Цель спецкурса — познакомить слушателей с современным состоянием теории разветвленных экстремалей геометрических вариационных задач, а именно, с актуальными научными проблемами, стоящими в настоящий момент перед этой теорией.

Один из наиболее наглядных примеров геометрической оптимизационной задачи, в которой возникают разветвленные решения, — это проблема Штейнера, которая, напомним, состоит в следующем: требуется соединить данное конечное множество M точек плоскости (более общо, метрического пространства) связной сетью наименьшей возможной длины. Если M состоит из двух точек, то решение представляет собой обычный отрезок. Если же M состоит из большего числа точек, то могут появиться ветвления. Например, если M — это множество вершин правильного треугольника, то, как несложно показать, кратчайшая сеть, затягивающая M, состоит из трех отрезков, соединяющих вершины из M с центром S треугольника M. Возникшая дополнительная вершина S — это и есть точка ветвления найденного решения.

Мы собираемся обсудить следующие вопросы.
   (1) Как найти кратчайшую или локально кратчайшую сеть, затягивающую конечное подмножество метрического пространства. В частности, как построить приближенное решение и как оценить «хорошесть» такого приближения.
   (2) Как вычислить отношение Штейнера, измеряющее относительную погрешность приближенного решения, не содержащего дополнительных вершин (минимального остовного дерева). Задача вычисления отношения Штейнера для случая плоскости (знаменитая гипотеза Гилберта–Поллака) не решена вот уже почти 40 лет.
   (3) Как обобщить теорию на случай бесконечных граничных множеств. В частности, какие бесконечные подмножества метрических пространств допускают соединение конечным связным графом.

Курс рассчитан на студентов младших курсов, а также всех, интересующихся современной геометрией.