Лектор академик А.Т.ФОМЕНКО
Вопросы по курсу "Дифференциальная геометрия и топология"
для студентов математиков 3-го курса (осень-зима 2016 г.)

1. Тензор как полилинейное отображение. Тензорное поле на
многообразии. Алгебраические операции над тензорными полями. Примеры
тензорных полей из механики.

2. Симметричные и кососимметричные тензорные поля.
Кососимметрические тензоры максимального ранга. Их связь с римановым
объемом на многообразии.

3. Внешние дифференциальные формы. Внешнее умножение форм.

4. Внешнее дифференцирование внешних форм. Замкнутые и точные
формы. Группы когомологий. Примеры вычисления.

5. Векторные поля и замкнутые, точные формы. Бездивергентные и
потенциальные потоки жидкости. Лемма Пуанкаре для случая плоскости.

6. Операция "звездочка" на формах в евклидовом пространстве и ее
свойства.

7. Примеры операции "звездочка" на плоскости и в пространстве.

8. Интеграл внешней формы по подмногообразию (по поверхности).
Формулировка теоремы Стокса.

9. Доказательство теоремы Стокса.

10. Частные случаи формулы Стокса на плоскости и в трехмерном
пространстве (Гаусс, Грин, Остроградский, Коши).

11. Введение ковариантного дифференцирования (связности) в
криволинейных координатах в евклидовом пространстве. Появление
символов Кристоффеля.

12. Вычисление явного вида операции "набла" (связности) на
векторах, ковекторах и линейных операторах в криволинейных
координатах в евклидовом пространстве.

13. Общее определение аффинной связности = ковариантного
дифференцирования на гладком многообразии. Символы Кристоффеля,
тензор кручения, симметричные связности.

14. Алгебраические свойства ковариантного дифференцирования.

15. Симметричные римановы связности. Теорема существования и
единственности.

16. Параллельные перенос в аффинной связности. Уравнение
параллельного переноса. Геодезические.

17. Параллельный перенос в римановой связности. Перенос вдоль
геодезических. Двумерный случай.

18. Параллельный перенос и геодезические на плоскости, конусе,
сфере, плоскости Лобачевского.

19. Теорема о размерности группы изометрий риманова многообразия.

20. Тензор кривизны Римана. Координатное и инвариантное определения.

21. Алгебраические свойства тензора кривизны. Тензор Риччи,
скалярная кривизна. Пример из физики: уравнения Эйнштейна.

22. Теорема о скалярной кривизне двумерной поверхности и гауссовой
кривизне.

23. Критические и регулярные значения гладкого отображения.
Теорема Сарда (без доказательства). Степень гладкого отображения.
Гладкая гомотопия.

24. Теорема об инвариантности степени гладкого отображения
многообразий при гомотопии и независимость степени от выбора точки.

25. Примеры вычисления степени. Теорема алгебры о корнях полинома.
Теорема Брауэра. Теорема о вычетах.

26. Степень отображения и интегралы от внешних форм максимальной
степени. Степень гауссова отображения.

27. Интеграл от гаауссовой кривизны по замкнутой поверхности. Связь
с родом поверхности.

28. Индекс векторного поля и степень отображения. Вычисление
индексов векторных полей. Индекс векторного поля в ограниченной области
евклидова пространства.

29. Теорема о существовании нуля гладкого векторного поля на
двумерной сфере.

30. Вариационные принципы. Функционалы, их экстремали и уравнения
Эйлера-Лагранжа. Примеры из механики и физики.

31. Функционалы длины и действия кривой. Геодезические как
экстремали функционалов длины и действия. Формулировка теоремы о
геодезических, как о кратчайших.

32. Функционал площади двумерной поверхности в трехмерном
пространстве. Уравнения Эйлера и теорема об экстремальности минимальных
поверхностей для функционала площади.

33. Определение симплектического многообразия, примеры, гамильтоновы
поля, скобка Пуассона, гомоморфизм алгебр Ли функций и векторных полей,
уравнения геодезических как гамильтонова система в кокасательном расслоении.