%#AMSTEX#R# - MultiEdit label should be on the 1st line in the file
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Утверждения %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\def\Remark#1{\remark{#1}}
\def\endRemark{\endremark\medskip}
\def\proof{\demo{Доказательство}}
\def\endproof{$\square$\enddemo}
\def\Proof#1{\demo{Доказательство\ #1}}
\def\endProof{$\square$\enddemo}


%%%%%%%%%%%%%%%%% Руссификация элементов из topmatter %%%%%%%%%%%%%%%%%
\catcode`\@=11
\def\abstract{\let\savedef@\abstract
 \def\abstract{\let\abstract\savedef@
  \setbox\abstractbox@\vbox\bgroup\noindent$$\vbox\bgroup
  \def\envir@end{\endabstract}\advance\hsize-2\indenti
  \def\usualspace{\enspace}\eightpoint \noindent
  \frills@{{\smc Аннотация.\enspace}}}%
 \nofrillscheck\abstract}

\def\endabstract{\par\unskip\egroup$$\egroup}

\def\keywords{\let\savedef@\keywords
  \def\keywords##1\endkeywords{\let\keywords\savedef@
  \toks@{\def\usualspace{{\it\enspace}}\eightpoint}%
  \toks@@{##1\unskip.}%
  \edef\thekeywords@{\the\toks@\frills@{{\noexpand\it
    Ключевые слова и выражения.\noexpand\enspace}}\the\toks@@}}%
 \nofrillscheck\keywords}

\def\email{\let\savedef@\email
  \def\email##1\endemail{\let\email\savedef@
  \toks@{\def\usualspace{{\it\enspace}}\endgraf\indent\eightpoint}%
  \toks@@{##1\par}%
  \expandafter\xdef\csname email\number\addresscount@\endcsname
  {\the\toks@\frills@{{\noexpand\it E-mail\noexpand\/}:%
     \noexpand\enspace}\the\toks@@}}%
  \nofrillscheck\email}

\catcode`\@=12

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Рисунки %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Как использовать:
%  \Pic{new01}{Это --- первый рисунок}{fig:f}
%  \BigPic{new02}{new03}{Это --- еще один, но большой, рисунок}{fig:b}
%      new01,new02,new03 - имена pcx-файлов, без расширения

%% these are for 240DPI
%\newdimen\pcxht    \pcxht 55mm
%\newdimen\pcxwd    \pcxwd 67mm
%\newdimen\spcxwd   \spcxwd\textwidth
%\advance\spcxwd by -\pcxwd

%% these are for 300DPI mag = 1200
\newdimen\pcxht    \pcxht 33mm
\newdimen\pcxwd    \pcxwd 45mm
\newdimen\spcxwd   \spcxwd\pcxwd

%% these are for 300DPI mag = 1000
%\newdimen\pcxht    \pcxht 40mm
%\newdimen\pcxwd    \pcxwd 54mm
%\newdimen\spcxwd   \spcxwd\pcxwd


 \def\Pic#1#2{
   \midinsert
     \noindent
     \hbox to \hsize{\hfill
       \hbox to \pcxwd {\special{em:graph #1.pcx}\hfil}
     \hfill}
     \vskip\pcxht
     \centerline{#2}
  \endinsert
 }

 \def\BigPic#1#2#3{
   \midinsert
     \noindent
     \hbox to \hsize{\hfill
       %\hbox to \shiftwd {}
       \hbox to \pcxwd {\special{em:graph #1.pcx}\hfil}\!%
       \hbox to \spcxwd{\special{em:graph #2.pcx}\hfil}
     \hfill}
     \vskip\pcxht
     \centerline{#3}
  \endinsert
 }

\def\a{\alpha}
\def\b{\beta}
\def\g{\gamma}
\def\e{\varepsilon}
\def\f{\varphi}
\def\op{\operatorname}
\def\o{\overset{1}\to}
\def\oo{\overset{2}\to}
\def\d{\delta}
\def\s{\sigma}
\def\t{\tau}
\def\w{\widetilde}
\def\ss{\operatorname{sgn}}
\def\L{\Lambda}
\def\l{\lambda}
\def\om{\omega}
\def\Om{\Omega}
\def\De{\Delta}
\def\pa{\partial}
\def\dd{\overset{..}\to}
\def\pa{\partial}
\def\n{\nabla}
\def\G{\Gamma}
\def\M{\Cal M}
\def\th{\theta}

\NoBlackBoxes
\NoRunningHeads
\TagsOnRight


 \document
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \head Лекция 11. Модели Пуанкаре геометрии Лобачевского. \endhead
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


В предыдущей лекции мы ввели на плоскости Лобачевского координаты $u,v$,
аналогичные широте и долготе на сфере. Эти координаты обладают те же самым
недостатком, что и сферические --- они вырождаются в полюсе псевдосферы
--- точке $(1,0,0)$ (эта единственная точка в координатах $u,v$ задается
целым полуинтервалом $u=0,v$ --- любое). В сферической геометрии такой
недостаток неустраним: не существует глобальных координат на всей сфере,
пробегающих открытую область плоскости. В случае псевдосферы это не так:
ее можно параметризовать глобально. Это обстоятельство удобно тем, что в
таких глобальных координатах все точки плоскости Лобачевского изображаются
точками одной области на обычной плоскости, поэтому и все утверждения
геометрии Лобачевского можно переформулировать в терминах планиметрии
(т.е. вовсе не обращаясь к трехмерному пространству Минковского).
Отметим, что это, конечно, не означает, что геометрия Лобачевского и
геометрия на обычной плоскости устроены одинаково (мы уже видели, что это
совсем не так); дело в том, что при изображении точек плоскости
Лобачевского точками обычной плоскости все длины ``искажаются'', т.е.
расстояния задаются совсем другими формулами, чем в евклидовой геометрии,
а потому и геометрические теоремы оказываются иными.

Существуют разные способы изображения геометрии Лобачевского точками
плоскости; в этом параграфе мы обсудим две такие модели (которые имеют так
много общего, что часто рассматриваются как два варианта одной модели) ---
так называемые модели Пуанкаре.

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \subhead 1. Стереографическая проекция псевдосферы.
Метрика Лобачевского в модели Пуанкаре на единичном круге
\endsubhead
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Первый способ глобальной параметризации плоскости Лобачевского состоит в
следующем. Рассмотрим произвольную точку $P$ псевдосферы и проведем через
нее прямую, проходящую через точку $(-1,0,0)$ (полюс нижней полости
гиперболоида). Эта прямая пересечет плоскость $e_1,e_2$ в единственной
точке $P^\prime$, причем эта точка будет лежать внутри
единичного круга на этой плоскости (т.е. ее координаты $x_1,x_2$
удовлетворяют неравенству $x_1^2+x_2^2<1$) --- евклидов угол прямой
$PP^\prime$ с осью $e_0$ меньше $\pi/4$ (см. рис. 8).  Обратно, для всякой
точки $P^\prime$, лежащей внутри единичного круга на плоскости $e_1,e_2$,
прямая, проходящая через $P^\prime$ и точку $(-1,0,0)$, пересечет
псевдосферу в единственной точке $P$. Таким образом, мы получили взаимно
однозначное соответствие между точками плоскости Лобачевского и точками
единичного круга на плоскости $e_1,e_2$; такое отображение псевдосферы в
плоскость называется {\it стереографической проекцией}.
 % \Pic{file_name}{caption}
\Pic{fig8}{Рис. 8}
Будем задавать каждую точку $P$ псевдосферы координатами $x_1,x_2$ ее
стереографической проекции $P^\prime$; тем самым мы получили глобальную
параметризацию псевдосферы, причем параметризующие координаты меняются в
единичном круге. Вычислим метрический тензор (первую квадратичную форму)
плоскости Лобачевского в эти координатах. Для этого сначала рассмотрим на
плоскости $x_1,x_2$ полярные координаты $\rho,\phi$, для которых
$x_1=\rho\op{cos}\phi,x_2=\rho\op{sin}\phi$. Из рис. 8 видно, что
координаты $\rho,\phi$ связаны с исходными $u,v$ по формулам

$$
\phi=v,\quad\rho=\op{sh}u/(1+\op{ch}u)
$$ (треугольник $APQ$ подобен
треугольнику $AP^\prime O$). Применяя формулу преобразования первой
квадратичной формы при замене координат получим
после прямого вычисления матрицу метрического тензора в координатах
$\rho,\phi$ (проверьте!):
 $$
\w G=\frac{4}{(1-\rho^2)^2}\pmatrix 1&0\\0&\rho^2\endpmatrix,
 $$
или
$$
ds^2=\frac{4}{(1-\rho^2)^2}(d\rho^2+\rho^2d\phi^2).
 $$
Наконец, переходя от полярных координат $\rho,\phi$ к декартовым
$x_1,x_2$, получим матрицу первой квадратичной формы в этих координатах
 $$
G_1=\frac{4}{(1-(x_1^2+x_2^2))^2}\pmatrix1&0\\0&1\endpmatrix=
\frac{4}{(1-(x_1^2+x_2^2))^2}E,
 $$
или
$$
ds^2=\frac{4}{(1-(x_1^2+x_2^2))^2}(dx_1^2+dx_2^2).
 $$
 \definition {Определение}
Внутренность единичного круга $x_1^2+x_2^2<1$ на плоскости $x_1,x_2$ с
первой квадратичной формой $G_1$ называется моделью Пуанкаре (точнее,
моделью Пуанкаре в единичном круге) плоскости Лобачевского.
 \enddefinition

 \Remark {Замечание}
После того, как первая квадратичная форма вычислена, мы можем забыть про
псевдосферу и изучать только геометрические объекты, живущие в единичном
круге. Таким образом, мы свели все задачи геометрии Лобачевского к задачам
планиметрии со специальным образом определенным (неевклидовым) скалярным
произведением.
 \endRemark

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \subhead 2. Комплексные координаты и комплексная запись первой
квадратичной формы  \endsubhead
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

При изучении моделей Пуанкаре удобно пользоваться комплексным языком.
Именно, будем представлять себе плоскость $x_1,x_2$ как комплексную
плоскость, т.е. для каждой точки рассмотрим комплексное число $w=x_1+ix_2$
и комплексно-сопряженное ему $\bar w=x_1-ix_2$. Эти числа называются {\it
комплексными (точнее, комплексно-сопряженными)} координатами точки
$(x_1,x_2)$. Далее, в каждой касательной плоскости к плоскости Лобачевского
рассмотрим принимающие комплексные значения линейные функционалы $dw$ и
$d\bar w$, определенные формулами $dw=dx_1+idx_2,\quad d\bar w=dx_2+idx_1$
(напомним, что функционалы $dx_1$ и $dx_2$ образуют базис, двойственный к
базису на касательной плоскости, порожденному координатами $x_1,x_2$, см.
лекцию 3). Ясно, что
$$
dx_1=\frac12(dw+d\bar w),\quad dx_2=\frac1{2i}(dw-d\bar w),\quad
(x_1^2+x_2^2)=w\bar w=|w|^2.
 $$

Подставляя эти формулы в полученное выше выражение для метрики
плоскости Лобачевского,
получим
 $$
ds^2=\frac{4}{(1-(x_1^2+x_2^2))^2}(dx_1^2+dx_2^2)=
\frac{4}{(1-|w|^2)^2}dwd\bar w.
 $$

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \subhead3. Модель Пуанкаре в верхней полуплоскости \endsubhead
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Наряду с моделью Пуанкаре плоскости Лобачевского в единичном круге
используется и другая модель Пуанкаре --- модель на верхней полуплоскости.
Она строится следующим образом. Рассмотрим дробно-линейное преобразование
комплексной плоскости
$$
w\to z=i\frac{1-w}{1+w}.
$$
При этом преобразовании единичный круг $|w|<1$ взаимно однозначно
отображается на верхнюю полуплоскость $\op{Im}z>0$ (проверьте!). Таким
образом, комплексные координаты $z,\bar z$ (или вещественные $x,y,\quad
z=x+iy$, $y>0$) определяют новые параметры на единичном круге, а значит,
и на плоскости Лобачевского. Запишем в этих новых координатах метрический
тензор геометрии Лобачевского. Прямое вычисление дает
 $$
ds^2=-\frac{4dzd\bar z}{(z-\bar z)^2}=\frac{dx^2+dy^2}{y^2}
 $$
(проверьте!). Верхняя полуплоскость $y>0$ с заданной этой формулой первой
квадратичной формой называется {\it моделью Пуанкаре (на верхней
полуплоскости) плоскости Лобачевского.}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \subhead 4. Углы в модели Пуанкаре \endsubhead
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Заметим, что матрица первой квадратичной формы в любой модели Пуанкаре
скалярна, т.е. пропорциональна единичной матрице (в вещественных
координатах $x,y$ или $x_1,x_2$). Поэтому {\it угол в геометрии
Лобачевского между любыми двумя кривыми равен евклидовому углу между этими
кривыми на плоскости с декартовыми координатами $x_1,x_2$ или $x,y$}.
Действительно, скалярное произведение любых двух векторов, приложенных в
одной точке плоскости Лобачевского, равно их евклидовому скалярному
произведению, умноженному на коэффициент, зависящий только от точки
приложения векторов, но не от них самих (этот коэффициент равен
$4/(1-(x_1^2+x_2^2))^2$ в единичном круге и $1/y^2$ в верхней
полуплоскости). Поэтому в формуле для косинуса угла указанный коэффициент
сокращается --- на него умножается и числитель и знаменатель дроби.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \subhead  5. Геодезические в модели Пуанкаре \endsubhead
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Найдем геодезические в модели Пуанкаре в единичном круге.

 \proclaim {Теорема }
Геодезическими в модели Пуанкаре в единичном круге являются диаметры круга
и дуги окружности, пересекающие его границу (т.е. единичную окружность)
под прямым углом.  (см. рис. 9a)
 % \Pic{file_name}{caption}
\Pic{fig9b}{Рис. 9a}
 \endproclaim
 \proof
Ясно, что геодезические в рассматриваемой модели --- это ровно те кривые,
в которые переходят при стереографической проекции геодезические модели на
псевдосфере, т.е. сечения гиперболоида плоскостями, проходящими через
начало координат. Если $(a,b,c)$ --- вектор нормали к такой плоскости, то
соответствующая геодезическая в псевдосферических координатах $u,v$
задается уравнением
 $$
a\op{ch}u+b\op{sh}u\op{cos}v+c\op{sh}u\op{sin}v=0.
 $$
Подставим в это уравнение явные формулы стереографической проекции (см.
п.1),предварительно поделив его на $1+\op{ch}u$ замечая, что
 $$
\op{ch}u=\frac{\rho^2+1}{1-\rho^2},\quad1+\op{ch}u=\frac{2}{1-\rho^2},
 $$
получаем
 $$
a\frac{\rho^2+1}{2}+b\rho\op{cos}\phi+c\rho\op{sin}\phi=0,
 $$
или
 $$
a(x_1^2+x_2^2+1)+2bx_1+2cx_2=0.
 $$
Если $a=0$, последнее уравнение определяет диаметр круга; если $a\neq =$,
это --- окружность с центром в точке $x_1=-b/a,\quad x_2=-c/a$ и радиусом
$R=\sqrt{(b/a)^2_(c/a)^2-1}$. Из последних формул немедленно следует, что
треугольник с вершинами в центре рассматриваемой окружности, центре
единичной окружности (т.е. начале координат) и точке пересечения этих двух
окружностей, удовлетворяет теореме Пифагора: квадрат расстояния между
центрами равен сумме квадратов радиусов окружностей. Поэтому геодезическая
пересекает границу единичного круга под прямым углом.
 \endproof


Геодезические на верхней полуплоскости получаются из только что
указанных кривых в результате применения дробно-линейного преобразования
$w\to z=i(1-w)/(1+w)$, которое переводит единичную окружность $|w|=1$ в
вещественную ось $\op{Im}z=0$.

 \proclaim {Задача}
Докажите, что любое дробно-линейное преобразование переводит окружности в
окружности (прямые считаются частным случаем окружностей --- ``окружности
бесконечного радиуса'') и сохраняет углы между кривыми.
\endproclaim

Из результатов этой задачи следует, что геодезические на верхней
полуплоскости --- это прямые и дуги окружностей, пересекающие
вещественную ось под прямым углом, т.е. вертикальные прямые и
полуокружности с центром на вещественной оси (см. рис. 9b).

% \Pic{file_name}{caption}
\Pic{fig9a}{Рис. 9b}


 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \subhead 6. Изометрии в модели Пуанкаре \endsubhead
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Реализация плоскости Лобачевского как поверхности псевдосферы была удобна
тем, что позволяла без труда найти много ее изометрий --- это были
ортохронные преобразования Лоренца.  В моделях Пуанкаре изометрии,
конечно, выглядят по-другому --- оказывается, это дробно-линейные
преобразования комплексной плоскости.

 \proclaim {Теорема }
Преобразования вида
 $$
z\to \frac{az+b}{cz+d},\quad a,b,c,d\in R,\quad ad-bc>0
 $$
и вида
 $$
z\to \frac{a\bar z+b}{c\bar z+d},\quad a,b,c,d\in R,\quad ad-bc<0
 $$
являются изометриями плоскости Лобачевского, реализованной как модель
Пуанкаре на верхней полуплоскости.
 \endproclaim
 \proof
Заметим, что любое преобразование указанного вида является композицией
преобразований сдвига вдоль вещественной оси $T(a):z\to z+a,\quad a\in R$,
гомотетии $H(\l):z\to\l z,\quad\l\in R\quad\l>0$, осевой симметрии
$S: z\to-\bar z$ и инверсии $I:z\to 1/\bar z$.
Действительно, если $c\neq 0$ то преобразование $z\to (az+b)/(cz+d)$ имеет
вид $T(a/c)H((ad-bc)/c^2)SIT(d/c)$, а преобразование $z\to
(a\bar z+b)/(c\bar z+d)$ имеет вид $T(a/c)H((bc-ad)/c^2)IT(d/c)$. Если же
$c=0$, то преобразования имеют вид $T(b/d)H(a/d)$ и $T(b/d)H(-a/d)S$
соответственно (проверьте!).  Таким образом, достаточно проверить, что
сдвиги, гомотетии, осевые симметрии и инверсии являются изометриями. Для
сдвигов, гомотетий и осевых симметрий это очевидно; для преобразования $I$
проверяется элементарным вычислением.
 \endproof

 \proclaim {Задача}
Доказать, что указанными преобразованиями исчерпывается вся группа
изометрий плоскости Лобачевского.
 \endproclaim

Ясно, что из доказанного утверждения легко получить запас изометрий
плоскости Лобачевского, реализованной как единичный круг (модель
Пуанкаре): для этого надо посмотреть, какие преобразования единичного
круга порождают изометрии верхней полуплоскости при отображении $z\to
w=(i-z)(i+z)$.
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \head Задачи. \endhead
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

1.  Найти явный вид матриц преобразований Лоренца в двумерном
пространстве Минковского.

2.  Доказать, что ортогональные дополнения к плоскостям, определяющим две
перпендикулярные прямые на плоскости Лобачевского (векторная модель),
ортогональны.

3.  Доказать, что через данную точку плоскости Лобачевского проходит ровно
одна прямая, перпендикулярная данной прямой.

4.  Найти формулу для расстояния от точки до прямой в векторной модели
(точка задана своим радиус-вектором $\xi$, а прямая --- вектором нормали
$e$ к соответствующей плоскости).

5.  Доказать, что сумма углов треугольника на плоскости Лобачевского
меньше $\pi$.


6.  Доказать, что ``симметрия относительно прямой'' (т.е. изометрия,
оставляющая на месте все точки прямой, и переставляющая области, на
которые эта прямая делит плоскость Лобачевского) --- это или
осевая симметрия или инверсия (модель в верхней полуплоскости).

7.  Доказать, что расстояние между точками в модели на верхней
полуплоскости определяется формулой
 $$
\rho(z_1,z_2)=\op{ln}\frac{1+|\frac{z_1-z_2}{z_1-\bar
z_2}|}{1-|\frac{z_1-z_2}{z_1-\bar z_2}|}.
 $$

8.  Определить вид окружностей в трех моделях плоскости Лобачевского.

9. Доказать формулы решения  прямоугольных треугольников
 $$
\aligned
&\op{ch}c=\op{ch}a\op{ch}b;\quad\op{sh}b=\op{sh}c\op{sin}\b;
\quad\op{th}a=\op{th}c\op{cos}\b;\\
&\op{ch}c=\op{ctg}\a\op{ctg}\b;\quad\op{cos}\a=\op{ch}a\op{sin}\b;
\quad\op{th}a=\op{sh}b\op{tg}\a.
\endaligned
 $$

10. Найти формулу для площади круга на плоскости Лобачевского.

11. Найти формулу для радиуса описанной окружности. Вокруг всякого ли
треугольника на плоскости Лобачевского можно описать окружность?

12. Найти вид кривых, находящихся на фиксированном расстоянии от данной
прямой (эквидистанты) в трех моделях плоскости Лобачевского.

13. В модели на верхней полуплоскости найти изометрии, являющиеся
аналогами поворотов (одна точка неподвижна, а все касательные векторы в
этой точке поворачиваются на фиксированный угол).

14. В модели на верхней полуплоскости найти изометрии, являющиеся
аналогами параллельных переносов вдоль фиксированной прямой (прямая
остается на месте, но ее точки движутся по ней, причем каждая из областей,
на которые прямая делит плоскость Лобачевского, переходит в себя).

15. В модели на верхней полуплоскости найти изометрии, являющиеся
аналогами скользящих симметрий вдоль фиксированной прямой (прямая
остается на месте, но ее точки движутся по ней, причем области, на которые
прямая делит плоскость Лобачевского, меняются местами).

\enddocument

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Конец Документа %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
