DiffGeom Logo
 
О кафедре
История кафедры
Фотоальбом
Сотрудники
Наши студенты
Наши аспиранты
Научная работа
Научные достижения
Лаборатория компьютерных методов
Digital Vision Laboratory
Где работают наши выпускники
Международные и внутри-российские связи кафедры
Публикации
Наши книги
Наши статьи
Диссертации
Работы студентов
Студентам
Спецкурсы
Спецсеминары
Учебные материалы
Задачи для исследования
Олимпиада кафедры
Наглядная и компью­терная геометрия и топология
Геометрические сюжеты
Энциклопедические статьи
Задать вопрос


ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ В МОСКОВСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
А.Т.ФОМЕНКО,   А.И.ШАФАРЕВИЧ

1. XIX ВЕК
    ЗЕРНОВ НИКОЛАЙ ЕФИМОВИЧ
    БРАШМАН НИКОЛАЙ ДМИТРИЕВИЧ
    ДАВИДОВ АВГУСТ ЮЛЬЕВИЧ
2. НАЧАЛО XX ВЕКА
    ЕГОРОВ ДМИТРИЙ ФЁДОРОВИЧ
3. СОЗДАНИЕ КАФЕДРЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
4. КАФЕДРА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ СЕГОДНЯ

1. XIX ВЕК

Начиная с середины XIX века в Московском Университете преподаются дисциплины, включающие в себя элементы дифференциальной геометрии. Особенно значительной в этом отношении была деятельность профессоров университета Н.Е.Зернова, Н.Д.Брашмана и А.Ю.Давидова.

ЗЕРНОВ НИКОЛАЙ ЕФИМОВИЧ (1804–1862)

Профессор Н.Е.Зернов читал курс чистой математики с 1835 г. до 1862 г. В 1842 году он издал курс «Дифференциальное исчисление в приложении к геометрии». Этот курс был одним из лучших курсов анализа и содержал сведения о новейших достижениях науки того времени.

БРАШМАН НИКОЛАЙ ДМИТРИЕВИЧ (1796–1866)

Существенное влияние на подготовку математиков и механиков оказал профессор Николай Дмитриевич Брашман, занимавший с 1834 до 1864 года в Московском университете кафедру прикладной математики, под которой тогда подразумевалась механика. Им был написан оригинальный «Курс аналитической геометрии» (М., 1836), удостоенный премии Академии наук.

Н.Д.Брашман приехал в Москву осенью 1834 г., после того как он в течение девяти лет проработал в Казанском университете под руководством Н.И.Лобачевского. Неудивительно, что в курсе Н.Д.Брашмана ощущается влияние некоторых идей Лобачевского. Это влияние не ускользнуло от рецензентов «Курса» Н.Д.Брашмана, академиков Фусса и Коллинса. Рецензенты отмечали в своем отзыве как «неодобрительные» некоторые места из введения, которые «могут легко завлечь ученика в такие же бесполезные умозрения, какие нам еще недавно были предложены в так называемой Воображаемой геометрии».

Н.Д.Брашман был инициатором создания в 1864 году Московского математического общества. В том же году он учредил при университете премию за лучшие сочинения по математике. Среди многочисленных учеников Н.Д.Брашмана был П.Л.Чебышев.

ДАВИДОВ АВГУСТ ЮЛЬЕВИЧ (1823–1885)

Ближайший ученик Брашмана А.Ю.Давидов был его преемником и по кафедре прикладной математики, и по преподаванию механики в Московском университете, и по президентству в математическом обществе. Он написал широко распространенные учебники: «Элементарная геометрия», «Начальная алгебра», «Руководство по тригонометрии». А.Ю.Давидов занимался как «чистой» математикой, так и ее приложениями к механике; в частности, он изобрел метод нахождения положений равновесия плавающего тела.

2. НАЧАЛО XX ВЕКА

ЕГОРОВ ДМИТРИЙ ФЁДОРОВИЧ (1869–1931)

В научной деятельности Дмитрия Фёдоровича Егорова дифференциальная геометрия занимала центральное место. Одна из его первых работ по геометрии — «К общей теории соответствия поверхностей», опубликованная в 1896 году; важнейшая работа в этой области — его докторская диссертация «Об одном классе ортогональных систем», защищенная в 1901 году. Объектом исследования в диссертации являются ортогональные системы координатных линий на поверхности, являющиеся инвариантными относительно градиентного потока некоторой функции ω. Это равносильно тому, что ортогональная система образована кривыми u=const и v=const, причем первая квадратичная форма поверхности в координатах u,v имеет вид

ds2=(∂ω/∂u)du2+(∂ω/∂v)dv2.

Такие ортогональные системы Д.Ф.Егоров называет потенциальными, а функцию ω основной функцией системы. Для исследования потенциальных систем в диссертации выводятся уравнения, позволяющие для произвольной поверхности находить ее потенциальные ортогональные системы. В частности, для основной функции системы получено уравнение в частных производных 3-го порядка следующего вида

α Δω +
1
2
(dα,dω) = 0 ,
где α=1/|dω|2+ ( [|dω|2Δω-(dω,d|dω|2)] / [{dω,|dω|2}|dω|2] ) 2 . */?> α =
1
|dω|2
+
( |dω|2Δω−(dω,d|dω|2) )2
( {dω,|dω|2} |dω|2 )2
 . */?>
α =
1
|dω|2
+
( |dω|2Δω−(dω,d|dω|2) )2
( {dω,|dω|2} |dω|2 )2
Здесь круглыми скобками обозначено скалярное произведение в метрике поверхности, а фигурными — скобка Пуассона относительно соответствующей симплектической структуры (формы площади). Несмотря на устрашающий вид уравнения, в работе получено много результатов, описывающих свойства его решений (и, тем самым, потенциальных систем).

Несколько работ Д.Ф.Егорова посвящено изгибанию поверхностей, при котором сохраняется сопряженность между выделенными семействами кривых на поверхности, а также вопросу о том, какие поверхности можно составить из линий фиксированного слоения заданной поверхности.

Геометрические работы Д.Ф.Егорова производят неожиданно современное впечатление. В них чисто геометрические методы и идеи сочетаются с исследованием сложных нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных (которые на первый взгляд кажутся совершенно неприступными). Некоторые из этих уравнений получаются как условия совместности переопределенных линейных систем, а наборы решений строятся из одного начального решения посредством подходящих преобразований.

3. СОЗДАНИЕ КАФЕДРЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

В 1922 году была основана кафедра Дифференциальной геометрии Механико-математического факультета Московского государственного университета — одна из старейших кафедр механико-математического факультета МГУ. Первым ее заведующим был профессор Вениамин Фёдорович Каган, затем с 1952 г. по 1964 г. кафедрой заведовал профессор Сергей Павлович Фиников, с 1964 г. по 1983 г. — заслуженный деятель науки профессор Пётр Константинович Рашевский и с 1992 г. по настоящее время — Академик Российской Академии Наук Анатолий Тимофеевич Фоменко.

В 20-х и 30-х годах научная работа на кафедре велась двумя школами. Школа, основанная В.Ф.Каганом развивала методы тензорного анализа и римановой геометрии. В.Ф.Каган занимался глубокими вопросами аксиоматики геометрии, исследованиями по истории неевклидовой геометрии. В 1934 г. в МГУ была проведена знаменитая международная конференция по дифференциальной геометрии, с участием крупнейших ученых. Она сыграла огромную роль в дальнейшем развитии дифференциальной геометрии и ее приложений, и на долгие годы определила основные научные направления в области дифференциальной геометрии.

В 1927 г. В.Ф.Каган организовал семинар по векторному и тензорному анализу, а в 1933 г. создал печатный орган семинара — «Труды семинара по векторному и тензорному анализу с их приложениями к геометрии, механике и физике», регулярно публиковавшиеся до недавнего времени.

Другая школа, виднейшим представителем которой был С.П.Фиников, продолжала исследования по классической дифференциальной геометрии, развивашейся в МГУ по инициативе профессора Д.Ф.Егорова. В 1933 г. на кафедре был основан научно-исследовательский семинар по дифференциальной геометрии под руководством С.П.Финикова. На научную деятельность семинара решающее влияние оказали использование и развитие методов Э.Картана.

С 1964 г. по 1983 г. кафедру возглавлял заслуженный деятель науки, выдающийся ученый, профессор П.К.Рашевский, широко известный своими фундаментальными исследованиями в области римановой геометрии и тензорного анализа, теории групп и алгебр Ли и теории их представлений. Его ученики и созданная им школа развивала также теорию однородных пространств, методы вариационного исчисления.

РАШЕВСКИЙ ПЕТР КОНСТАНТИНОВИЧ (1907, М. – 1983, М.), математик, геометр, д.ф.-м.н. (1938). Ученик В.Ф.Кагана. Сын К.Н.Рашевского. В 1919 вместе с родителями переехал в г. Раненбург (Рязанской губернии), где отец Рашевского работал преподавателем и заведующим кафедрой математики Учительского института. В 1923 после окончания школы Рашевский вернулся в Москву и поступил на физико-математический факультет Московского Университета. В 1928 окончил Московский Университет, в 1931 — аспирантуру при нем. Кандидат физико-математических наук (1933). В 1930–34 преподавал в МЭИ, в 1931–41 — в Московском городском педагогическом институте (с 1934 — профессор), в 1942–49 — в МИИТ. С 1938 и до конца жизни — профессор, заведующий кафедрой Дифференциальной геометрии механико-математического факультета Московского Университета. Создатель и глава большой школы ученых-математиков. Многолетний редактор Трудов Семинара по векторному и тензорному анализу с их приложениями к геометрии, механике и физике и руководитель этого семинара в Московском Университете. Основные научные труды посвящены различным разделам римановой, афинной, дифференциальной геометрии, аксиоматике проективной геометрии; геометрии однородных пространств, связанной с группами Ли, теории представлений алгебр и групп Ли, теории спиноров, квантовой электродинамике, тензорному анализу и геометрической теории дифференциальных уравнений с частными производными (в рамках этой теории решил знаменитую проблему Э.Картана). Создатель полиметрической геометрии, теории дифференциально-геометрических объектов и сверхтензоров. Автор ряда учебников по различным курсам геометрии. Жил на Владимиро-Долгоруковской, 7 (в раннем детстве); на Большой Пресненской, 36 (1910-е); в Малом Лёвшинском переулке, 1 и на улице Академика Волгина, 5 (последние годы жизни). Основные сочинения: Полиметрическая геометрия // Труды Семинара по векторному и тензорному анализу с их приложениями к геометрии, механике и физике: вып. 5. М.-Л., 1941; Геометрическая теория уравнений с частными производными. 2-е изд. М., 2003; Риманова геометрия и тензорный анализ. 6-е изд. М., 2008; Теория спиноров. 2-е изд. М., 2006; Курс дифференциальной геометрии. 5-е изд. М., 2008; О линейных представлениях дифференциальных групп и групп Ли с нильпотентным радикалом // Труды Моск. матем. о-ва: вып. 6. М., 1957; Ассоциативная сверхоболочка алгебры Ли, ее регулярное представление и идеалы // Там же: вып. 15. М., 1966; О математических основах квантовой электродинамики // Успехи математических наук: том 12, вып. 3. М., 1958; О догмате натурального ряда // Там же: том 28, вып. 4, 1973. Лит.: Математика в СССР за 30 лет: 1917-1947: Сб. статей / Ред. Курош А. Г. и др. М.; Л., 1948; Норден А.П., Розенфельд Б.А., Яглом И.М. Петр Константинович Рашевский: (К пятидесятилетию со дня рождения) // Успехи математических наук, том 13, вып. 1, 1958; Ефимов Н.В., Солодовников А.С., Яглом И.М. Петр Константинович Рашевский: (К шестидесятилетию со дня рождения)//Успехи математических наук, том 23, вып. 1, 1968; БСЭ-2; БСДЕТ; Боголюбов. Математики; Профессора МУ.

В эти годы, под руководством П.К.Рашевского, кафедра существенно расширила сферу научных исследований. Сотрудники кафедры работали в самых разных областях современной дифференциальной геометрии и топологии. Были радикально модернизированы курсы, читаемые кафедрой. В разное время на кафедре работали академик С.П.Новиков, профессор А.М.Васильев, профессор А.С.Мищенко, профессор А.Т.Фоменко, профессор Ю.П.Соловьёв, профессор В.Л.Голо, профессор А.Н.Варченко, профессор В.В.Трофимов, профессор Л.Е.Евтушик. Всю свою жизнь посвятила кафедре старший лаборант В.А.Гуковская.

В 1983 г., после смерти заведующего кафедрой П.К.Рашевского, приказом ректора МГУ академика А.А.Логунова кафедра была слита с кафедрой Высшей геометрии и топологии, а в 1992 г. приказом ректора МГУ академика А.А.Логунова кафедра Дифференциальной геометрии была восстановлена под слегка расширенным названием «кафедра Дифференциальной геометрии и приложений». Заведующим был назначен академик А.Т.Фоменко, прямой ученик П.К.Рашевского. Таким образом, после недолгого перерыва, кафедра Дифференциальной геометрии возродилась в новом качестве.

4. КАФЕДРА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ СЕГОДНЯ

В настоящее время на кафедре Дифференциальной геометрии и приложений работают: заведующий кафедрой академик ФОМЕНКО Анатолий Тимофеевич, профессора ГОЛО Войслав Любомирович, БОЛСИНОВ Алексей Викторович, ТУЖИЛИН Алексей Августинович, ИВАНОВ Александр Олегович, ШАФАРЕВИЧ Андрей Игоревич, ОШЕМКОВ Андрей Александрович, доценты НОСОВСКИЙ Глеб Владимирович, ПОПЕЛЕНСКИЙ Фёдор Юрьевич, ЖЕГЛОВ Александр Борисович, ШАРЫГИН Георгий Игорьевич, КУДРЯВЦЕВА Елена Александровна, НИКОНОВ Игорь Михайлович, ИЛЬЮТКО Денис Петрович, ассистенты КОНЯЕВ Андрей Юрьевич, ИЗОСИМОВ Антон Михайлович, учебный мастер ФИРСОВА Валентина Николаевна.

Основные направления научной деятельности:

  • геометрия и топология интегрируемых гамильтоновых систем
  • вариационные задачи, минимальные поверхности и минимальные сети
  • группы и алгебры Ли, приложения к теории интегрируемых систем и к механике
  • геометрические методы и конструкции в математической физике и теории дифференциальных уравнений
  • алгебраическая топология, некоммутативная геометрия
  • теоретическая физика, математические задачи биологии;
  • компьютерная геометрия;
  • алгебраическая геометрия и алгебраическая теория интегрируемых систем
  • гомотопическая теория отображений поверхностей и функций Морса

Кафедра читает обязательные курсы "Классическая дифференциальная геометрия", "Дифференциальная геометрия и топология", "Дифференциально-геометрические и топологические методы", "Математические модели в экономике", "Финансово-экономическое управление", курсы естественно-научного содержания и специальные курсы по всем направлениям научной работы.

Кафедра сотрудничает с рядом других ВУЗов (например, с биологическим факультетом МГУ, МФТИ, МГТУ); профессора кафедры читают в этих вузах специально разработанные геометрические курсы. Большинство курсов снабжено наглядным материалом: преподаватели на лекциях показывают компьютерные картинки и мультфильмы, иллюстрирующие излагаемые теории; на кафедре разработан компьютерный геометрический практикум.