Изучаются основные методы алгебраической топологии
(гомологии, векторные расслоения и характеристические классы, гомотопические группы).
Эти методы вводятся на примере применений к геометрической топологии
(теории векторных полей, погружений и вложений многообразий).
Для изучения спецкурса достаточно знакомства с основами топологии и необходимо решать задачи.
| 1. |
Нормальные векторные поля.
|
|
| 2. |
Препятствие Штифеля к существованию пары векторных полей на 3-многообразии.
Определение характеристических классов для n-многообразий.
|
|
| 3. |
Нормальные классы Уитни.
|
|
| 4. |
Векторные расслоения.
|
|
| 5. |
Определение и классификация сечений. Приложение: применение к гамильтоновым системам.
|
|
| 6. |
Погружения и теорема Смейла–Хирша о классификации погружений.
|
|
| 7. |
Теорема Хефлигера–Хирша о классификации погружений.
|
|
| 8. |
Степени двойки и классы Штифеля–Уитни.
|
|
| 9. |
Классификация расслоений.
|
|
| 10. |
Числа Штифеля–Уитни. Препятствие к нуль-кобордантности.
Теорема Тома о классификации многообразий с точностью до кобордизма (формулировка).
|
|
| 11. |
Теорема Хирцебруха о сигнатуре (формулировка). Применение: нестандартные семимерные сферы Милнора.
|
|
| 12. |
Хирургия и классификация гомотопических сфер (с наброском доказательства).
|
|
| 13. |
Относительные и абсолютные гомотопические группы. Точные последовательности пары и Баррата–Пуппе (корасслоения).
|
|
| 14. |
Применение: инварианты дополнения и окрестности, приклеивающий инвариант и теорема Браудера–Левина (формулировка).
|
|
