%#AMSTEX#R# - MultiEdit label should be on the 1st line in the file
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Утверждения %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\def\Remark#1{\remark{#1}}
\def\endRemark{\endremark\medskip}
\def\proof{\demo{Доказательство}}
\def\endproof{$\square$\enddemo}
\def\Proof#1{\demo{Доказательство\ #1}}
\def\endProof{$\square$\enddemo}


%%%%%%%%%%%%%%%%% Руссификация элементов из topmatter %%%%%%%%%%%%%%%%%
\catcode`\@=11
\def\abstract{\let\savedef@\abstract
 \def\abstract{\let\abstract\savedef@
  \setbox\abstractbox@\vbox\bgroup\noindent$$\vbox\bgroup
  \def\envir@end{\endabstract}\advance\hsize-2\indenti
  \def\usualspace{\enspace}\eightpoint \noindent
  \frills@{{\smc Аннотация.\enspace}}}%
 \nofrillscheck\abstract}

\def\endabstract{\par\unskip\egroup$$\egroup}

\def\keywords{\let\savedef@\keywords
  \def\keywords##1\endkeywords{\let\keywords\savedef@
  \toks@{\def\usualspace{{\it\enspace}}\eightpoint}%
  \toks@@{##1\unskip.}%
  \edef\thekeywords@{\the\toks@\frills@{{\noexpand\it
    Ключевые слова и выражения.\noexpand\enspace}}\the\toks@@}}%
 \nofrillscheck\keywords}

\def\email{\let\savedef@\email
  \def\email##1\endemail{\let\email\savedef@
  \toks@{\def\usualspace{{\it\enspace}}\endgraf\indent\eightpoint}%
  \toks@@{##1\par}%
  \expandafter\xdef\csname email\number\addresscount@\endcsname
  {\the\toks@\frills@{{\noexpand\it E-mail\noexpand\/}:%
     \noexpand\enspace}\the\toks@@}}%
  \nofrillscheck\email}

\catcode`\@=12

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Рисунки %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Как использовать:
%  \Pic{new01}{Это --- первый рисунок}{fig:f}
%  \BigPic{new02}{new03}{Это --- еще один, но большой, рисунок}{fig:b}
%      new01,new02,new03 - имена pcx-файлов, без расширения

%% these are for 240DPI
%\newdimen\pcxht    \pcxht 55mm
%\newdimen\pcxwd    \pcxwd 67mm
%\newdimen\spcxwd   \spcxwd\textwidth
%\advance\spcxwd by -\pcxwd

%% these are for 300DPI mag = 1200
\newdimen\pcxht    \pcxht 33mm
\newdimen\pcxwd    \pcxwd 45mm
\newdimen\spcxwd   \spcxwd\pcxwd

%% these are for 300DPI mag = 1000
%\newdimen\pcxht    \pcxht 40mm
%\newdimen\pcxwd    \pcxwd 54mm
%\newdimen\spcxwd   \spcxwd\pcxwd


 \def\Pic#1#2{
   \midinsert
     \noindent
     \hbox to \hsize{\hfill
       \hbox to \pcxwd {\special{em:graph #1.pcx}\hfil}
     \hfill}
     \vskip\pcxht
     \centerline{#2}
  \endinsert
 }

 \def\BigPic#1#2#3{
   \midinsert
     \noindent
     \hbox to \hsize{\hfill
       %\hbox to \shiftwd {}
       \hbox to \pcxwd {\special{em:graph #1.pcx}\hfil}\!%
       \hbox to \spcxwd{\special{em:graph #2.pcx}\hfil}
     \hfill}
     \vskip\pcxht
     \centerline{#3}
  \endinsert
 }

\def\a{\alpha}
\def\b{\beta}
\def\g{\gamma}
\def\e{\varepsilon}
\def\f{\varphi}
\def\op{\operatorname}
\def\o{\overset{1}\to}
\def\oo{\overset{2}\to}
\def\d{\delta}
\def\s{\sigma}
\def\t{\tau}
\def\w{\widetilde}
\def\ss{\operatorname{sgn}}
\def\L{\Lambda}
\def\l{\lambda}
\def\om{\omega}
\def\Om{\Omega}
\def\De{\Delta}
\def\pa{\partial}
\def\dd{\overset{..}\to}
\def\pa{\partial}

\NoBlackBoxes
\NoRunningHeads
\TagsOnRight
 \document
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \head Лекция 5. Вторая квадратичная форма поверхности. Кривизны. \endhead
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \subhead 1. Нормальные сечения и вторая квадратичная форма
поверхности\endsubhead
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Займемся теперь изучением локального строения поверхности с точностью до
бесконечно малых второго порядка. Для этого мы используем
тот же прием, который привел нас к изучению касательной плоскости ---
рассмотрим всевозможные кривые, лежащие на поверхности. Отклонение каждой
такой кривой от ее касательной описывается кривизной (или ускорением).
Посмотрим, через какие характеристики поверхности выражаются кривизны
лежащих на ней кривых, и изучим эти характеристики. При этом мы
ограничимся рассмотрением простейшего случая т.н. гиперповерхностей, т.е.
поверхностей, размерность которых на единицу меньше размерности
объемлющего пространства (типичный пример --- двумерные поверхности в
$\Bbb R^3$).

 \definition {Определение}
Поверхность размерности $n$ в $\Bbb R^N$ называется гиперповерхностью,
если $N=n+1$.
 \enddefinition
В этой и следующей лекциях всюду рассматриваются гиперповерхности.
Нормальные пространства к гиперповерхности одномерны; зафиксируем гладко
зависящий от точки единичный вектор $m$ из этого пространства. Если на
поверхности заданы координаты $u^1,\dots, u^n$, вектор $m$ можно
определить по формуле, аналогичной формуле векторного произведения
 $$
m=\det \pmatrix e_1&\dots&e_{n+1}\\ \frac{\pa x^1}{\pa
u^1}&\dots&\frac{\pa x^{n+1}}{\pa u^1}\\ \dots&\dots&\dots\\
\frac{\pa x^1}{\pa
u^n}&\dots&\frac{\pa x^{n+1}}{\pa u^n}\endpmatrix,
 $$
где  $e_1,\dots e_{n+1}$ --- базисные орты в $\Bbb R^{n+1}$ и определитель
считается разложенным по первой строке.

Пусть $P$ --- точка на поверхности $M:r=r(u)$, координаты которой
$u^i_0$. Устройство поверхности вблизи $P$ можно исследовать
следующим образом. Будем пересекать $M$ двумерными плоскостями,
проходящими через единичный вектор нормали $m$ к гиперповерхности в этой
точке; ясно, что таких плоскостей бесконечно много --- можно произвольным
образом выбрать единичный вектор $a$ в касательном пространстве $T_PM$
и затем провести плоскость через векторы $m$ и $a$. Каждая
плоскость будет высекать на поверхности некоторую кривую; малые отрезки
этих кривых, содержащие внутри себя точку $P$, заполнят некоторую
окрестность этой точки на поверхности.

\definition {Определение}
Кривая, получающаяся пересечением поверхности $M$ и двумерной плоскости,
проходящей через вектор нормали к $M$ в точке $P$, называется нормальным
сечением $M$ в этой точке.  \enddefinition

Поверхность вблизи точки $P$ ``склеена'' из нормальных сечений; поэтому мы
начнем с изучения кривизн этих кривых. Поскольку каждое из нормальных
сечений --- плоская кривая, и, кроме того, в точке $P$ задан вектор $m$,
перпендикулярный касательной к любой из этих кривых, кривизне нормального
сечения в точке $P$ можно приписать знак (см. замечание в конце первой
лекции).  Именно, через $\w k$ обозначим число, равное кривизне
нормального сечения, если вектор главной нормали к нему в точке $P$
направлен в ту же сторону, что и вектор $m$, и кривизне со знаком
``минус'', если направления этих двух векторов противоположны. Другими
словами, если ускорение при движении по нормальному сечению направлено по
вектору $m$ (т.е. центр соприкасающейся окружности находится в этом
направлении от точки $P$), то $\w k$ положительно, а если ускорение
направлено в противоположную сторону, то $\w k$ отрицательно. В дальнейшем
``кривизну со знаком'' $\w k$ будем называть просто кривизной. Заметим,
что число $\w k$ однозначно определяется заданием касательного вектора $a$
к нормальному сечению в точке $P$; таким образом, на касательном
пространстве $T_PM$ к поверхности возникает функция, сопоставляющая
каждому касательному вектору кривизну (нормального) сечения поверхности
плоскостью, проведенной через этот вектор (и вектор нормали $m$). Эта
функция, очевидно, не зависит от длины касательного вектора $a$;
оказывается, после умножения на $|a|^2$ она становится квадратичной формой.

 \definition {Определение}
Второй квадратичной формой гиперповерхности $M$ в точке $P$ называется
функция $b(a,a)$ на касательном пространстве $T_PM$, сопоставляющая вектору
$a$ умноженную на $|a|^2$ кривизну нормального сечения, проведенного в
направлении этого вектора:
 $$
b(a,a)=|a|^2\w k(a).
 $$
 \enddefinition
 \proclaim {Предложение }
Функция $b$ действительно является квадратичной формой, заданной в
пространстве $T_PM$; матрица этой формы в каноническом базисе,
порожденном системой координат $u^1,\dots, u^n$ имеет вид
 $$
b_{ij}=(m(P),r_{ij}(P))\equiv(m(P),\frac{\pa^2 r}{\pa u^i\pa u^j}(P)).
 $$
 \endproclaim

 \proof
Пусть $s$ - натуральный параметр на нормальном сечении,
отсчитываемый от точки $P$ (т.е. в этой точке $s=0$), и $u^i=u^i(s)$ -
уравнения нормального сечения на поверхности.  Уравнения этой кривой в
объемлющем пространстве имеют вид $r=r(u(s))$; ясно, что кривизна $\w k$
имеет вид $\w k =(m,\dd r(0))$ (почему?). Дважды применяя теорему о
производной сложной функции, получаем
 $$
\dd r(0)=\frac{d}{ds}\sum_{i=1}^nr_i\dot u^i|_{s=0}=
\sum_{i,j=1}^nr_{ij}(P)\dot u^i(0)\dot u^j(0)+
r_i(P)\dd u^i(0),
\tag 1
 $$
где
$$
r_i=\frac{\pa r}{\pa u^i},\quad r_{ij}=\frac{\pa^2r}{\pa u^i\pa u^j}.
$$
Умножая вектор $\dd r(0)$ скалярно на $m$ и учитывая, что $(r_i(P),m)=0$,
получим
 $$
\w k=\sum_{i,j=1}^n(m,r_{ij}(P))\dot u^i(0)\dot u^j(0).
\tag 2
 $$
Таким образом, кривизна нормального сечения действительно является
квадратичной функцией  от координат единичного вектора скорости. Если в
качестве касательного вектора взять вектор $a$, длина которого не равна
единице, функция $b$, вычисленная на этом векторе, очевидно, будет равна
 $$
b(a,a)=|a|^2\w k(a)=|a|^2\w
k(v)=|a^2|\sum_{i,j=1}^n(m,r_{ij})v^iv^j=\sum_{i,j=1}^n(m,r_{ij})a^ia^j,
 $$
где $v=a/|a|$ --- единичный вектор, касающийся нормального сечения.
 \endproof

 \proclaim {Задача}
Найти закон преобразования коэффициентов второй квадратичной формы при
замене координат $u\to v$ на поверхности.
 \endproclaim
 \proclaim {Ответ}
 $$
\w b_{ij}=\sum_{ k,m=1}^n\frac{\pa u^k}{\pa v_i}\frac{\pa u^m}{\pa
v_j}b_{km}.
 $$
 \endproclaim

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \subhead 2. Формулы Менье \endsubhead
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Вторая квадратичная форма позволяет вычислять кривизны
(ускорения) всевозможных нормальных сечений в данной точке; тем самым она
описывает, как искривлена вблизи этой точки сама поверхность. Прежде чем
переходить к более детальному изучению этого искривления, покажем,
как при помощи второй квадратичной формы вычислять кривизны произвольных
кривых на поверхности.  Прежде всего напомним, что $|a|^2=g(a,a)$, где $g$
- первая квадратичная форма поверхности. Отсюда получаем
окончательное выражение для кривизны нормального сечения
 $$
\w k=\frac{b(a,a)}{g(a,a)}=\frac{\sum_{
i,j=1}^nb_{ij}a^ia^j}{\sum_{
i,j=1}^ng_{ij}a^ia^j}, \tag 3
 $$
где $a^i=du^i/dt$. Таким образом, {\it кривизна нормального сечения
$\g$ равна отношению второй и первой квадратичных форм поверхности,
вычисленных на касательном векторе к $\g$.}

Рассмотрим теперь произвольную кривую $l$, лежащую на поверхности и проходящую
через точку $P$. Пусть $\nu$ --- вектор главной нормали к $l$ в точке $P$.
Если $r=r(s)$ --- натуральная параметризация пространственной кривой $l$,
то $\dd r(0)=k\nu(P)$, где $k$ --- кривизна $l$ в точке $P$ (натуральный
параметр $s$ отсчитывается от точки $P$).  Умножая это равенство на вектор
$m$ нормали к поверхности, получаем
 $$
(m,\dd r(P))=k(m,\nu).
 $$
Левая часть равенства вычислена выше (см. (1)--(3)): она равна кривизне
$\w k$ нормального сечения, проведенного через касательный вектор $a$ к
кривой $l$. Правая часть, очевидно, равна произведению кривизны
кривой $k$ на косинус угла $\f$ между векторами $m$ и $\nu$. Отсюда
получаем формулу
 $$
k\op{cos}\f=\w k=\frac{b(a,a)}{g(a,a)}.
\tag 4
 $$
Сформулируем полученные результаты в виде теоремы.
 \proclaim {Теорема}
Пусть $l$ --- произвольная кривая на поверхности $M$, проходящая через
точку $P$, $a$ --- касательный вектор к $l$ в этой точке, и $\g$ ---
нормальное сечение $M$ плоскостью, проходящей через вектор $a$ (таким
образом, $\g$ лежит в плоскости векторов $a$ и $m$ --- вектора нормали к
поверхности). Тогда кривизны $k$ и $\w k$ кривых $l$ и $\g$ соответственно
определяются по формулам (4), (3), где $g,b$ --- первая и вторая
квадратичные формы поверхности $M$ в точке $P$, $\f$ --- угол между
векторами $\nu$ --- главной нормали к кривой $l$ и $m$ --- нормали к
поверхности $M$ (оба вектора вычислены в точке $P$).
 \endproclaim
 \Remark {Замечание 1}
Приведенная теорема называется {\it теоремой Менье}.
 \endRemark
 \Remark {Замечание 2}
Кривизна $\w k$ нормального сечения $\g$, касающегося кривой $l$ в точке
$P$ (т.е. имеющего общий с $l$ вектор скорости), называется {\it
нормальной кривизной кривой $l$ в этой точке}. Другими словами, нормальная
кривизна --- это проекция вектора ускорения кривой на нормаль к поверхности
(если параметр на кривой натуральный).
 \endRemark

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subhead 3. Главные кривизны и главные направления. Формула Эйлера
\endsubhead
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Рассмотрим теперь геометрические характеристики поверхности, определяемые
второй квадратичной формой. Зная эту форму, можно вычислять кривизны всех
нормальных сечений поверхности в фиксированной точке $P$. Эти кривизны
показывают, на сколько и в какую сторону (относительно вектора нормали к
поверхности) искривляется поверхность вблизи данной точки.

Кривизна
нормального сечения однозначно определяется его вектором скорости в точке
$P$; меняя направление этого вектора и вычисляя для каждого значения угла
кривизну $\w k$, мы получим дифференцируемую функцию на $n-1$-мерной сфере
(множестве единичных векторов в $n$-мерном касательном
пространстве).  Мы сейчас опишем эту функцию явной формулой; в частности,
легко вычисляются точки экстремума этой функции --- они определяют
направления, в которых кривизна нормального сечения максимальна или
минимальна. Для этого нам понадобится следующее утверждение.


 \proclaim {Теорема }
Пусть $P$ --- точка на поверхности $M$. Тогда существует базис
$e_1,\dots, e_n$ в касательном пространстве к $M$ в точке $P$, в котором
матрица первой квадратичной формы --- единичная, а матрица второй
квадратичной формы --- диагональная. Диагональные элементы $\l_1,\dots,
\l_n$ этой матрицы суть корни уравнения
 $$
\op{det}(B-\l G)=0,
\tag 5
 $$
где $G$ и $B$ --- матрицы первой и второй квадратичных форм соответственно
в базисе $r_1,\dots,r_n$ (т.е. $B$ --- матрица с элементами $b_{ij}$, а
$G$ --- матрица с элементами $g_{ij}$). Столбцы $a_1,\dots, a_n$ координат
векторов $(e_1,\dots,e_n)$ в базисе $r_1,\dots,r_n$ --- нуль--векторы
матриц $(B-\l_jG)$:
 $$
(B-\l_jG)a_j=0.
\tag 6
$$
 \endproclaim
 \proof
Существование базиса $e_1,\dots,e_n$ сразу следует из известной теоремы
линейной алгебры о приведении квадратичной формы к главным осям
ортогональным преобразованием. Действительно, пусть $f_1,\dots,f_n$ ---
произвольный ортонормированный базис в касательном пространстве  $T_PM$. В
этом базисе матрица первой квадратичной формы единичная (т.к.  это матрица
скалярных произведений базисных векторов), а матрица второй квадратичной
формы --- какая-то. Совершим теперь в касательной плоскости ортогональное
преобразование, приводящее вторую квадратичную форму к главным
осям. Базис $f_1,\dots,f_n$ перейдет при этом в новый базис
$e_1,\dots,e_n$ (базис главных осей); матрица второй квадратичной формы в
нем диагональна.  Кроме того, этот базис ортонормирован (т.к. он получен
из ортонормированного ортогональным преобразованием), поэтому матрица
первой квадратичной формы в нем единичная.

Запишем теперь эту процедуру в координатах. Пусть $\w B$ --- матрица второй
квадратичной формы в базисе $f_1,\dots,f_n$, а $T$ --- матрица перехода от
базиса $r_1,\dots,r_n$ к $f_1,\dots,f_n$. Тогда $\w B=^tTBT,\quad E=^tTGT$
($E$ --- единичная $n\times n$-матрица). Собственные числа $\l_j$
квадратичной формы $b$ находятся из характеристического уравнения
$\op{det}(\w B-\l E)=0$; подставляя сюда предыдущие формулы, перепишем это
уравнение в виде $$ \op{det}(^tTBT-\l ^tTGT)=\op{det}(^tT(B-\l
G)T)=(\op{det}T)^2\op{det}(B-\l G)=0, $$ откуда получаем (5). Таким
образом, осталось только проверить формулу (6).  Обозначим через
$q_1,\dots,q_n$
столбцы из координат векторов $e_1,\dots,e_n$ в базисе $f_1,\dots,f_n$.
Эти столбцы - нуль-векторы матриц $(\w B-\l_j E)$; с другой стороны, они
связаны со столбцами $a_1,\dots,a_n$ формулами $a_j=Tq_j$. Отсюда получаем
 $$
0=(\w B-\l_j E)q_j=^tT(B-\l_jG)Tq_j=^tT(B-\l_jG)a_j,
 $$
откуда немедленно следует (6).
 \endproof
 \definition {Определение}
Числа $\l_1,\dots,\l_n$ называются {\it главными кривизнами}, а направления
векторов $e_1,\dots,e_n$  (т.е. прямые, проходящие через эти векторы) ---
{\it главными направлениями} поверхности $M$ в точке $P$.
 \enddefinition
 \Remark {Замечание}
Если все главные кривизны различны, то главные направления определены
однозначно --- в этом случае ранг матриц $(B-\l_jG)$ равен $n-1$. Если же
$k$ главных кривизн совпадают, то эти матрицы имеют ранг $n-k$, и в
касательном пространстве имеется $k$-мерное подпространство, любое
направление в котором --- главное. Если поверхность двумерна, то в каждой
точке имеется всего две главных кривизны; если они совпадают, то любое
касательное направление --- главное (в частности, в качестве базиса
$e_1,e_2$ можно взять любой ортонормированный базис в касательной
плоскости).  В последнем случае точка $P$ двумерной поверхности $M$
называется {\it омбилической} (или {\it точкой закругления}). В
омбилической точке поверхность имеет касание второго порядка с некоторой
сферой.
 \endRemark

Среди чисел $\l_j$ содержатся максимальное и минимальное значения
кривизн нормальных сечений. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим
произвольное нормальное сечение поверхности $M$ в точке $P$. Оно задается
направлением своего единичного касательного вектора $v$, которое, в свою
очередь, определяется своими углами $\a^1,\dots,\a^n$ с главными
направлениями: $v=\sum e_i\op{cos\a^i}$.  Подставляя это
выражение в формулу Менье (3), получим с учетом диагональности матрицы
второй квадратичной формы в базисе $e_1,\dots,e_n$:
 $$
\w k=\sum_{i=1}^n\l_i\op{cos}^2\a^i.
\tag 7
 $$
 \Remark {Замечание}
Формула (7) называется {\it формулой Эйлера}.
 \endRemark

Пусть $\l_1$ --- максимальная среди главных кривизн.

Представив $\op{cos}^2\a^1$ в виде
$$
1-\sum_{i=1}^{n-1}\op{cos}^2\a^i,
$$
получим из (7)
 $$
\w k=\l_1-\sum_{i=1}^{n-1}(\l_1-\l_i)\op{cos}^2\a^i.
 $$
Из последней формулы, очевидно, следует, что $\w k\leq\l_1$ и при
$\a^i=0\quad i=1,\dots,n-1$, $\w k=\l_1$, т.е. кривизна нормального
сечения, проведенного через главное направление,
соответствующее  максимальной главной кривизне, максимальна и равна этой
главной кривизне.  Аналогично получаем, что кривизна нормального сечения,
проведенного через главное направление, соответствующее  минимальной
главной кривизне, минимальна. Если несколько главных кривизн совпадают, то
кривизны всех нормальных сечений, касательные векторы к которым лежат в
соответствующем инвариантном подпространстве, совпадают и равны главной
кривизне (проверьте!).


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \subhead 4. Гауссова и средняя кривизны поверхности\endsubhead
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Часто вместо главных кривизн удобнее пользоваться другими величинами,
которые через них выражаются.
 \definition {Определение}
Гауссовой кривизной $K$ поверхности $M$ в точке $P$ называется
произведение главных кривизн, а средней кривизной $H$ --- их сумма:
 $$
K=\l_1\dots\l_n;\quad H=\l_1+\dots+\l_n.
 $$
 \enddefinition
 \Remark {Замечание}
Иногда средней кривизной называют среднее арифметическое главных кривизн.
 \endRemark
Вычислительные формулы для гауссовой и средней кривизны немедленно
следуют из теоремы о корнях характеристического уравнения. Именно,
перепишем уравнение для главных кривизн в виде $\op{det}(BG^{-1}-\l E)=0$.
Применяя указанную теорему, получаем
 $$
H=\op{tr}(BG^{-1}),\quad K= \op{det}(BG^{-1})=\frac{\op{det}B}{\op{det}G}.
 $$

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \subhead 5. Геометрический смысл первой и второй квадратичных форм
\endsubhead
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Обсудим геометрический смысл первой и второй квадратичных форм.  Как мы
видели выше, первая квадратичная форма полностью определяет геометрию,
возникающую на самой поверхности --- длины, углы, операцию параллельного
перенесения и аналоги прямых (геодезические) можно вычислять, зная только
матрицу $g_{ij}(u)$. Вторая квадратичная форма (и, в частности,
главные кривизны) показывает, в какую сторону и насколько искривлена
поверхность в объемлющем пространстве (в этом смысле информация,
доставляемая главными кривизнами, похожа на информацию, доставляемую
кривизной и кручением пространственной кривой). В частности, вторая
квадратичная форма определяет локальное расположение поверхности $M$
относительно касательного пространства к ней в точке $P$.
Именно, зафиксируем на поверхности $M$ точку $P$ и вектор нормали $m$ в
этой точке и рассмотрим в окрестности $P$ на $M$ функцию $\d$, равную
отклонению точки поверхности от касательного пространства $T_PM$ в точке
$P$.  Это -- гладкая функция $n$ переменных $u$, обращающаяся в нуль в
точке $P$.
 \proclaim {Утверждение }
Точка $P$ --- критическая точка функции $\d$, причем ее матрица Гессе в
точке $P$ совпадает с матрицей второй квадратичной формы поверхности в
этой точке.
 \endproclaim
  \proof
Очевидно, функция $\d(u)$ имеет вид
$\d(u)=(m(P),r(u)-r(P))$. Ее первые производные
 $$
\frac{\pa\d}{\pa u^j}=(r_j(u),m(P))
 $$
обращаются в нуль в точке $P$, так что $P$ --- критическая точка $\d$.
Далее, вторые производные этой функции в точке $P$ имеют вид
 $$
\frac{\pa^2\d}{\pa u^i\pa u^j}=(r_{ij}(P),m(P))=b_{ij}(P).
 $$
 \endproof
 \proclaim {Следствие }
Если все главные кривизны одного знака, то функция $\d$ имеет в
точке $P$ экстремум (т.к.  матица вторых производных знакоопределена),
т.е. в некоторой проколотой окрестности этой точки  она сохраняет знак.
Это означает, что некоторая окрестность точки $P$ на поверхности $M$
целиком лежит по одну сторону от касательного пространства $T_PM$.

Если среди главных кривизн поверхности в точке $P$ есть как положительные,
так и отрицательные, то $P$ --- седловая точка для
функции $\d$. Это означает, что в любой окрестности точки $P$ на $M$
найдутся как точки, в которых $\d>0$, так и точки, в которых $\d<0$.
Другими словами, любая такая окрестность пересекается касательным
пространством $T_PM$, и часть ее лежит по одну, а часть --- по другую
сторону от этого пространства.

Если же среди главных кривизн есть нулевые, а все остальные одного знака,
то матрица второй квадратичной формы не определяет полностью поведения
функции $\d$ (т.е. расположения $M$ относительно касательного пространства
$T_PM$) в окрестности точки $P$. Для исследования этого поведения
необходимо рассматривать третьи производные функции $r(u)$ в этой точке.
 \endproclaim


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \head  Задачи. \endhead
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

1. Найти вторую квадратичную форму

a) поверхности вращения;

b) сферы;

с) эллипсоида, гиперболоида, параболоида вращения;

d) катеноида;

e) геликоида.

2. Найти главные кривизны и главные направления в вершинах двуполостного
гиперболоида $(x/a)^2+(y/b)^2+(z/c)^2=1$.

3. Найти главные кривизны и главные направления прямого геликоида
$r=(u\op{cos}v,u\op{sin}v,av)$, его гауссову и среднюю кривизны.

4. Найти главные кривизны поверхности $z=xy$ в точке $(1,1,1)$.

5. Найти гауссову кривизну параболоида $(x/a)^2+(y/b)^2=2z$.

6. Дана поверхность $r=(u^2+v^2,u^2-v^2,uv)$ и точка $P: u=v=1$. Найти в
этой точке главные кривизны поверхности и кривизну нормального сечения,
касательного к кривой $v=u^2$.

7. Найти гауссову и среднюю кривизну поверхности $z=f(\sqrt{x^2+y^2})$.

8. Найти гауссову кривизну поверхности, у которой
$ds^2=du^2+\op{exp}(2u)dv^2$.

9. Найти омбилические точки на эллипсоиде вращения.

10. Поверхность $S$ задана уравнениями $r=r_0(u,v)$, а поверхность $S^*$ -
уравнениями $r=r_0(u,v)+am(u,v)$. Выразить среднюю и гауссову кривизны
поверхности $S^*$ через среднюю и гауссову кривизны поверхности $S$.

\enddocument
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Конец Документа %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
