Научные интересы

   Ю. П. Соловьёвым опубликовано более 100 научных работ, а также 15 монографий, учебников и учебных пособий, посвященных различным проблемам диф­фе­рен­ци­альной геометрии и топологии, многочисленным смежным вопросам. Он постоянно читает лекции по основным предметам геометрического цикла, а также по квантовой механике и квантовой теории поля на механико-математическом факультете МГУ, руководит работой трех научно-исследовательских семинаров, курсовыми и дипломными работами студентов, научной работой аспирантов. Под его руководством защищена одна докторская и 15 кандидатских диссертаций.

   Первый крупный цикл работ Ю. П. Соловьёв выполнил во второй половине 70-х годов. Эти работы были посвящены доказательству гипотезы о высших сигнатурах для широкого класса гладких многообразий. Эта гипотеза состоит в следующем. С каждым замкнутым гладким многообразием M с фундаментальной группой π=π1(M) можно связать семейство характеристических чисел вида

σx(M)=<L(M)f*(x),[M]>,

   Еще в конце 60-х годов А. С. Мищенко показал, что любые гомотопически инвариантные характеристические числа Понтрягина неодносвязного многообразия должны иметь вид высших сигнатур. Тогда же С. П. Новиков выдвинул гипотезу о том, что все высшие сигнатуры являются гомотопическими инвариантами. В полном объеме эта гипотеза остается недоказанной до настоящего времени. Для различных классов многообразий эта гипотеза была доказана С. П. Новиковым, В. А. Рохлиным, А. С. Мищенко, Г. Г. Каспаровым, С. Кэппелом, А. Конном, Ж. Скандалисом, А. Московичи и другими авторами. В указанном цикле работ Ю. П. Соловьёв доказал гипотезу о высших сигнатурах для многообразий, фундаментальные группы которых изоморфны дискретным подгруппам групп Ли над локально-компактными полями и адельных групп Ли. В дальнейшем Ю. П. Соловьёв обобщил это доказательство для категории гомологических многообразий.

   Следующий цикл работ, выполненный Ю. П. Соловьёвым совместно с А. С. Мищенко, был посвящен градуированным бесконечномерным представлениям C*-алгебр. В этих работах были получены общие формулы типа Хирцебруха, разработана теория алгебраических комплексов Пуанкаре.

   В начале 80-х годов Ю. П. Соловьёв выполнил ряд работ по алгебраической K-теории. Совместно с А. И. Немытовым им были построены эрмитовы алгебраические K-теории, клас­си­фи­ци­ру­ю­щие пространства которых получаются кострукцией Вагонера–Володина для систем корней Bn, Cn, Dn, и доказано совпадение этих K-теорий с теориями Квиллена–Каруби. Кроме того, Ю. П. Соловьёв показал, что упомянутые классифицирующие пространства допускают бесконечнократное рас­петливание.

   В это же время Ю. П. Соловьёв разработал унитарную алгебраическую K-теорию топологических пространств, исследовал их классифицирующие пространства, показав, в частности, что они допускают бесконечнократное распетливание. Полученные результаты нашли многочисленные применения в топологии многообразий и алгебраической K-теории.

   Начиная с середины 80-х годов научные интересы Ю. П. Соловьёва переключаются на теорию гомологий с внутренними симметриями. Им разработана теория диэдральных гомологий и установлены ее связи с циклическими гомологиями. Главный результат этой теории — доказательство совпадения рангов унитарных алгебраических K-групп односвязных многообразий и диэдральных гомологий их алгебр коцепей. В результате был разработан эффективный метод вычисления рациональных гомотопических групп πk(Diff(M))⊗Q для групп диффеоморфизмов односвязных многообразий. Основанный на теории рационального гомотопического типа, этот метод позволил в явном виде вычислить ранги указанных групп для полных пересечений в комплексных проективных пространствах, комплексных многообразий Грассмана и многообразий флагов, некоторых симметрических пространств.

   В конце 80-х – начале 90-х годов Ю. П. Соловьёв выполнил несколько работ по геометрии и топологии калибровочных полей. В частности, им были исследованы геометрические структуры на многообразии взаимодействующих полей Янга–Миллса.

   Последние годы основные научные интересы Ю. П. Соловьёва связаны с математическими проблемами квантовой теории поля. В большом цикле работ, выполненных Ю. П. Соловьёвым совместно с В. В. Белокуровым и Е. Т. Шавгулидзе, были разработаны новые методы приближенных вычислений функциональных интегралов, возникающих в квантовой теории поля и квантовой статистической механике с помощью сходящихся рядов по константе связи. С помощью этих методов удалось получить новые результаты в теории теории ренормализационной группы и провести вычисления для ряда конкретных физических задач. В частности, Ю. П. Соловьёву с соавторами принадлежит наиболее точное вычисление критических показателей фазового перехода для жидкого гелия-4.

   Ю. П. Соловьёв — выдающийся популяризатор математических знаний. Свыше 20 лет он является членом редколлегии журнала «Квант», в 1981–94 годах был заместителем главного редактора этого журнала. Им опубликовано свыше 30 популярных статей по различным разделам математики, получившие широкую известность как у нас в стране, так и за рубежом. Ю. П. Соловьёв часто приглашается в ведущие университеты мира для чтения лекций, он участвует в работе совместных проектов по математике, физике, геофизике.