Спецкурс (один годовой или два полугодовых) для студентов 1–6 курсов и аспирантов.
Спецкурс посвящен введению в теорию биллиардов - динамических систем с ударами (отражениями от границы). Вдоль траекторий системы сохраняется энергия и независимая с ней функция – первый интеграл системы. Такие системы называют интегрируемыми. В их число входят биллиарды внутри прямоугольника, круга или эллипса.
При описании свойств интегрируемых систем и множества их возможных состояний (задаваемых положением частицы и вектором ее скорости) нашли применение многие классические и современные конструкции геометрии и топологии, включая теорию топологической классификации, развитую школой А.Т.Фоменко.
Стартуя с базовых примеров - биллиардов на плоских столах - мы введем ключевые понятия и конструкции. Затем мы перейдем к одному недавнему обобщению биллиардов на плоских столах – биллиардным книжкам. С их помощью удается реализовать (промоделировать) многие режимы движения и бифуркации (особенности), возможные в интегрируемых системах.
Примерный список тем спецкурса в осеннем семестре:
- Примеры интегрируемых биллиардов: прямоугольник, круг, эллипс.
- Элементы трехмерной топологии.
- Фундаментальная группа.
- Интегрируемые системы. Слоение Лиувилля и их особенности.
- Атомы и молекулы, топологические инварианты А.Т.Фоменко слоений.
- Примеры вычисления для модельных биллиардов
- Биллиардная книжка: клеточный комплекс с перестановками.
- Реализация произвольной особенности алгоритмически задаваемой книжкой (Ведюшкина, Харчева, 2018).
Особых предварительных знаний от слушателей не предполагается.
В весеннем семестре наш спецкурс планируется посвятить многочисленным обобщениям интегрируемых биллиардов внутри софокусных квадрик (например, путем добавления потенциала или магнитного поля), а также элементам общей теории интегрируемых систем, связям биллиардов с геометрией Нийенхейса.
| 