%#AMSTEX#R# - MultiEdit label should be on the 1st line in the file
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Утверждения %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\def\Remark#1{\remark{#1}}
\def\endRemark{\endremark\medskip}
\def\proof{\demo{Доказательство}}
\def\endproof{$\square$\enddemo}
\def\Proof#1{\demo{Доказательство\ #1}}
\def\endProof{$\square$\enddemo}


%%%%%%%%%%%%%%%%% Руссификация элементов из topmatter %%%%%%%%%%%%%%%%%
\catcode`\@=11
\def\abstract{\let\savedef@\abstract
 \def\abstract{\let\abstract\savedef@
  \setbox\abstractbox@\vbox\bgroup\noindent$$\vbox\bgroup
  \def\envir@end{\endabstract}\advance\hsize-2\indenti
  \def\usualspace{\enspace}\eightpoint \noindent
  \frills@{{\smc Аннотация.\enspace}}}%
 \nofrillscheck\abstract}

\def\endabstract{\par\unskip\egroup$$\egroup}

\def\keywords{\let\savedef@\keywords
  \def\keywords##1\endkeywords{\let\keywords\savedef@
  \toks@{\def\usualspace{{\it\enspace}}\eightpoint}%
  \toks@@{##1\unskip.}%
  \edef\thekeywords@{\the\toks@\frills@{{\noexpand\it
    Ключевые слова и выражения.\noexpand\enspace}}\the\toks@@}}%
 \nofrillscheck\keywords}

\def\email{\let\savedef@\email
  \def\email##1\endemail{\let\email\savedef@
  \toks@{\def\usualspace{{\it\enspace}}\endgraf\indent\eightpoint}%
  \toks@@{##1\par}%
  \expandafter\xdef\csname email\number\addresscount@\endcsname
  {\the\toks@\frills@{{\noexpand\it E-mail\noexpand\/}:%
     \noexpand\enspace}\the\toks@@}}%
  \nofrillscheck\email}

\catcode`\@=12

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Рисунки %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Как использовать:
%  \Pic{new01}{Это --- первый рисунок}{fig:f}
%  \BigPic{new02}{new03}{Это --- еще один, но большой, рисунок}{fig:b}
%      new01,new02,new03 - имена pcx-файлов, без расширения

%% these are for 240DPI
%\newdimen\pcxht    \pcxht 55mm
%\newdimen\pcxwd    \pcxwd 67mm
%\newdimen\spcxwd   \spcxwd\textwidth
%\advance\spcxwd by -\pcxwd

%% these are for 300DPI mag = 1200
\newdimen\pcxht    \pcxht 33mm
\newdimen\pcxwd    \pcxwd 45mm
\newdimen\spcxwd   \spcxwd\pcxwd

%% these are for 300DPI mag = 1000
%\newdimen\pcxht    \pcxht 40mm
%\newdimen\pcxwd    \pcxwd 54mm
%\newdimen\spcxwd   \spcxwd\pcxwd


 \def\Pic#1#2{
   \midinsert
     \noindent
     \hbox to \hsize{\hfill
       \hbox to \pcxwd {\special{em:graph #1.pcx}\hfil}
     \hfill}
     \vskip\pcxht
     \centerline{#2}
  \endinsert
 }

 \def\BigPic#1#2#3{
   \midinsert
     \noindent
     \hbox to \hsize{\hfill
       %\hbox to \shiftwd {}
       \hbox to \pcxwd {\special{em:graph #1.pcx}\hfil}\!%
       \hbox to \spcxwd{\special{em:graph #2.pcx}\hfil}
     \hfill}
     \vskip\pcxht
     \centerline{#3}
  \endinsert
 }

\def\a{\alpha}
\def\b{\beta}
\def\g{\gamma}
\def\e{\varepsilon}
\def\f{\varphi}
\def\op{\operatorname}
\def\o{\overset{1}\to}
\def\oo{\overset{2}\to}
\def\d{\delta}
\def\s{\sigma}
\def\t{\tau}
\def\w{\widetilde}
\def\ss{\operatorname{sgn}}
\def\L{\Lambda}
\def\l{\lambda}
\def\om{\omega}
\def\Om{\Omega}
\def\De{\Delta}
\def\pa{\partial}
\def\dd{\overset{..}\to}
\def\pa{\partial}
\def\n{\nabla}
\def\G{\Gamma}
\def\M{\Cal M}
\def\th{\theta}

\NoBlackBoxes
\NoRunningHeads
\TagsOnRight

 \document

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \head Лекция 10. Векторная модель геометрии Лобачевского. \endhead
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Геометрия Лобачевского возникла из желания доказать (исходя из
остальных аксиом планиметрии) пятый постулат Евклида, который утверждает,
что через каждую точку плоскости, не лежащую на данной прямой, проходит
ровна одна прямая, параллельная данной. Попытки доказать это утверждение
``от противного'' не приводили к противоречию; напротив, возникла
своеобразная и красивая теория, отличающаяся от геометрии Евклида.
Важный вопрос о непротиворечивости этой теории был разрешен после
появления моделей геометрии Лобачевского, позволивших полностью описать ее
в терминах алгебры, анализа и обычной геометрии. В этом параграфе мы
рассмотрим одну из основных моделей плоскости Лобачевского --- векторную
модель.


 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \subhead 1. Псевдосфера в пространстве Минковского \endsubhead
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Рассмотрим трехмерное пространство Минковского $\Bbb R^{(2,1)}$ и зафиксируем в нем
ортонормированный базис $e_0,e_1,e_2$; координаты в этом базисе будем
обозначать $x_0,x_1,x_2$. Геометрия Лобачевского реализуется на
поверхности в этом пространстве, называемой псевдосферой.

 \definition {Определение}
Псевдосферой в пространстве Минковского называется поверхность, заданная
уравнением $(\xi,\xi)=-1$.
 \enddefinition

В координатах $x_0,x_1,x_2$ уравнение псевдосферы имеет вид
$-x_0^2+x_1^2+x_2^2=-1$; если представлять себе эти координаты как
координаты в обычном трехмерном пространстве, то псевдосфера --- это
двуполостный гиперболоид. Ясно, что все точки псевдосферы (точнее, их
радиус-векторы) времениподобны, так что этот гиперболоид лежит целиком
внутри светового конуса. В дальнейшем мы будем рассматривать только одну
половину псевдосферы, а именно ту, для которой $x_0>0$ (соответствующие
радиус-векторы ориентированы во времени так же, как вектор $e_0$).

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \subhead 2. Касательная плоскость к псевдосфере и
метрика Лобачевского\endsubhead
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Геометрия на всякой поверхности начинается с рассмотрения касательной
плоскости, т.е. пространства векторов скоростей кривых, лежащих на
поверхности. Рассмотрим произвольную кривую $\xi=\xi(t)$, лежащую на
псевдосфере.  Дифференцируя равенство $(\xi(t),\xi(t))=-1$ получим, что
$(\xi^\prime,\xi)=0$, т.е. {\it вектор скорости любой кривой,
лежащей на псевдосфере, ортогонален радиус-вектору}. Отсюда, в частности,
следует, что {\it скалярный квадрат любого касательного вектора к
псевдосфере положителен, т.е. все касательные плоскости
пространственноподобны} (докажите!). Это обстоятельство играет важнейшую
роль в построении геометрии Лобачевского --- пользуясь им, мы можем
определить на псевдосфере длины кривых, углы между ними,
ковариантные производные, параллельный перенос и геодезические совершенно
аналогично тому, как это делалось для поверхностей в евклидовом
пространстве.

 \definition {Список определений}
1). Длиной касательного вектора $\eta$ к псевдосфере называется квадратный
корень из его скалярного квадрата: $|\eta|=\sqrt{(\eta,\eta)}$.

2). Углом между двумя касательными векторами $\eta,\zeta$ (в одной и той
же точке) к псевдосфере называется число $\a$, вычисляемое по формуле $$
\op{cos}\a=\frac{(\eta,\zeta)}{|\eta||\zeta|}$$.

3). Длиной дуги между точками $t_1,t_2,t_1<t_2$ кривой $\xi=\xi(t)$,
лежащей на псевдосфере, называется интеграл от длины ее вектора скорости:
 $$
l=\int_{t_1}^{t_2}|\xi^\prime|(t)dt.
 $$

4). Углом между пересекающимися кривыми на псевдосфере называется угол
между векторами скорости к этим кривым в точке их пересечения.

5). Векторные поля на псевдосфере определяются совершенно аналогично
векторным полям на поверхностях в евклидовом пространстве.
Если $u,v$ - координаты на псевдосфере (например, приведенные ниже
псевдосферические координаты), то произвольное гладкое векторное  поле
$\eta$ задается парой гладких функций $\eta^1(u,v),\eta^2(u,v)$.
Ковариантные производные векторных полей и семейств касательных векторов
определяются точно так же, как это было сделано в лекции 4 для
поверхностей в евклидовом пространстве $\Bbb R^N$ (т.е. с помощью
ортогональной проекции на касательную плоскость); формулы (3) этой лекции
для символов Кристоффеля остаются справедливыми (проверьте!).

6). Параллельный перенос касательных векторов и геодезические на
псевдосфере определяются точно так же, как на поверхностях в $\Bbb R^N$;
уравнения геодезических (3) сохраняют свой вид.
 \enddefinition

Таким образом, на псевдосфере пространства Минковского возникает
геометрия, аналогичная геометрии на поверхности в трехмерном евклидовом
пространстве.
 \definition {Определение}
Эта геометрия называется геометрией Лобачевского, а сама псевдосфера ---
плоскостью Лобачевского (точнее, ее векторной моделью).
 \enddefinition

Все перечисленные геометрические структуры вычисляются через коэффициенты
первой квадратичной формы; найдем их для плоскости Лобачевского.  Запишем
параметрические уравнения псевдосферы (как поверхности вращения
гиперболы $x_0^2-x_1^2=1$ вокруг оси $x_0$) в виде
$\xi=(\op{ch}u,\op{sh}u\op{cos}v,\op{sh}u\op{sin}v)$. Стандартное
вычисление приводит к следующему выражению для матрицы первой квадратичной
форму плоскости Лобачевского в этих координатах
 $$
G=\pmatrix 1&0\\0&\op{sh}^2u\endpmatrix.
 $$

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \subhead 3. Геодезические и изометрии плоскости Лобачевского
\endsubhead
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Найдем геодезические на плоскости Лобачевского. Оказывается, они похожи на
большие круги сферы.

 \proclaim {Теорема }
Геодезическими на плоскости Лобачевского являются кривые, получающиеся
пересечением псевдосферы плоскостями, проходящими через начало координат,
и только они.
 \endproclaim
 \proof
 Из определения ковариантной производной на плоскости Лобачевского
следует, что геодезические --- это кривые, ускорение
которых ортогонально псевдосфере, если параметр натуральный; пересечения
псевдосферы с плоскостями, проходящими через начало координат, как раз и
обладают этим свойством (действительно, ускорение ортогонально скорости, а
скорость такой кривой ортогональна радиус--вектору, поэтому ускорение
этому вектору параллельно). То, что других геодезических нет, проверятся
так же, как для сферы --- через каждую точку гиперболоида и любой
касательный вектор в этой точке можно провести плоскость, проходящую через
начало координат (эта плоскость натянута на касательный вектор и
радиус-вектор точки); линия пересечения этой плоскости с псевдосферой
будет той единственной геодезической, которая проходит через данную точку
в данном направлении.
 \endproof

\Remark {Замечание }
Таким образом, геодезические на псевдосфере находятся во
взаимно-однозначном соответствии с гиперболическими плоскостями; поэтому
многие факты геометрии Лобачевского, касающиеся геодезических,
вытекают из линейной алгебры пространства Минковского (точнее, из свойств
двумерных гиперболических подпространств в $\Bbb R^{2,1}$).
 \endRemark


Изучение геометрии на сфере показывает, что наличие большого числа
изометрий играет важную роль --- с их помощью можно устанавливать многие
геометрические факты, не прибегая к явным вычислениям в координатах.
Оказывается, плоскость Лобачевского, так же как сфера и евклидова
плоскость, допускает много изометрий.

\proclaim {Теорема }
Группа изометрий плоскости Лобачевского изоморфна группе ортохронных
преобразования Лоренца пространства $\Bbb R^{2,1}$.
 \endproclaim
 \proof
Действительно, ясно, что любое
преобразование Лоренца в $\Bbb R^{2,1}$, оставляющее псевдосферу на месте
(т.е.  ортохронное), будет изометрией плоскости Лобачевского. Далее, если
$\xi,\eta$ радиус--векторы двух точек псевдосферы, а $e_1,e_2$ и $f_1,f_2$
--- ортонормированные реперы в касательных плоскостях к псевдосфере в этих
точках, всегда найдется ортохронное преобразование Лоренца, переводящее
тройку $\xi,e_1,e_2$ в тройку $\eta,f_1,f_2$ (это следует из того, что
каждая такая тройка определяет ортонормированный базис в пространстве
Минковского $\Bbb R^{2,1}$). Отсюда, как и при доказательстве
соответствующей теоремы для евклидовой плоскости, следует, что других
изометрий плоскости Лобачевского, кроме ортохронных преобразований
Лоренца, нет.
 \endproof

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \subhead 4. Нарушение аксиомы параллельных \endsubhead
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Убедимся в том, что на плоскости Лобачевского нарушается пятый постулат
Евклида. Для этого рассмотрим на ней геодезическую (гиперболу) $l:x_2=0 $
и точку $P$ с радиус-вектором $\xi$, лежащую в плоскости $x_1=0$ (см. рис.
7).
% \Pic{file_name}{caption}
\Pic{fig7}{Рис. 7} Ясно, что
геодезическая $l_0$, получающаяся пересечением псевдосферы с плоскостью,
проходящей через векторы  $\xi$ и $e_1$, проходит через $P$ и параллельна
$l$: плоскости, в которой лежат эти две кривые пересекаются по оси
$e_1$, которая не имеет общих точек с псевдосферой, а значит, и с кривыми
$l,l_0$. Будем теперь поворачивать плоскость вокруг вектора $\xi$. Линия
пересечения повернутой плоскости с плоскостью $x_2=0$ ---  прямая,
лежащая в плоскости $x_2=0$ (рис. 7). При повороте эта прямая (которая
изначально совпадала с осью $e_1$), будет поворачиваться; ясно однако, что
до тех пор, пока она не попадет на световой конус, т.е. ее направляющий
вектор не станет равным $e_1+e_0$, указанная прямая не будет пересекаться с
псевдосферой. Поэтому все линии пересечения поворачиваемых плоскостей с
псевдосферой будут оставаться параллельными $l$; таких геодезических,
очевидно, бесконечно много: все они расположены между двумя предельными
геодезическими $l_1,l_2$ (геодезическая $l_1$ лежит в плоскости векторов
$\xi$ и $e_1+e_0$, а геодезическая $l_2$ - в плоскости векторов $\xi$ и
$e_0-e_1$).
 \Remark {Замечание}
Очевидно, две произвольные геодезические на плоскости Лобачевского будут
параллельными (т.е. не будут пересекаться) тогда и только тогда, когда
прямая пересечения определяющих их двумерных плоскостей
пространственноподобна или изотропна. Нарушение аксиомы параллельных
поэтому следует из следующего простого факта линейной алгебры $\Bbb R^{(2,1)}$: для
данной гиперболической плоскости $L$ и данного не лежащего в ней
времениподобного вектора $\xi$ существует бесконечно много двумерных
гиперболических плоскостей, проходящих через $\xi$ и пересекающихся с $L$
по пространственноподобной прямой --- они натянуты на вектор $\xi$ и
произвольный пространственноподобный вектор из $L$.
 \endRemark

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \subhead  5. Расстояние \endsubhead
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Через любые две точки плоскости Лобачевского проходит ровно одна
геодезическая --- она лежит в плоскости, проходящей через эти точки и
начало координат.
 \definition {Определение}
Расстоянием между двумя точками плоскости Лобачевского называется длина
дуги геодезической, заключенной между этими точками.
 \enddefinition

Оказывается, расстояние можно определить по формуле, очень похожей на
соответствующую формулу сферической геометрии.
 \proclaim {Утверждение }
Расстояние $\rho$ между двумя точками с радиус-векторами $\xi_1,\xi_2$
удовлетворяет равенству $\op{ch}\rho=-(\xi_1,\xi_2)$.
 \endproclaim
 \proof
Утверждение инвариантно относительно изометрий плоскости Лобачевского.
Поэтому достаточно проверить его для двух точек, лежащих на геодезической
$x_2=0$ (любую другую можно перевести в эту изометрией). В
координатах $u,v$ эта геодезическая задается уравнениями $u=u,v=0$; пусть
координаты точек $u=u_1,v=0$ и $u=u_2,v=0$ соответственно. Вычисляя
длину дуги геодезической между этими точками, получим
$$
\rho=\int_{u_1}^{u_2}du=u_2-u_1
$$
(касательный вектор к геодезической имеет вид $(1,0)$; матрица первой
квадратичной формы приведена выше). С другой стороны, векторы
$\xi_1,\xi_2$, очевидно, имеют вид $\xi_j=(\op{ch}u_j,\op{sh}u_j,0)$,
поэтому
$$
(\xi_1,\xi_2)=-\op{ch}u_1\op{ch}u_2+\op{sh}u_1\op{sh}u_2=-\op{ch}(u_2-u_1),
$$
откуда немедленно следует требуемая формула.
 \endproof

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \subhead 6. Окружности \endsubhead
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

 \definition {Определение}
Окружностью с центром в точке $P$ радиуса $a$ на плоскости Лобачевского
называется множество точек, находящихся на расстоянии $a$ от точки $P$.
 \enddefinition

Оказывается, формула для длины окружности также напоминает
соответствующую формулу сферической геометрии.

 \proclaim {Утверждение }
Длина $l$ окружности радиуса $a$ на плоскости Лобачевского равна
 $$
l=2\pi\op{sh}a.
 $$
 \endproclaim
 \proof
Утверждение инвариантно относительно изометрий, поэтому его достаточно
проверить для окружности с центром в точке $(1,0,0)$. Такая окружность,
очевидно, является евклидовой окружностью (параллелью псевдосферы); в
координатах $u,v$ она задается уравнениями $u=a,v=v,\quad v\in [0,2\pi]$
(см.  предыдущий пункт). Касательный вектор к ней имеет координаты $(0,1)$
и его длина равна $\op{sh}a$ (см. выражение для первой квадратичной
формы).  Таким образом, длина окружности $l$ равна
 $$
l=\int_0^{2\pi}\op{sh}adv=2\pi\op{sh}a.
 $$
 \endproof

\proclaim {Задача}
Как выглядит произвольная окружность на плоскости Лобачевского?
 \endproclaim

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \subhead  7. Треугольники \endsubhead
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Треугольники на плоскости Лобачевского определяются обычным способом -
рассматриваем произвольные три точки $A,B,C$ и соединяем их попарно дугами
геодезических. Формулы решения треугольников и признаки их равенства в
геометрии Лобачевского похожи на соответствующие утверждения сферической
геометрии.

 \proclaim {Утверждение (теорема косинусов)}
Пусть $a,b,c$ - длины сторон треугольника на плоскости Лобачевского, а
$\a,\b,\g$ - противолежащие им углы. Тогда имеет место равенство
 $$
\op{ch}a=\op{ch}b\op{ch}c-\op{sh}b\op{sh}c\op{cos}\a.
 $$
 \endproclaim
 \proclaim {Задача}
Доказать это утверждение.
 \endproclaim
 \proclaim {Указание}
Доказательство аналогично доказательству сферической теоремы косинусов
(см. лекцию 8).
 \endproclaim
 \proclaim {Задача}
Доказать на плоскости Лобачевского теорему синусов
 $$
\frac{\op{sin\a}}{\op{sh}a}=\frac{\op{sin\b}}{\op{sh}b}=\frac{\op{sin\g}}{\op{sh}c}.
 $$
 \endproclaim
 \proclaim {Указание}
Она получается из теоремы косинусов алгебраической выкладкой (ср. с
аналогичным утверждением из лекции 8).
 \endproclaim

Как и в сферической геометрии, в геометрии Лобачевского  углы треугольника
определяют его стороны. Соответствующая формула также называется
двойственной теоремой косинусов.

\proclaim {Утверждение (двойственная теорема косинусов)}
$$
\op{cos}\a=-\op{cos}\b\op{cos}\g+\op{sin}\b\op{sin}\g\op{ch}a.
$$
 \endproclaim
  \proof
На плоскости Лобачевского нет полярных треугольников, поэтому для
доказательства двойственной теоремы косинусов приходится применять
алгебраические вычисления (это можно сделать и на сфере, но там проще
воспользоваться полярной конструкцией). Выразим косинусы углов через
стороны треугольника из теоремы косинусов. Получим
 $$
\op{cos}\a+\op{cos}\b\op{cos}\g=\frac{\op{sh}^2a(\op{ch}b\op{ch}c-\op{ch}a)+
(\op{ch}a\op{ch}c-\op{ch}b)(\op{ch}a\op{ch}b-\op{ch}c)}{\op{sh}^2a\op{sh}b\op{sh}c}.
 $$
Раскрывая в числителе скобки и выражая гиперболический синус через
косинус, получим
 $$
\op{cos}\a+\op{cos}\b\op{cos}\g=\op{ch}a\frac{1+2\op{ch}a\op{ch}b\op{ch}c-
\op{ch}^2a-\op{ch}^2b-\op{ch}^2c}
{\op{sh}^2a\op{sh}b\op{sh}c}.
 $$
С другой стороны, из той же теоремы косинусов получаем
 $$
\op{sin}\b=\sqrt{1-\Big(\frac{\op{ch}b-\op{ch}a\op{ch}c}{\op{sh}a\op{sh}c}\Big)^2}.
$$
Раскрывая скобки под квадратным корнем и выражая в числителе
гиперболический синус через косинус, получим
 $$
\op{sin}\b=
\frac{\sqrt{1+2\op{ch}a\op{ch}b\op{ch}c-\op{ch}^2a-\op{ch}^2b-\op{ch}^2c}}
{\op{sh}a\op{sh}c}.
 $$
Аналогично,
 $$
\op{sin}\g=
\frac{\sqrt{1+2\op{ch}a\op{ch}b\op{ch}c-\op{ch}^2a-\op{ch}^2b-\op{ch}^2c}}
{\op{sh}a\op{sh}b}.
 $$
Перемножая два последних равенства и сравнивая с выражением для
$\op{cos}\a+\op{cos}\b\op{cos}\g$, получим требуемую формулу.
 \endproof

 \Remark {Замечание 1}
Из выписанных формул следуют признаки равенства треугольников, аналогичные
полученным выше в сферической геометрии. Именно, назовем два
треугольника на плоскости Лобачевского равными, если их можно перевести
один в другой изометрией. Очевидно, имеют место следующие признаки
равенства треугольников:

a) по трем сторонам;

b) по двум сторонам и углу между ними;

c) по стороне и двум прилежащим к ней углам;

d) по трем углам

(последний признак не имеет аналога в евклидовом случае, но справедлив в
сферическом.)
\endRemark

 \Remark {Замечание 2}
Если линейные размеры (радиус окружности, стороны треугольника и т.д.)
стремятся к нулю, все формулы геометрии Лобачевского переходят в
соответствующие формулы евклидовой геометрии (проверьте!).
 \endRemark

 \Remark {Замечание 3}
Если в формулах сферической геометрии формально заменить радиус сферы $R$
на мнимую единицу $i$, то эти формулы перейдут в соответствующие формулы
геометрии Лобачевского (убедитесь в этом на примере формул из лекции 8).
Таким образом, геометрия Лобачевского --- {\it это геометрия на сфере
мнимого радиуса!} Конечно, такое утверждение не имеет строгого
математического смысла; его реальное содержание состоит в том, что
геометрия Лобачевского реализуется на псевдосфере $(\xi,\xi)=-1$.
 \endRemark

\enddocument
