) рассказано об архиепископе, прибывшем в Англию из Великой Армении и уверявшем, что он лично знаком с живым современником и оскорбителем Христа по имени Картафил. В XV веке миф об Агасфере приобретает более мрачные черты. В этих версиях акцент делается на мотиве наказания Агасфера. В разные столетия время от времени появлялись очевидцы, клявшиеся, будто они лично встречали странствующего Агасфера и даже беседовали с ним.

БУЛГАКОВ: Страдания Левия Матвея во время казни Иешуа

«Он кричал о полном своем разочаровании и о том, что существуют другие боги и религии»

(с. 248)

МАТЕМАТИКА: ГОМЕОМОРФИЗМЫ ДВУМЕРНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Изображены гомеоморфизмы, которым подвергается обычная человеческая фигура. Наглядно видно, что при этом все метрические соотношения разрушаются (меняются расстояния между точками, меняются углы), однако в целом фигура «узнаваема», так как остаются неизменными ее топологические характеристики.

МИФОЛОГИЯ

Согласно средневековой магии, «подобное производит подобное». Эта идеология нашла применение в китайском веровании, будто на судьбу городов глубокое влияние оказывает их форма. Город Цынчэ-фу, очертания которого напоминали карпа, часто становился жертвой нашествий жителей соседнего города Юнчунь, похожего по форме на рыболовную сеть. Это продолжалось до тех пор, пока жителям Цынчэ-фу не пришла в голову счастливая мысль возвести в центре два высоких храма. Они оказали благое влияние на судьбу города, «не позволяя» воображаемой сети опуститься и запутать воображаемого карпа. (Дж.Дж.Фрэзер, «Золотая ветвь».) О влиянии формы городов на их судьбу говорит и европейская средневековая астрология.

БУЛГАКОВ: Казнь Иешуа и Левий Матвей

Единственным посторонним зрителем казни оставался Левий Матвей, один из учеников Иешуа. Сначала он хотел прорваться к повозке, на которой везли Иешуа, а затем, когда это не удалось, остался на горе, ожидая конца казни.

«Тут что-то дунуло в лицо бывшему сборщику и что-то зашелестело у него под ногами. Дунуло еще раз, и тогда, открыв глаза, Левий увидел, что все в мире, под влиянием ли его проклятий или в силу каких-либо других причин, изменилось. Солнце исчезло, не дойдя до моря, в котором тонуло ежевечерне. Поглотив его, по небу с запада поднималась грозно и неуклонно грозовая туча. Края ее уже вскипали белой пеной, черное дымное брюхо отсвечивало желтым. Туча ворчала, и из нее время от времени вываливались огненные нити.»

(с. 249)

МАТЕМАТИКА (ТОПОЛОГИЯ): ПОЛИЭДРЫ И ИХ ГРАНИЦЫ

Изображен «кубический полиэдр» с разрезом. Наглядно поясняется тот алгебро-геометрический факт, что суммирование цепей приводит иногда к взаимному уничтожению общих кусков границы, входящих в сумму с противоположными знаками. «Заклеивая» трещину в полиэдре, мы очевидно уменьшаем его общую границу.

БУЛГАКОВ: Распятие

«Счастливее двух других был Иешуа. В первый же час его стали поражать обмороки, а затем он впал в забытье, повесив голову в размотавшейся чалме. Мухи и слепни поэтому совершенно облепили его, так что лицо его исчезло под черной шевелящейся массой. В паху, и на животе, и под мышками сидели жирные слепни и сосали желтое обнаженное тело.»

(с. 250)

МАТЕМАТИКА: РИМАНОВА ПОВЕРХНОСТЬ ФУНКЦИИ w=(1−z2)1/4

Риманова поверхность алгебраической функции — это двумерная вещественная поверхность в четырехмерном евклидовом пространстве, на которой данная функция однозначна. Теория римановых поверхностей важна не только для комплексного анализа, но и для теории Галуа. Иллюстрируются свойства 4-значной функции w=(1−z2)1/4. Если положить w=u+iv и z=x+iy, то вещественная и мнимая части этой функции определяют одну и ту же поверхность. Ее уравнение (записанное относительно u) выглядит так:

Видны 4 слоя поверхности, лежащие один над другим с точками ветвления z=+1 и z=−1.

МИФОЛОГИЯ

Металлический храм. Средневековые европейские алхимики верили в связь семи металлов с семью основными планетами-божествами. Медь — это Венера, золото — Солнце, железо — Марс, свинец — Сатурн, ртуть — Меркурий, серебро — Луна, олово — Юпитер. Металл рассматривался как символ подземного царства. Гномы — хранители и знатоки металлов, создатели подземных кузниц и металлических кладов подземелья. Где-то глубоко под землей, в пещере ими построен металлический храм из семи металлов. «Геральдические» металлы средневекового рыцарства — это серебро с гладкой поверхностью, золото с особой «точечной» обработкой и железо с черной поверхностью. Миф о четырех веках: золотом, серебряном, медном и железном. Подземный металлический храм — это кузница, где гномы готовят неуязвимую броню для богов. В индийской мифологии из чистого серебра сделана небесная крепость Асур, откуда асуры делали свои враждебные вылазки, пока бог Шива не уничтожил их.

БУЛГАКОВ: Казнь Иешуа

Финал казни в начале пятого ее часа. Прискакавший из города трибун отдает приказ завершить казнь преступников. Крысобой, трибун и Афраний направляются к столбам, на которых привязаны казнимые.

«Повинуясь жестам человека в капюшоне, один из палачей взял копье, а другой принес к столбу ведро и губку. Первый из палачей поднял копье и постучал им сперва по одной, потом по другой руке Иешуа, вытянутым и привязанным веревками к поперечной перекладине столба. Тело с выпятившимися ребрами вздрогнуло. Палач провел концом копья по животу. Тогда Иешуа поднял голову, и мухи с гуденьем снялись, и открылось лицо повешенного, распухшее от укусов, с заплывшими глазами, неузнаваемое лицо»

(с. 250–252)

МАТЕМАТИКА (АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТОПОЛОГИЯ): СИМПЛИЦИАЛЬНЫЕ КОМПЛЕКСЫ

В основе понятия симплициального комплекса (полиэдра) лежит интуитивно ясное представление этого объекта как результата склейки друг с другом простейших «кирпичей», имеющих «кусочно-линейную структуру». То есть, тетраэдров, призм, конусов над многоугольниками, многогранников и т. п. Эти строительные блоки могут быть разнообразны, однако каждый из них можно считать составленным из прямолинейных тетраэдров или симплексов. Именно поэтому все такие составные объекты называются симплициальными комплексами. Однако в топологии для конкретных вычислений чаще используются клеточные комплексы, склеенные из клеток — гомеоморфных образов шаров. Выяснилось, что во многих вопросах (например, при вычислении групп гомологий) излишне мелкое дробление полиэдра на симплексы — невыгодно. Те же группы можно вычислить, разбивая полиэдр на более крупные блоки, гомеоморфные шарам.

БУЛГАКОВ: Дисмас на столбе

«С соседнего столба донесся голос Дисмаса:

— Несправедливость! Я такой же разбойник, как и он!

Дисмас напрягся, но шевельнуться не смог, руки его в трех местах на перекладине держали веревочные кольца. Он втянул живот, ногтями вцепился в концы перекладин, голову держал повернутой к столбу Иешуа, злоба пылала в глазах Дисмаса.

Пыльная туча накрыла площадку, сильно потемнело. Когда пыль унеслась, кентурион крикнул:

— Молчать на втором столбе!»

(с. 252)

БУЛГАКОВ: Смерть Иешуа

«Великодушный» прокуратор-игемон решает завершить казнь досрочно, чтобы сократить мучения Иешуа. По версии Булгакова в душе Пилата борются три чувства: долг перед империей в лице кесаря, трезвое желание заполучить к себе великого врача-Иешуа (излечивающего головную боль) и смутное ощущение вины «за что-то неправильно содеянное».

«Становилось все темнее. Туча залила уже полнеба, стремясь к Ершалаиму, белые кипящие облака неслись впереди напоенной черной влагой и огнем тучи. Сверкнуло и ударило над самым холмом. Палач снял губку с копья.

— Славь великодушного игемона! — торжественно шепнул он и тихонько кольнул Иешуа в сердце. Тот вздрогнул, шепнул:

— Игемон!…

Кровь побежала по его животу, нижняя челюсть судорожно дрогнула, и голова его повисла.

При втором громовом ударе палач уже поил Дисмаса и с теми же словами:

— Славь игемона! — убил и его.»

(с. 253)

БУЛГАКОВ: Афраний осматривает трупы казненных

Начальник тайной полиции, держа на контроле такую важную операцию, должен быть лично убежден в абсолютно точном исполнении приказа. Многовековой опыт убеждает, что серьезные политические дела нельзя перепоручать никому, даже близким соратникам. Во всяком случае, не исключено, что Пилат мог попросить проконтролировать операцию какому-либо еще более близкому соратнику.

«Человек в капюшоне шел по следам палача и кентуриона, а за ним начальник храмовой стражи. Остановившись у первого столба, человек в капюшоне внимательно оглядел окровавленного Иешуа, тронул белой рукой ступню и сказал спутникам:

— Мертв.

То же повторилось и у двух других столбов.

После этого трибун сделал знак кентуриону и, повернувшись, начал уходить с вершины вместе с начальником храмовой стражи и человеком в капюшоне. Настала полутьма, и молнии бороздили черное небо. Из него вдруг брызнуло огнем, и крик кентуриона: “Снимай цепь!” — утонул в грохоте. Счастливые солдаты кинулись бежать с холма, надевая шлемы. Тьма закрыла Ершалаим.»

(с. 253)

БУЛГАКОВ: Римские войска покидают Голгофу

«Настала полутьма, и молнии бороздили черное небо. Из него вдруг брызнуло огнем, и крик кентуриона “Снимай цепь!” — утонул в грохоте. Счастливые солдаты кинулись бежать с холма, надевая шлемы.»

(с. 253).

МАТЕМАТИКА: ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ С НУЛЕВОЙ ДИВЕРГЕНЦИЕЙ

Векторные поля на многообразиях интерпретируются как системы обыкновенных дифференциальных уравнений, либо как поток жидкости, текущей по поверхности. Важный класс потоков — так называемые потоки с нулевой дивергенцией, моделирующие течение идеальной несжимаемой жидкости. Другой важный класс потоков — это гамильтоновы векторные поля. В случае двумерных поверхностей любой поток несжимаемой жидкости является локально гамильтоновым. В данном случае несжимаемость эквивалентна сохранению площадей фигур на поверхности, увлекаемых потоком жидкости. Хорошо видно, что стекание жидкости может быть довольно причудливо, тем не менее такое течение может иметь нулевую дивергенцию. Запас таких полей достаточно велик. Можно, например, рассматривать потоки, являющиеся градиентами вещественной или мнимой части произвольной комплексно-аналитической функции, заданной на плоскости.

МИФОЛОГИЯ

Жертвенник в океане. Мифы Атлантики и Испании. На вершине громадного жертвенника совершалось массовое жертвоприношение, в результате чего первоначально ослепительно белая (специально начищенная) скала покрывалась потеками. По их форме жрецы пытались предсказывать будущее империи. Иногда между представителями разных научных школ возникали жаркие споры: чье предсказание вернее. Если предсказание какой-либо из школ оказывалось (со временем) ложным, ее представители использовались оппонентами в жертвоприношении на следующий год. Это обстоятельство вносило элемент здоровой конкуренции и способствовало прогрессу науки. Праздник окончен и флотилия кораблей покидает храм до следующего года.

БУЛГАКОВ: Римские солдаты покидают Голгофу. Ливень

«Тьма закрыла Ершалаим.

Ливень хлынул внезапно и застал кентурии на полдороге на холме. Вода обрушилась так страшно, что, когда солдаты бежали книзу, им вдогонку уже летели бушующие потоки. Солдаты скользили и падали на размокшей глине, спеша на ровную дорогу, по которой — уже чуть видная в пелене воды — уходила в Ершалаим до нитки мокрая конница.»

(с. 253–254)

МАТЕМАТИКА: ГОМОТОПИЯ И ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ

Иллюстрируется общая идея гомотопии — непрерывной деформации объекта, при которой разрешены «склейки», но запрещены «разрывы». Удачным наглядным образом является деформация тяжелой вязкой жидкости, вытекающей из какого-то сосуда (на рисунке жидкость выливается из отверстий в небосводе). Те свойства объектов, которые сохраняются при гомотопиях, называются гомотопически инвариантными свойствами.

МИФОЛОГИЯ

Начало всемирного потопа. Легенды о великом потопе, в котором погибло почти все человечество, широко распространены по всему миру. Согласно одной из средневековых версий бог дал человечеству недельный срок, чтобы оно раскаялось. В продолжение этого срока солнце каждое утро всходило на западе и заходило каждый вечер на востоке. Но ничто не могло привести к раскаянию нечестивцев, они продолжали издеваться над Ноем. Тогда бог открыл в небе несколько отверстий, сдвинув звезды из созвездия Плеяд. Вода обрушилась на землю, из-под которой тоже выступили подземные «нижние воды». Грешники в числе около семисот тысяч человек собрались и окружили Ноев ковчег, умоляя взять их с собой. Ной отказался. Тогда они принялись взламывать дверь ковчега, но дикие звери, охранявшие судно, напали на них и многих сожрали. Остальные потонули в поднявшемся океане.

БУЛГАКОВ: Когда войска покинули Голгофу, на ней остался лишь Левий Матвей

«Он то пропадал в полной мгле, то вдруг освещался трепещущим светом.

Добравшись до столбов, уже по щиколотку в воде, он содрал с себя отяжелевший, пропитанный водою таллиф, остался в одной рубахе и припал к ногам Иешуа. Он перерезал веревки на голенях, поднялся на нижнюю перекладину, обнял Иешуа и освободил руки от верхних связей. Голое влажное тело Иешуа обрушилось на Левия и повалило его наземь. Левий тут же хотел взвалить его на плечи, но какая-то мысль остановила его. Он оставил на земле в воде тело с запрокинутой головой и разметанными руками и побежал на разъезжающихся в глиняной жиже ногах к другим столбам. Он перерезал веревки и на них, и два тело обрушились на землю.

Прошло несколько минут, и на вершине холма остались только эти два тела и три пустых столба. Вода била и переворачивала эти тела.»

(с. 254).

БУЛГАКОВ: Опустевшая Голгофа после казни

«Прошло несколько минут, и на вершине холма остались только эти два тела и три пустых столба. Вода била и поворачивала эти тела.

Ни Левия, ни тела Иешуа на верху холма в это время уже не было.»

(с. 254)

МАТЕМАТИКА: «ТЕОРЕМА О МОСТОВЫХ»

В теории топологической размерности известна так называемая «теорема о мостовых» (Лебег, Брауэр). Она утверждает, что двумерный полиэдр можно замостить замкнутыми множествами, пересекающимися не более чем по три, т.е. что пересечений по четыре можно избежать. Изображено одно из таких «замощений», где каждая точка покрыта не более чем тремя «кирпичами».

МИФОЛОГИЯ

Зевс, рассердившись на род человеческий, послал потоп и уничтожил людей. Но оставленная Зевсом единственная человеческая пара, — Девкалион и Пирра, — сотворили новое человечество, бросая себе за спину камни. Каждый камень превращался в человека. Легенда связана с мифом о Прометее. Дело в том, что Девкалион — сын Прометея. Прометей выступал в роли благодетеля человечества.

БУЛГАКОВ: Смерть Иисуса

Толпа, требовавшая казни. Люди, сострадавшие ему.

МАТЕМАТИКА

Рисунок отражает размышления математика над таким фундаментальным понятием как математическая бесконечность. Оно сопровождает практически все математические теории, выступая «в разных одеждах» в геометрии, в математической логике, в теории чисел. Потенциальная и актуальная бесконечность, парадоксы математической логики, алгоритмически неразрешимые математические проблемы, континуум-гипотеза и ее разнообразные версии, конструктивная математика, интуиционизм (в духе А.Пуанкаре). Все эти понятия и научные направления вызваны к жизни реальным существованием математической бесконечности. Ее изучение — не только математическая, но и философская проблема познания окружающего нас мира.

Любые два человеческих лица могут быть отождествлены при помощи подходящего гомеоморфизма. Следовательно, с геометрической точки зрения все разнообразие лиц и их эмоций можно получить из какого-то одного «идеального героя», искажая его бесконечной последовательностью гомеоморфизмов. Ассоциации с идеями средневековых художников, пытавшихся запечатлеть свое представление «физической и нравственной бесконечности» в полотнах о страданиях Иисуса Христа. Средневековая живопись постоянно обращалась к сцене избиения Христа и глумления над ним, когда он несет свой крест на Голгофу. При этом толпы, окружающие Иисуса, превращались в скопище всех человеческих пороков и страстей.

БУЛГАКОВ: Азазелло вручает Маргарите коробочку с волшебным кремом

«Тогда потрудитесь получить, — сказал Азазелло и, вынув из кармана круглую золотую коробочку, протянул ее Маргарите…»

(с. 313)

МАТЕМАТИКА: ВИБРАЦИЯ ЖИДКОСТИ И ФОРМА КАПЛИ

Если плоский мелкий сосуд (в виде стола с невысоким краем) наполнить жидкостью, то получится мелкий, но обширный водоем. Если затем стол начинает быстро вибрировать, то поверхность жидкости «вскипает». При киносъемке видно, что из жидкости хаотично поднимаются острые пики, образующие подобие сложного горного пейзажа. Чем быстрее вибрация, тем сложнее картина. Исследование этого эффекта важно при обогащении полезных ископаемых, когда разделяют разные фракции породы. В приложениях иногда полезно знать форму капли, отрывающейся от смоченной поверхности под действием силы тяжести или вибрации. Теория движения жидкости в капиллярах, теория формы мениска и капли — одна из интереснейших областей приложения методов современной дифференциальной геометрии.

МИФОЛОГИЯ

Древние охотники на диких слонов и носорогов в Восточной Африке верили, что если жены изменят им в их отсутствие, то слон или носорог обязательно нападут на них и они погибнут или получат тяжелые увечья. Во время морского путешествия мужчин девушкам запрещалось есть рыбу с острыми костями или шипами (чтобы с друзьями не произошло бедствие). Во время войны жёны не должны шить иглой и пользоваться гвоздями, чтобы мужья не наступили на боевые шипы, разбросанные на их пути врагами. Вода — одна из фундаментальных стихий всех мифологий, выступающая в роли женского начала. Брачный союз неба как мужского начала с водой — широко распространен у индоевропейцев. Вода выступает также в виде оплодотворяемого мирового яйца. Богини любви (Афродита, Иштар и др.) непременно связаны с водой. Например, рождение Афродиты из морской пены и т. п. С другой стороны, являясь началом всех вещей, вода знаменует и их финал, ибо с ней связан мотив всемирного потопа. Изображено также разделение вод на верхние (выливающиеся с неба) и нижние (поднимающиеся снизу, из-под земли).

БУЛГАКОВ: Маргарита перед зеркалом

«Маргарита Николаевна сидела перед трюмо в одном купальном халате, наброшенном на голое тело, и в замшевых черных туфлях.»

(с. 315).

МАТЕМАТИКА: ГАУССОВО ОТОБРАЖЕНИЕ

Изображены различные поверхности, в каждой точке которых построен вектор, ортогональный поверхности. Нормали изображены в виде длинных острых «пиков», направленных в разные стороны. Параллельно перенося каждый из этих векторов так, что его начало оказывается в начале координат, мы получаем отображение поверхности на сферу. Это отображение называется гауссовым. Образ гауссова отображения может покрывать лишь часть сферы.

МИФОЛОГИЯ

Цари Западной Африки в древности ежегодно в марте совершали человеческое жертвоприношение для получения лучшего урожая. Для этой цели использовали красивых девушек. Их специально воспитывали в царском гареме и фетишеслужители оказывали на их умы столь сильное влияние, что девушки с радостью выходили навстречу своей страшной судьбе. Праздник происходил в присутствии всего народа. (Дж.Дж.Фрэзер, «Золотая ветвь».) Считалось, что ритуал имеет большое воспитательное значение, поэтому на нем обязательно присутствовали войска. После окончания торжества титул богини переходил к следующей девушке, ровно на один год.

БУЛГАКОВ: Маргарита намазывается кремом, готовясь к встрече с Воландом

«Маргарита выскочила из халата одним прыжком и широко зачерпнула легкий жирный крем и сильными мазками начала втирать его в кожу тела.»

(с. 316)

МИФОЛОГИЯ

Созвездие Девы.

БУЛГАКОВ: Полет Маргариты

«Маргарита увидела, что она наедине с летящей над нею и слева луною. Волосы Маргариты давно уже стали копной, а лунный свет со свистом омывал ее тело.»

(с. 331)

БУЛГАКОВ: Полет Маргариты. Маргарита и зодиакальное созвездие Скорпиона

Мастер попадает в сумасшедший дом, о чем Маргарита не знает. Неожиданно к ней является один из приближенных Воланда — рыцарь Азазелло, и предлагает явиться «в гости к знатному иностранцу», где она сможет узнать о судьбе мастера. Согласившись и намазавшись (по требованию Азазелло) волшебным кремом, она превращается в ведьму.

«Раза два или три она видела под собою тускло отсвечивающие какие-то сабли, лежащие в открытых черных футлярах, и сообразила, что это реки.

Поворачивая голову вверх и влево, летящая любовалась тем, что луна несется над нею, как сумасшедшая, обратно в Москву и в то же время странным образом стоит на месте, так что отчетливо виден на ней какой-то загадочный, темный — не то дракон, не то конек-горбунок, острой мордой обращенный к покинутому городу.»

(с. 332)

БУЛГАКОВ

Маргариту встречает Коровьев и ведет ее к Воланду. Оказывается, она попадает на прием к самому сатане.

«— Но к делу, к делу, Маргарита Николаевна. Вы женщина весьма умная и, конечно, уже догадались о том, кто наш хозяин.

Сердце Маргариты стукнуло, и она кивнула головой…

— Короче! — вскричал Коровьев, — совсем коротко: вы не откажетесь принять на себя эту обязанность?

— Не откажусь, — твердо ответила Маргарита.

— Кончено! — сказал Коровьев и, подняв лампаду, добавил: — Прошу за мной…

Тут Коровьев задул свою лампаду, и она пропала у него из рук, и Маргарита увидела лежащую на полу перед нею полоску света под какой-то темной дверью. И в эту дверь Коровьев тихо стукнул. Тут Маргарита взволновалась настолько, что у нее застучали зубы и по спине прошел озноб. Дверь раскрылась.»

(с. 346)

МАТЕМАТИКА (ГРУППЫ ЛИ): ДВУМЕРНЫЙ ТОР — КАК ФАКТОР ПЛОСКОСТИ ПО ДЕЙСТВИЮ ГРУППЫ Z⊕Z

Абелева группа Z⊕Z может действовать на плоскости как группа сдвигов вдоль координатных осей. Факторизуя плоскость по этому действию, получаем тор. На плоскости возникает целочисленная решетка — разбиение на конгруэнтные плоские квадраты, изображенное на листе как шахматная доска.

БУЛГАКОВ

Войдя в комнату, Маргарита оказывается лицом к лицу с Воландом, который в это время играет в шахматы с котом Бегемотом. Ее встречают приветливо, кот тут же начинает валять дурака при молчаливом одобрении коллег.

«Воланд взял с постели длинную шпагу, наклонившись, пошевелил ею под кроватью и сказал:

— Вылезай! Партия отменяется. Прибыла гостья.

— Ни в коем случае, — тревожно свистнул по-суфлерски над ухом Маргариты Коровьев.

— Ни в коем случае… — начала Маргарита.

— Мессир… — дохнул Коровьев в ухо.

— Ни в коем случае, мессир, — справившись с собой, тихо, но ясно ответила Маргарита и, улыбнувшись, добавила: — Я умоляю вас не прерывать партии. Я полагаю, что шахматные журналы заплатили бы недурные деньги, если б имели возможность ее напечатать.»

(с. 349)

МАТЕМАТИКА: ЕВКЛИДОВА ПЛОСКОСТЬ — ПРОСТЕЙШАЯ МИНИМАЛЬНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ

Показана простая, но важная теорема. Евклидова плоскость в трехмерном евклидовом пространстве является глобально минимальной поверхностью. Напомним, что поверхность называется локально минимальной, если при любом малом ее возмущении с малым носителем (т.е. сосредоточенном в малой области пространства) площадь поверхности может только увеличиться. Возмущение плоскости показано на рисунке локальным вспучиванием поверхности. Ясно, что при этом площадь поверхности увеличилась. Это обстоятельство изображено также увеличением размеров квадратов, оказавшихся в зоне возмущения. Первоначально (т.е. до возмущения) все квадраты были одинаковы. Плоскость замечательна также тем, что ее площадь не уменьшается при любом возмущении (т.е. при возмущении произвольно большой амплитуды и с любым носителем). В то же время некоторые минимальные поверхности (более сложные, чем плоскость), могут уменьшить свою площадь, если возмущение мало по амплитуде, но имеет большой носитель. Таков, например, двумерный экватор в стандартной трехмерной сфере.

БУЛГАКОВ: Беседа Воланда с Маргаритой

Она обнаруживает, что шахматные фигурки — живые, и что на доске разыгрывается настоящая драма.

«На доске тем временем происходило смятение. Совершенно расстроенный король в белой мантии топтался на клетке, в отчаянии вздымая руки. Три белых пешки-ландскнехты с алебардами растерянно глядели на офицера, размахивающего шпагой и указывающего вперед, где в смежных клетках, белой и черной, виднелись черные всадники Воланда на двух горячих, роющих копытами клетки, конях…

— Ты сдаешься или нет? — прокричал страшным голосом Воланд.

— Разрешите подумать, — смиренно ответил кот, положил локти на стол, уткнул уши в лапы и стал думать. Думал он долго и наконец сказал: — Сдаюсь.»

(с. 354, 356)

МАТЕМАТИКА: АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА И ТЕОРЕМА О СИМПЛИЦИАЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ

Любое непрерывное отображение полиэдров (симплициальных комплексов) можно аппроксимировать кусочно-линейным отображением, гомотопным исходному. Другими словами, непрерывное отображение можно сколь угодно малым «шевелением» превратить в отображение, линейное на каждом симплексе отображаемого полиэдра. Эта идея иллюстрируется на примере графика алгебраической функции. Функция задается довольно сложной формулой, что видно из характера графика. На нем много «пиков». Отображение, задаваемое данной функцией, конечно, не линейное. Однако, согласно теореме о симплициальной аппроксимации, его можно аппроксимировать кусочно-линейным отображением. Показано достаточно мелкое разбиение поверхности на квадраты. Каждый из них можно затем разбить на два треугольника. Поскольку размер квадратов мал по сравнению с размером поверхности, то на каждом из них отображение можно считать линейным.

БУЛГАКОВ: Бегемот проигрывает шахматную партию Воланду

«— Да, сдаюсь, — сказал кот…

Он поднялся, и шахматные фигурки полезли в ящик.»

(с. 356)

МАТЕМАТИКА: ДВУМЕРНЫЕ ПОЛИЭДРЫ, МАТРИЦЫ ИНЦИДЕНЦИЙ, ГРУППЫ ЦЕПЕЙ

Топология имеет дело, в основном, с непрерывными объектами, точное описание которых требует языка непрерывных функций. Например, чтобы описать поверхность уровня функции, нужно знать ее «аналитическую формулу». Однако, оказывается, многие свойства непрерывных объектов можно изучить, представляя объект (например, поверхность) в виде симплициального комплекса. То есть, в виде пространства, склеенного из простых «элементарных кирпичей». Например, из симплексов разных размерностей. Такое представление позволяет алгоритмически вычислять такие важные топологические инварианты как группы гомологий. Можно найти копредставление фундаментальной группы и т. п. Зритель видит, как можно превратить гладкую поверхность в полиэдр, разбив ее на мелкие «кирпичи»: прямоугольники, треугольники, двуугольники и т. п. Там, где поверхность сильно искривлена, «кирпичи» становятся мелкими. После этого можно перенумеровать все получившиеся нульмерные, одномерные и двумерные «кирпичи» и составить квадратную матрицу, так называемую матрицу инциденций. В ней нужно записать — какие «кирпичи» имеют общие грани или вершины. Если такая матрица составлена, то на следующем шаге можно алгоритмически (например, на компьютере) вычислить группы гомологий поверхности (полиэдра).

МИФОЛОГИЯ

Миф сулка (Меланезия) утверждает, что когда-то море было очень маленьким и помещалось в глиняном горшке. По небрежности богов горшок был опрокинут и море разлилось широко и окружило землю. Переселение муравьиного народа. Муравьи играют важную роль во многих мировых культах вследствие своей множественности, коллективности поведения, подвижности. Разрушение муравейника всегда рассматривалось как несчастье. Мирмидоняне, т.е. «муравьиные люди», ведут свое начало от Зевса. Или же Зевс по просьбе царя острова Эгины превращает муравьев в людей, после того как все население острова погибло от чумы. Под предводительством Ахилла мирмидоняне-муравьи яростно сражаются под Троей. Переселяясь с места на место в образе муравьев, они тащат с собой маленький щит, закрывающий их тело.

БУЛГАКОВ: Маргарита на балу Воланда

«Когда Маргарита стала на дно этого бассейна, Гелла и помогающая ей Наташа окатили Маргариту какой-то горячей, густой и красной жидкостью. Маргарита ощутила соленый вкус на губах и поняла, что ее моют кровью.»

(с. 362).

МАТЕМАТИКА: ТЕОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ И РАСПРОСТРАНЕНИЯ ТРЕЩИН В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ

При появлении напряжений в сплошной среде, в ней возникают и начинают распространяться трещины. Теория трещин — одна из самых интересных и сложных в современной механике. На сегодняшний день имеется несколько теоретических моделей, которыми удается описывать различные типы трещин. Однако математическая теория пока далека от совершенства. Она эффективна лишь при определенных ограничениях на тензор напряжений. Выход за эти рамки приводит к чрезвычайно сложному математическому аппарату, который еще до конца не разработан. На рисунке предпринята попытка изобразить некоторые типы трещин и разрывов в сплошной среде. На заднем плане зритель может видеть ламинарный поток жидкости (или газа) в тот момент, когда скорость его достигла того предела, когда в потоке начинают возникать завихрения (эффект кавитации, срыва струи и т. д.). В эти критические моменты картина течения газа может измениться скачком и превратиться в турбулентную. Изучение турбулентности — актуальная тема гидродинамики и аэродинамики.

МИФОЛОГИЯ

Богиня Кали («черная», «гонительница») — одна из форм силы бога Шивы, известного божества «древне»-индийского пантеона. Шива — третья ипостась браманической троицы (Брама, Вишну, Шива), воспринимался как разрушитель. При этом Кала — черный, мрачный, время — эпитет Шивы. Его супруга — Кали. В древних изображениях иногда использовалась в качестве атрибута гирлянда из черепов, обвивающаяся вокруг шеи Кали. Из ее широко разинутого рта свисает длинный язык, окрашенный кровью ее жертв. Индийские тексты (в частности, «Махабхарата») относятся к этой паре скорее отрицательно, но с уважением. Вызвать гнев такого божества — смертельно опасно. Кали — имя злого духа, соблазняющего играть в кости. Кали — название последнего мирового периода. В конце мира Кали окутывает всю вселенную тьмой. Шива, разрушая формы, освобождает дух. И в то же время двойственный образ культа Шивы носит ярко выраженный сексуальный характер (особенно в шактизме, тантризме).

БУЛГАКОВ

Наконец, Маргарита в сопровождении свиты оказывается в гигантском зале, пока еще без гостей. Она занимает свое королевское место, ожидая появления приглашенных на бал королей, герцогов, кавалеров, самоубийц, отравительниц, висельников и сводниц, тюремщиков и шулеров, палачей, доносчиков, изменников, безумцев, сыщиков, растлителей.

«В спину веяло холодом, оглянувшись, Маргарита увидела, что из мраморной стены сзади нее бьет шипящее вино и стекает в ледяной бассейн. У левой ноги она чувствовала что-то теплое и мохнатое. Это был Бегемот.

Маргарита была в высоте, и из-под ног ее вниз уходила грандиозная лестница, крытая ковром. Внизу, так далеко, как будто бы Маргарита смотрела обратным способом в бинокль, она видела громаднейшую швейцарскую с совершенно необъятным камином, в холодную и черную пасть которого мог свободно въехать пятитонный грузовик. Швейцарская и лестница, до боли в глазах залитая светом, были пусты. Трубы теперь доносились до Маргариты издалека. Так простояли неподвижно около минуты.»

(с. 367)

МАТЕМАТИКА (ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ): ОДНОМЕРНАЯ ПРОБЛЕМА ПЛАТО, ЗАДАЧА ШТЕЙНЕРА.

Пусть в некоторые точки плоскости «вбиты колышки», а к ним привязаны резиновые нити, образующие «резиновую сеть». Предоставим этой системе нитей свободно деформироваться. Сеть будет стремиться к положению, отвечающему минимальной длине резиновых нитей. Вопрос: каковы минимальные сети и сколько их? При этом сеть может иметь особенности: из ее узлов может выходить по несколько нитей. Оказывается, для устойчивости сети необходимо, чтобы из каждого узла выходило ровно по три нити. Толстые резиновые жгуты на рисунке только что освобождены и начали скользить, стремясь к оптимальному положению.

БУЛГАКОВ: Гости представляются королеве Маргарите

«Очаровательнейшая и солиднейшая дама, — шептал Коровьев, — рекомендую вам: госпожа Тофана.»

(с. 370)

БУЛГАКОВ: Бал у Воланда

«На зеркальном полу несчитанное количество пар, словно слившись, поражая ловкостью и чистотою движений, вертясь в одном направлении…»

(с. 378)

БУЛГАКОВ: Бал у Воланда и луна Понтия Пилата

«Одуряющий запах шампанского подымался из бассейна.»

(с. 378)

БУЛГАКОВ: Финал бала Воланда

Гости собираются в центральный зал, в центре которого — возвышение для Воланда. Наконец, появляется он сам. Воланд завершает ежегодный бал, подняв чашу, изготовленную из черепа соперника, «проигравшего партию». На этот раз эта печальная роль оппонента выпала несчастному литератору Берлиозу.

«Прихрамывая, Воланд остановился возле своего возвышения, и сейчас же Азазелло оказался перед ним с блюдом в руках, и на этом блюде Маргарита увидела отрезанную голову человека с выбитыми передними зубами. Продолжала стоять полнейшая тишина, и ее прервал только один раз далеко послышавшийся, непонятный в этих условиях звонок, как бывает с парадного входа.

— Михаил Александрович, — негромко обратился Воланд к голове, и тогда веки убитого приподнялись и на мертвом лице Маргарита, содрогнувшись, увидела живые, полные смысла и страдания глаза. — Все сбылось, не правда ли?… Вы всегда были горячим проповедником той теории, что по отрезании головы жизнь в человеке прекращается, он превращается в золу и уходит в небытие. Мне приятно сообщить вам, в присутствии моих гостей, хотя они и служат доказательством совсем другой теории, о том, что ваша теория солидна и остроумна. Впрочем, ведь, все теории стоят одна другой. Есть среди них и такая, согласно которой каждому будет дано по его вере. Да сбудется же это! Вы уходите в небытие, а мне радостно будет из чаши, в которую вы превращаетесь, выпить за бытие.»

(с. 380–381)

МАТЕМАТИКА: ТОЧКИ БИФУРКАЦИЙ

Изображены некоторые особенности гладких функций.

БУЛГАКОВ: Голова Берлиоза превращается в череп на балу Воланда

«Воланд поднял шпагу. Тут же покровы головы потемнели и съежились, потом отвалились кусками, глаза исчезли, и вскоре Маргарита увидела на блюде желтоватый, с изумрудными глазами и жемчужными зубами, на золотой ноге, череп.»

(с. 381)

МАТЕМАТИКА: ОСОБЫЕ ТОЧКИ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Пейзаж «соткан» из различных алгебраических поверхностей. Они задаются полиномиальными уравнениями. Особо важными точками поверхностей являются те, где поверхность имеет особенность, сингулярность. Некоторые типы особенностей можно классифицировать, хотя это непросто. Типичные особенности напоминают острия, клювы, лезвия. Они появляются в геометрической оптике, в задачах о распространении волновых фронтов, в теории минимальных поверхностей.

МИФОЛОГИЯ

Голгофа, т.е. «череп», согласно христианской традиции — место распятия Христа. Средневековая богословская мысль связывала Голгофу с черепом Адама, который, якобы, оказался прямо под крестом, дабы кровь Христа, стекая на него, очистила Адама и все человечество от скверны греха. Средневековая иконография иногда приписывала черепу Адама гигантские размеры. На картинах, изображающих распятие, часто рисовали череп Адама. На мозаике, относимой к якобы XI веку, Адам изображен пробуждающимся к жизни. Он молитвенно поднимает руки и собирает в сосуд христову кровь, стекающую с креста.

БУЛГАКОВ: Рукописи не горят

«— Простите, не поверю, — ответил Воланд, — этого быть не может. Рукописи не горят. — Он повернулся к Бегемоту и сказал: — Ну-ка, Бегемот, дай сюда роман.»

(с. 398)

БУЛГАКОВ: Возвращение рукописи Мастеру

«Кот моментально соскочил со стула, и все увидели, что он сидел на толстой пачке рукописей.»

(с. 398)

МАТЕМАТИКА: ОСОБЕННОСТИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ

Огромная книга, листы которой переворачивает внезапно налетевший ураган. Однако эти листы изгибаются более причудливым образом, чем это бывает в случае обычных книжных листов. Показаны примеры особенностей, иногда возникающих при гладком отображении двумерной плоскости на себя. Их классификация — предмет изучения математической дисциплины, имеющей приложения в оптике, механике, математической физике, теории волновых фронтов и т. п. В теории особенностей дифференцируемых отображений получена классификация разных типов особенностей (впрочем, не очень сложных) с точностью до естественной эквивалентности, порожденной регулярными заменами координат.

МИФОЛОГИЯ

Книга Судеб и ураган. Судьбы людей записываются либо на листьях священного дерева, либо на свитках, либо в специальной книге. Согласно утверждению китайских жрецов, Книги Судеб хранятся в загробном мире. В них записаны основные события и продолжительность жизни каждого человека. Как умершего или живущего, так и того, который родится в будущем. Время от времени по царству мертвых проходит страшный ураган, который перемешивает листы книги, а некоторые даже разрывает в клочья. Так случайным образом перемешиваются судьбы людей. Некоторым любопытным героям удавалось (преодолев немыслимые препятствия) проникнуть в подземное царство, найти Книгу, и прочесть в ней свою судьбу. Но как только они прочитывали последнее слово, тут же падали мертвыми. А соответствующий параграф в Книге Судеб тут же сам собой переписывался заново. Таким образом, не имело никакого смысла «узнавать свою судьбу». В европейской мифологии Книга Судеб также играет заметную роль. За право прочесть свою судьбу тоже нужно «дорого заплатить».

БУЛГАКОВ: Тьма после казни Иешуа

«Тьма, пришедшая со Средиземного моря, накрыла ненавидимый прокуратором город. Исчезли висячие мосты, соединяющие храм со страшной Антониевой башней, опустилась с неба бездна и залила крылатых богов над гипподромом.»

(с. 413)

МАТЕМАТИКА

Изображена известная поверхность Куммера с 8 вещественными двойными точками и двойными плоскостями. Каждая из 8 вещественных двойных плоскостей содержит 4 вещественные двойные точки. Оставшиеся две точки комплексно сопряжены. Поверхность степени 4 может иметь в комплексном проективном пространстве не более 16 обычных двойных точек. Поверхности четвертой степени, имеющие в точности такое число двойных точек, называются поверхностями Куммера. Соотношения инцидентности между 16 двойными точками и 16 плоскостями — одни и те же для всех поверхностей Куммера. Каждая из этих 16 плоскостей касается поверхности Куммера вдоль коники. Другими словами, пересечение поверхности с такой плоскостью является кривой второй степени в плоскости и плоскость касательна к поверхности в каждой точке пересечения. В силу этих соображений такие плоскости называются двойными. В отличие от кубических поверхностей, поверхности четвертой степени в комплексном проективном пространстве еще полностью не классифицированы. Такой полный список должен будет содержать несколько сотен типов поверхностей. Поверхности Куммера — это пример поверхностей степени 4, играющих важную роль в теории алгебраических поверхностей. Эта теория — особый «мир», населенный замечательными объектами.

МИФОЛОГИЯ

Легенда о ниспровержении языческого бога Перуна в Древней Руси при Владимире Святом. Вернувшись в Киев, Владимир прежде всего крестил сыновей, затем приказал ниспровергнуть языческие идолы. Некоторых идолов рассекли на части, других сожгли, а главного, Перуна, привязали к хвосту лошади и потащили с горы, причем двенадцать человек били истукана палками: это было сделано, прибавляет летописец, не потому, чтобы дерево чувствовало, но на поругание бесу, который этим идолом прельщал людей, — так пусть же от людей примет и возмездие. Когда волокли идола в Днепр, то народ плакал: а когда Перун поплыл по реке, то приставлены были люди, которые должны были отталкивать его от берега, до тех пор пока пройдет пороги. (С.М.Соловьёв, «Сочинения», книга 1 — Москва, «Мысль», 1988, стр. 175.) Однако, древний Перун не проклял свою землю, а благословил ее.

БУЛГАКОВ: Иерусалим после казни Иешуа

Наступает ночь и на город обрушивается страшный ураган.

«Пропал Ершалаим — великий город, как будто не существовал на свете. Все пожрала тьма, напугавшая все живое в Ершалаиме и его окрестностях. Странную тучу принесло со стороны моря к концу дня, четырнадцатого дня весеннего месяца нисана.

Она уже навалилась своим брюхом на Лысый Череп, где палачи поспешно кололи казнимых, она навалилась на храм в Ершалаиме, сползла дымными потоками с холма и залила Нижний Город. Она вливалась в окошки и гнала с кривых улиц людей в дома. Она не спешила отдавать свою влагу и отдавала только свет. Лишь только дымное черное варево распарывал огонь, из кромешной тьмы взлетала вверх великая глыба храма со сверкающим чешуйчатым покровом. Но он угасал во мгновение, и храм погружался в темную бездну. Несколько раз он выскакивал из нее и опять проваливался, и каждый раз этот провал сопровождался грохотом катастрофы.

Другие трепетные мерцания вызывали из бездны противостоящий храму на западном холме дворец Ирода Великого, и страшные безглазые золотые статуи взлетали к черному небу, простирая к нему руки. Но опять прятался небесный огонь, и тяжелые удары грома загоняли золотых идолов во тьму.»

(с. 413–414)

МАТЕМАТИКА

Иллюстрируется идея ретракции (стягивания) топологического пространства X на его замкнутое подпространство Y. Это подмножество изображено в виде прямолинейного евклидова полиэдра, составленного из огромных параллелепипедов. Деформационная ретракция — это непрерывная гомотопия (деформация) пространства X по себе таким образом, что в конце деформации все пространство X стягивается на Y. Причем в процессе деформации подпространство Y должно быть неподвижно, то есть его точки должны «стоять на месте». Дополнение к подмножеству Y изображено в виде аморфных гибких структур, которые мягко оседают на жесткий полиэдр Y. Таким образом, полиэдр Y «втягивает в себя» все остальные точки объемлющего пространства X.

БУЛГАКОВ: Буря и гроза после казни Иешуа

«Другие трепетные мерцания вызывали из бездны противостоящий храму на западном холме дворец Ирода Великого, и страшные безглазые золотые статуи взлетали к черному небу, простирая к нему руки. Но опять прятался небесный огонь, и тяжелые удары грома загоняли золотых идолов во тьму.»

(с. 414)

МАТЕМАТИКА: ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГОМЕОМОРФИЗМЫ

Например, «человеческая фигура» под действием гомеоморфизма может измениться до неузнаваемости, однако сохраняет при этом свои основные топологические характеристики. Топология, в частности, изучает свойства объектов, сохраняющиеся при гомеоморфизмах. Кристаллографические группы и «плотные упаковки» пространства. Пространство можно замостить повторяющимися, конгруэнтными фигурами таким образом, что между ними не будет никаких «просветов».

МИФОЛОГИЯ

Внутренность пещеры-вселенной. В ее центре поднимается огромный каменный храм. На его вершине — каменные фигуры титанов, переплетенные в яростной последней схватке. У основания фигур — площадь перед входом в храм. На ней — людские толпы, празднующие первый восход солнца. Торжество, веселье, выборы жреца-царя. Храм — напоминание о войне титанов с богами. Титаны восстали против богов, но Зевс ниспроверг титанов и погрузил их разум во мрак. Безумные титаны напали друг на друга и уничтожили сами себя. Те же, которые уцелели, были свергнуты в тартар — в подземное царство. Образ горы (например, Олимпа в греческой традиции) — один из центральных в мифологиях многих народов. Гора находится в центре мира, ее вершина упирается в Полярную звезду, а ось мира пронизывает гору сверху донизу. Обычно гора окружена мировым океаном. Широко распространенный культ пещер связан с культом Горы. Солнце и Луна движутся вокруг вершины горы, попеременно скрываясь за ней. С земли вершина горы видна плохо, так как скрыта облаками и только в моменты великих потрясений открывается вид на обитель богов.

БУЛГАКОВ: Ночная гроза над Иерусалимом после казни Иешуа

«В том самом месте, где около полудня, близ мраморной скамьи в саду, беседовали прокуратор и первосвященник, с ударом, похожим на пушечный, как трость переломило кипарис… Ураган терзал сад.»

(с. 414)

БУЛГАКОВ

Ночной разговор Понтия Пилата и Афрания — начальника тайной службы, — это одна из вершин романа. Изящество этой беседы производит особенно сильное впечатление на фоне предыдущих событий. Пилат находит очень привлекательную форму, в которую облекает свой приказ немедленно уничтожить Иуду. Еще более изящен ответ Афрания, обещающего немедленно принять все возможные меры по охране Иуды из Кириафа. Искренняя забота обоих собеседников о судьбе Иуды — классический пример политически грамотной беседы.

«Тут прокуратор умолк, оглянулся, нет ли кого на балконе, и потом сказал тихо: — Так вот в чем дело — я получил сегодня сведения о том, что его зарежут сегодня ночью…

— Осмелюсь спросить, от кого же эти сведения?

— Позвольте мне пока этого не говорить, тем более что они случайны, темны и недостоверны. Но я обязан предвидеть все. Такова моя должность, а пуще всего я обязан верить своему предчувствию, ибо никогда еще оно меня не обманывало… Вот поэтому я прошу вас заняться этим делом, то есть принять меры к охране Иуды из Кириафа.

— Приказание игемона будет исполнено, — заговорил Афраний, — но я должен успокоить игемона: замысел злодеев чрезвычайно трудно выполним. Ведь подумать только, — гость, говоря, обернулся и продолжал: — выследить человека, зарезать, да еще узнать, сколько получил, да ухитриться вернуть деньги Каифе, и все это в одну ночь? Сегодня?

— И тем не менее, его зарежут сегодня, — упрямо повторил Пилат, — у меня предчувствие, говорю я вам! Не было случая, чтобы оно меня обмануло, — тут судорога прошла по лицу прокуратора, и он коротко потер руки.

— Слушаю, — покорно отозвался гость, поднялся, выпрямился и вдруг спросил сурово: — Так зарежут, игемон?

— Да, — ответил Пилат, — и вся надежда только на вашу изумляющую всех исполнительность.»

(с. 423–424)

БУЛГАКОВ: Убийство Иуды, которого усиленно охраняет тайная служба римского прокуратора

Совершенно случайно на пути Иуды оказывается женщина, которой он давно увлечен. Она неожиданно приглашает его явиться на свидание к условленному месту за городом. Иуда слегка удивлен, но, естественно, устремляется на свидание. Как потом доложит растерянный Афраний прокуратору, агенты тайной полиции в этот момент почему-то потеряли из виду Иуду. Впрочем, через несколько часов Афраний уверенно «отметет» гипотезу Пилата о том, что возможно в неожиданном убийстве Иуды замешана женщина. Поскольку, по словам Афрания, убить человека при помощи женщины стоит огромных денег, которых, конечно же, нет у нищих и разрозненных последователей Иешуа.

«— Низа!

Но вместо Низы, отлепившись от толстого ствола маслины, на дорогу выпрыгнула мужская коренастая фигура, и что-то блеснуло у нее в руке и тотчас потухло.

Иуда шарахнулся назад и слабо вскрикнул:

— Ах!

Второй человек преградил ему путь.

Первый, что был впереди, спросил Иуду:

— Сколько получил сейчас? Говори, если хочешь сохранить жизнь!

Надежда вспыхнула в сердце Иуды. Он отчаянно вскричал:

— Тридцать тетрадрахм! Тридцать тетрадрахм! Все, что получил, с собою. Вот деньги! Берите, но отдайте жизнь!»

(с. 434–435)

МАТЕМАТИКА (АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТОПОЛОГИЯ): ГРАНИЧНЫЙ ОПЕРАТОР

Граница каждого трехмерного тела, изображенного здесь, состоит из шести граней-прямоугольников. Склеивая параллелепипеды указанным образом, мы уменьшаем их общую границу. При каждой склейке взаимно уничтожаются два прямоугольника. Тем не менее, после каждой склейки получается трехмерное тело, граница которого по-прежнему гомеоморфна двумерной сфере (граница каждого параллелепипеда гомеоморфна сфере). Таким образом, рисунок показывает различие между понятиями геометрической границы и алгебраической границы. В то же время, формально-алгебраические вычисления с алгебраическими границами помогают нам составить представление о геометрической границе объекта. Если полиэдр составлен из нескольких подполиэдров, то вычисляя их границы и составляя из них алгебраическую сумму, мы можем привести подобные члены, сократив слагаемые, отличающиеся лишь знаками. В результате мы вычисляем границу большого полиэдра.

БУЛГАКОВ: Гибель Иуды

«И в этот же миг за спиной у Иуды взлетел нож и, как молния, ударил влюбленного под лопатку. Иуду швырнуло вперед, и руки со скрюченными пальцами он выбросил в воздух.»

(с. 435)

БУЛГАКОВ: Гибель Иуды

«Человек впереди мгновенно выхватил из рук Иуды кошель. И в тот же миг за спиной у Иуды взлетел нож, как молния, и ударил влюбленного под лопатку. Иуду швырнуло вперед, и руки со скрюченными пальцами он выбросил в воздух. Передний человек поймал Иуду на свой нож и по рукоять всадил его в сердце Иуды.

— Ни…за… — не своим, высоким и чистым молодым голосом, а голосом низким и укоризненным проговорил Иуда и больше не издал ни одного звука. Тело его так сильно ударилось об землю, что она загудела.»

(с. 435)

По приказу Афрания (совершенно случайно оказавшегося на месте убийства) Иуду обыскивают и забирают кошель с «тридцатью сребренниками». Как вскоре с грустью доложит Афраний прокуратору, убит Иуда был неообыкновенно искусно. Впрочем, как выясняется, обнаружить убийц будет чрезвычайно трудно. Хотя, конечно, римская полиция приложит все усилия чтобы в кратчайший срок найти и наказать их.

МАТЕМАТИКА (ГЕОМЕТРИЯ И ГИДРОСТАТИКА): ПОЛИЭДРЫ. ОТРЫВ КАПЛИ ЖИДКОСТИ ОТ ТВЕРДОЙ ПОВЕРХНОСТИ.

БУЛГАКОВ: Пасхальная ночь в Иерусалиме

Прокуратор на балконе дворца ожидает доклада Афрания о том, как была организована охрана Иуды из Кириафа.

«Дворец Ирода Великого не принимал никакого участия в торжестве пасхальной ночи. В подсобных покоях дворца, обращенных на юг, где разместились офицеры римской когорты и легат легиона, светились огни, там чувствовалось какое-то движение и жизнь, передняя же часть, парадная, где был единственный и невольный жилец дворца — прокуратор, как будто ослепла под ярчайшей луной. Тут, внутри дворца, господствовали мрак и тишина… Оголенная луна висела высоко в чистом небе, и прокуратор не сводил с нее глаз в течение нескольких часов.»

(с. 438)

МАТЕМАТИКА: ОБЩАЯ ГРАНИЦА ПОЛИЭДРОВ МОЖЕТ УМЕНЬШИТЬСЯ ПРИ ИХ СКЛЕЙКЕ

Иллюстрируется важная геометрическая операция: разрезание полиэдра и (обратная операция) склейка двух или нескольких полиэдров по части их границы. Пусть даны два полиэдра «с границей», например, два многообразия с границей. Если эти границы содержат «одинаковые куски», то можно отождествить их посредством гомеоморфизма. А затем склеить полиэдры по этой части границы. В результате общая граница уменьшится.

БУЛГАКОВ

В полночь прокуратор засыпает и видит сон, в котором он идет по светящейся дороге к луне вместе с Иешуа и о чем-то с ним беседует. Спор этот очень интересен и нескончаем.

«Все это было хорошо, но тем ужаснее было пробуждение игемона. Банга зарычал на луну, и скользкая, как бы укатанная маслом, голубая дорога перед прокуратором провалилась. Он открыл глаза, и первое, что вспомнил, это что казнь была. Первое, что сделал прокуратор, это привычным жестом вцепился в ошейник Банги, потом больными глазами стал искать луну и увидел, что она немного отошла в сторону и посеребрилась. Ее свет перебивал неприятный, беспокойный свет, играющий на балконе перед самыми глазами.»

(с. 440)

И в этот момент гигантский черный кот Бегемот — спутник Воланда — медленно поворачивается и неторопливо покидает место казни на Лысой Горе. Драма завершается, зрители уходят с трибун.

МАТЕМАТИКА (КРИСТАЛЛОГРАФИЯ): РОСТ КРИСТАЛЛОВ

Рост кристаллов подчиняется сложным закономерностям, в результате могут образовываться сложные упорядоченные структуры. Бесконечная гряда тяжелых «кристаллических облаков» включает в себя как упорядоченные элементы, так и более мелкие кристаллические формы, придающие пейзажу кажущуюся хаотичность.

БУЛГАКОВ: Ночное пробуждение Пилата

«Он открыл глаза, и первое, что вспомнил, это что казнь была… В руках у кентуриона Крысобоя пылал и коптил факел. Держащий его со страхом и злобой косился на опасного зверя, приготовившегося к прыжку.»

(с. 440)

МАТЕМАТИКА: РАЗВЕРТКА ТРИАНГУЛЯЦИИ ШАРА

Трехмерный шар можно триангулировать (разбить на симплексы) так, чтобы каждый симплекс имел ровно одну свою грань (т.е. треугольник) на границе шара, а противоположную ей вершину имел бы в центре шара. Такое разбиение шара получается, если заранее триангулирована его граница (т.е. граничная сфера). Если потом развернуть эту триангуляцию шара, то получится картина, изображенная на рисунке.

МИФОЛОГИЯ

Легенда о боге Прометее, сошедшем на землю и подарившем людям огонь. За это был жестоко наказан Зевсом: прикован к скале в горах Кавказа в пределах Скифии, где орел каждый день терзает его печень, вырастающую вновь. Аргонавты, проплывая вблизи Кавказа, слышат стоны Прометея, прикованного в горах. Однако Прометей знает древнюю тайну: если Зевс женится на богине Фетиде, то родившийся сын свергнет Зевса. Незнание будущего страшит Зевса и он освобождает Прометея в обмен на рассказ о тайне. Указание Зевса исполняет Геракл на пути к своему одиннадцатому подвигу. В Афинской академии был жертвенник Прометея. От него начинался бег с зажженными факелами. Огонь нужно было тщательно оберегать. Миф о Прометее — один из самых значительных в мифологии Греции.

БУЛГАКОВ

На балконе появляется Афраний с докладом, что ему не удалось предотвратить убийство Иуды, и что он готов идти под суд и в отставку. Прокуратор, подумав, отклоняет просьбу об отставке. Афраний обещает завтра же начать официальное и беспощадное расследование по обнаружению убийц и их наказанию. Основная трудность состоит в том, что члены Синедриона упорно настаивают, что никому (в том числе и Иуде) никакие деньги не выплачивались. А предположение, будто Иуда донес Синедриону на Иешуа, неоправданно порочит это почтенное и уважаемое учреждение. И речи быть не может о том, что Синедрион был как-то заинтересован в казни Иешуа. Пилат соглашается, что такая позиция Синедриона может очень осложнить процесс расследования. В то же время надо приложить все усилия, чтобы сотрудничество с Синедрионом продолжалось, развивалось и крепло.

«— Да, Афраний, вот что внезапно мне пришло в голову: не покончил ли он сам с собой?

— О нет, прокуратор, — даже откинувшись от удивления в кресле, ответил Афраний, — простите меня, но это совершенно невероятно!

— Ах, в этом городе все вероятно! Я готов спорить, что через самое короткое время слухи об этом поползут по всему городу.

Тут Афраний метнул в прокуратора свой взгляд, подумал и ответил:

— Это может быть, прокуратор.»

(с. 446)

Неожиданно прокуратор вспоминает, что когда-то он занял у Афрания немного денег и поэтому хотел бы вернуть долг, поскольку и о безделице нужно обязательно помнить (хотя это было действительно давно). Очень кстати в кабинете прокуратора совершенно случайно оказывается тяжелый кошель с золотом.

Между прочим, предчувствие не обмануло Пилата. Действительно, вскоре по городу поползли упорные слухи о самоубийстве раскаявшегося Иуды. Ничего удивительного в этом нет, поскольку такой опытный администратор, как Пилат, столько лет прослуживший на востоке, естественно хорошо знал нравы и обычаи местного народа.

БУЛГАКОВ

Афраний доставляет во дворец к прокуратору Левия Матвея. Короткая беседа Матвея с прокуратором, в которой выясняется, что Матвея опередили в его стремлении убить Иуду.

«— Сядь! — молвил Пилат и указал на кресло.»

(с. 450)

МАТЕМАТИКА (ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА): ПРЕЛОМЛЕНИЕ СВЕТА ВНУТРИ КРИСТАЛЛА

Пучок лучей света, войдя в кристалл, движется внутри него по сложным законам и, выходя наружу, сильно преобразуется. Показано одно из распределений освещенных зон на поверхности кристаллического параллелепипеда.

БУЛГАКОВ: Рассвет на следующий день после казни Иешуа

«Луна быстро выцветала, на другом краю неба было видно беловатое пятнышко утренней звезды. Светильники давным-давно погасли. На ложе лежал прокуратор. Подложив руку под щеку, он спал и дышал беззвучно. Рядом с ним спал Банга.

Так встретил рассвет пятнадцатого нисана пятый прокуратор Иудеи Понтий Пилат.»

(с. 453)

МАТЕМАТИКА: ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПЕРЕСТРОЙКИ ПОВЕРХНОСТЕЙ УРОВНЯ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ НА МНОГООБРАЗИЯХ

Каждая гладкая функция, заданная на гладком многообразии, расслаивает его на гиперповерхности уровня. При изменении значения функции (например, при его возрастании), соответствующая поверхность уровня деформируется внутри многообразия и меняет свое положение. Когда значение функции проходит через критическое значение, поверхность уровня перестраивается, меняется ее топология. К ней специальным образом приклеиваются «ручки» — гомеоморфные образы евклидовых шаров (если функция имеет невырожденные критические точки). Таким образом, различия между соседними поверхностями уровня определяется тем — какие именно критические точки функции попали в пространство (в слой) между этими гиперповерхностями. На рисунке изображены перестройки уровней в виде слоев облаков в небе.

МИФОЛОГИЯ

Рассвет последнего дня Валхаллы. Скандинавские и германские мифы рассказывают о гибели светлых богов (возглавляемых Вотаном). На огромной скале находится Валхалла — храм-обитель богов. Вотану не удалось остановить действие проклятия Альбериха и бог огня Логе уже готовится подняться к небу, чтобы поглотить древний обессилевший пантеон. Боги неподвижно ожидают финала, не в состоянии предотвратить события. В это утро начался всемирный потоп. Вот как рассказывает об этом шумерийский миф. «Когда стало рассветать, появилось на горизонте черное облако. Рамман гремел среди небес, а боги Мужати и Лугал предшествовали ему. Подобно гонцам шли они по горам и равнинам: Ирригал сорвал с корабля мачту. Явился Ниниб и разразился бурей. Боги Ануннаки вздымали кверху пылающие факелы, бросавшие яркий свет на землю. Смерч бога Раммана поднимался к небесам, и дневной свет потух во мраке… Один не видел другого, люди не узнавали друг друга. Боги на небесах испугались потопа и пятились назад, карабкались по небосклону к обители Ану. Боги припадали к земле, как собаки, жались у стен. Истар надрывалась от крика, как женщина в родовых муках…» (Цит. по книге: Дж.Дж.Фрэзер, «Фольклор в ветхом Завете». Русский перевод: Москва-Ленинград, 1931, стр. 51).

БУЛГАКОВ: Пилат в кресле на скале

«Воланд осадил своего коня на каменистой безрадостной плоской вершине, и тогда всадники двинулись шагом, слушая, как кони их подковами давят кремни и камни.

Луна заливала площадку зелено и ярко, и Маргарита скоро разглядела в пустынной местности кресло и в нем белую фигуру сидящего человека. Возможно, что этот сидящий был глух или слишком погружен в размышление. Он не слыхал, как содрогалась каменистая земля под тяжестью коней, и всадники, не тревожа его, приблизились к нему.»

(с. 520–521)

БУЛГАКОВ: Пес Банга рядом с Понтием Пилатом на скале

«Теперь уже Маргарита видела, что рядом с тяжелым каменным креслом, на котором блестят от луны какие-то искры, лежит темная, громадная остроухая собака и так же, как ее хозяин, беспокойно глядит на луну.»

(с. 521)

БУЛГАКОВ: Воланд и его спутники приближаются к Пилату, сидящему на скале

«Луна хорошо помогала Маргарите, светила лучше, чем самый лучший электрический фонарь, и Маргарита видела, что сидящий, глаза которого казались слепыми, коротко потирает свои руки и эти самые незрячие глаза вперяет в диск луны. Теперь уже Маргарита видела, что рядом с тяжелым каменным креслом, на котором блестят от луны какие-то искры, лежит темная, громадная остроухая собака и так же, как ее хозяин, беспокойно глядит на луну.»

(с. 521)

БУЛГАКОВ: Пилат с собакой Бангой на скале

«У ног сидящего валяются черепки разбитого кувшина и простирается невысыхающая черно-красная лужа.

Всадники остановили своих коней.»

(с. 521)

МАТЕМАТИКА (ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА): ВНУТРИ КРИСТАЛЛА

Наблюдатель находится внутри кристалла и видит «несколько солнц», хотя в действительности они появились лишь в результате сложной системы преломлений различных пучков лучей, вошедших в кристалл через его разные наружные грани.

БУЛГАКОВ: Пилат и Луна

«Он говорит, — раздался голос Воланда, — одно и то же. Он говорит, что и при луне ему нет покоя и что у него плохая должность. Так говорит он всегда, когда не спит, а когда спит, то видит одно и то же — лунную дорогу, и хочет пойти по ней и разговаривать с арестантом Га-Ноцри.»

(с. 521)

МАТЕМАТИКА: КОСЫ И ЗАЦЕПЛЕНИЯ

Рассмотрим в трехмерном пространстве две параллельные плоскости и в каждой из них отметим конечное множество точек. Пусть эти два множества устроены так, что они совмещаются (отождествляются) при параллельном перемещении плоскостей и наложении их друг на друга. Предположим, что при параллельном переносе первой плоскости (до совпадения со второй) точки первого множества начинают двигаться в этой скользящей плоскости каким-то произвольным образом, лишь бы никакие две точки не совпадали. Предположим, что в тот момент, когда первая плоскость совместится со второй, эти перемещающиеся точки попадут как раз в точки второго множества, отмеченного ранее на второй плоскости. Рассмотрим траектории, прочерченные в пространстве точками первого множества. Эта система непересекающихся линий называется косой. Например, траектории, прочерчиваемые корнями полинома при его деформации в классе полиномов без кратных корней, также тесно связаны с косами.

МИФОЛОГИЯ

Мировой Океан выступает как одно из основных воплощений Хаоса (и связанных с ним чудовищ). Согласно шумерской космогонии, вначале все мировое пространство заполнял океан без начала и конца. В его недрах таилась праматерь Намму, в чреве которой возникла космическая гора, в будущем ставшая землей, поднявшейся из океана. Мотив одинокой горы, появляющейся из пучины бесконечных вод, встречается во многих мифах. В нганасанском мифе творения сначала вся земля покрыта водой, потом она спадает и обнажает острую вершину шайтанского хребта, на которую падают два первых человека — мужчина и женщина. Библия рассказывает, что после потопа из пучины, наконец, появилась одинокая гора, к которой и пристал Ноев ковчег. Шумерский миф утверждал, что дуга из блестящего олова, опоясывавшая гору, позднее стала небом. Вавилонская версия сообщала, что в первозданном океане не было ничего, кроме двух страшных чудовищ — праотца Апсу и праматери Тиамат.

БУЛГАКОВ: Воланд говорит о Пилате

«— Он говорит, — раздался голос Воланда, — одно и то же, он говорит, что и при луне ему нет покоя и что у него плохая должность. Так говорит он всегда, когда не спит, а когда спит, то видит одно и то же — лунную дорогу, и хочет пойти по ней и разговаривать с арестантом Га-Ноцри, потому что, как он утверждает, он чего-то не договорил тогда, давно, четырнадцатого числа весеннего месяца нисана. Но увы, на эту дорогу ему выйти почему-то не удается, и к нему никто не приходит. Тогда, что ж поделаешь, приходится разговаривать ему с самим собою. Впрочем, нужно же какое-нибудь разнообразие, и к своей речи о луне он нередко прибавляет, что более всего в мире ненавидит свое бессмертие и неслыханную славу… Теперь ваш роман вы можете кончить одною фразой!

Мастер как будто бы этого ждал уже, пока стоял неподвижно и смотрел на сидящего прокуратора. Он сложил руки рупором и крикнул так, что эхо запрыгало по безлюдным и безлесным горам:

— Свободен! Свободен! Он ждет тебя!»

(с. 522)

МАТЕМАТИКА (ТЕОРИЯ ГОМОЛОГИЙ): СИМПЛИЦИАЛЬНЫЕ, КУБИЧЕСКИЕ, КЛЕТОЧНЫЕ ЦЕПИ

Понятие симплициальной или клеточной цепи лежит в основе вычисления таких топологических инвариантов пространств как групп гомологий и когомологий. Предположим, что пространство представлено в виде объединения элементарных «кирпичей» — кубов, симплексов, или клеток. Чтобы задать симплициальную цепь, нужно приписать каждому симплексу произвольное число, т.е. снабдить этот «кирпич» числовым коэффициентом. Эти коэффициенты могут быть самой разной природы: целые, рациональные, вычеты по модулю p. Изображенный полиэдр разбит на квадраты. Каждому квадрату приписан числовой коэффициент, условно представленный в виде человеческой фигурки. Разные позы — разные коэффициенты. Теперь можно вычислить границу цепи. Просуммируем все отрезки, составляющие границы квадратов, учтя их числовые коэффициенты. Если в результате получится ноль, цепь называется циклом. Независимые циклы составляют базис группы гомологий.

БУЛГАКОВ: Мастер и Маргарита уходят на покой

«— Слушай беззвучие, — говорила Маргарита мастеру, и песок шуршал под ее босыми ногами, — слушай и наслаждайся тем, чего тебе не давали в жизни, — тишиной.»

(с. 524)

БУЛГАКОВ: Мастер и Маргарита уходят

«Так говорила Маргарита, идя с мастером по направлению к вечному их дому, и мастеру казалось, что слова Маргариты струятся так же, как струился и шептал оставленный позади ручей.»

(с. 525)

МАТЕМАТИКА: ГОМОТОПИЯ И ОТРЫВ КАПЛИ ОТ ТВЕРДОЙ ПОВЕРХНОСТИ

Изображено образование капли тяжелой вязкой жидкости, свисающей с твердой проверхности в пространстве. В то же время здесь можно наглядно представить себе начало гомотопии геометрического объекта. Первоначально он был твердым, затем какая-то его часть становится мягкой, податливой и начинает непрерывно деформироваться, как бы под влиянием силы тяжести. Именно такие образы часто возникают в мозгу математика, работающего в области гомотопической топологии. Формирование подобных «картинок» важно для успешной работы и в некоторых других областях математики. Дело в том, что многие глубокие доказательства опираются на наглядные интуитивные представления. В математической практике часто случается, что формальное, например, алгебраическое доказательство какого-то факта, удается легче получить после того, как в мозгу сложилась ясная геометрическая картина происходящего.

МИФОЛОГИЯ

Изгнание Адама и Евы из рая. Вкусивши запретный плод, устыдились собственной наготы и сделали себе «опоясания». По другой версии, Бог сделал «человеку и жене его одежды кожаные, и одел их». Затем Бог изгоняет их из рая, а у входа ставит привратника-херувима, чтобы не допустить возвращения Адама и Евы. Позднейшие версии уточняли географическое положение сада-рая: в плодородной стране, откуда исходят великие реки. После изгнания Адам и Ева попадают в неуютный, грешный мир, полный опасностей. Мотив изгнания многократно обсуждался в теологической литературе, поскольку библейское предание можно трактовать по-разному.