%#AMSTEX#R# - MultiEdit label should be on the 1st line in the file
\magnification=\magstep1

\centerline {                        ВОПРОСЫ}

\centerline {по курсу "Классическая дифференциальная геометрия"}

\centerline {весенний семестр, 2000 г.}
\bigskip
\centerline {Лектор А.И. Шафаревич}
\bigskip



1. Плоские кривые. Касательная и нормаль. Соприкасающаяся окружность.
Кривизна и вектор главной нормали. Плоские формулы Френе.

2. Пространственные кривые. Бирегулярные кривые. Соприкасающаяся
окружность и репер Френе. Формулы Френе в пространстве. Кривизна и
кручение пространственной кривой.

3. Вычислительные формулы для кривизны и кручения кривой.

4. Теорема о восстановлении кривой по кривизне и кручению.

5. Поверхности в евклидовом пространстве. Касательная плоскость к
поверхности. Канонический базис в касательной плоскости.

6. Первая квадратичная форма поверхности. Вычисление длин кривых на
поверхности и углов между кривыми. Закон преобразования коэффициентов
первой квадратичной формы.

7. Векторные поля на поверхностях. Ковариантное дифференцирование
векторных полей и его свойства.

8. Вычислительные формулы для символов Кристоффеля.

9. Параллельный перенос касательных векторов и его свойства.

10. Геодезические на поверхностях и их свойства.

11. Вторая квадратичная форма гиперповерхности. Теорема Менье. Кривизны
кривых, лежащих на поверхности.

12. Главные направления и главные кривизны гиперповерхности. Формула
Эйлера.

13. Гауссова и средняя кривизны гиперповерхности. Вторая квадратичная
форма и отклонение точки поверхности от касательного пространства.

14. Деривационные формулы Гаусса --- Вейнгартена. Теорема о
восстановлении гиперповерхности по паре квадратичных форм.

15. Формулы Гаусса и Кодацци. Теорема Гаусса.

16. Геометрический смысл знака
гауссовой кривизны двумерной поверхности. Эллиптические, гиперболические и
параболические точки.

17. Риманова метрика на поверхности и в области евклидова пространства.
Индуцированная риманова метрика.

18. Изометрии римановой метрики. Группа изометрий евклидовой плоскости.

19. Геометрия на сфере. Геодезические и изометрии. Расстояние и длина
окружности.

20. Сферические треугольники. Теоремы косинусов и синусов.

21. Полярные треугольники на сфере. Двойственная теорема косинусов.
Признаки равенства треугольников.Теорема о сумме углов треугольника.

22. Псевдоримановы метрики. Их простейшие свойства.
Пространство $\Bbb R^{n,k}$.

23. Пространство Минковского. Пространственноподобные, времениподобные и
изотропные векторы. Подпространства и ортогональные дополнения в $\Bbb
R^{n,1}$.

24. Преобразования Лоренца в пространстве Минковского. Неравенство Коши
--- Буняковского и неравенство треугольника для времениподобных векторов.

25. Мировые линии массивных объектов в пространстве --- времени.
Относительность одновременности, замедление времени, сокращение длин и
парадокс близнецов.

26. Псевдосфера в трехмерном пространстве Минковского. Геометрия
Лобачевского. Геодезические на плоскости Лобачевского (модель на
псевдосфере). Нарушение аксиомы параллельных.

27. Явный вид метрики Лобачевского в псевдосферических координатах.
Расстояние и длина окружности.

28. Треугольники на плоскости Лобачевского. Теоремы косинусов и синусов.
Двойственная теорема косинусов. Признаки равенства треугольников.

29. Стереографическая проекция псевдосферы. Модель Пуанкаре плоскости
Лобачевского в единичном круге. Метрика в модели Пуанкаре. Геодезические.

30. Комплексная запись метрики Лобачевского в модели Пуанкаре в
единичном круге. Модель на верхней полуплоскости. Изометрии на плоскости
Лобачевского. Геодезические на верхней полуплоскости.

31. Топологическое пространство.
Непрерывные отображения. Гомеоморфизм. Топологические свойства
пространств: связность, компактность, хаусдорфовость.

32. Понятие гладкого многообразия. Карты, атлас, локальные системы
координат.  Функции перехода.

33. Гладкие функции на многообразии и гладкие отображения гладких
многообразий.  Диффеоморфизм.

34. Касательный вектор в точке. Касательное пространство. Три определения
касательного вектора и их эквивалентность.

35. Дифференциал гладкого отображения. Вложения и погружения.

36. Вложение компактного многообразия в евклидово пространство
достаточно большой размерности.

37. Теорема Уитни.

38. Примеры многообразий. Многообразия, заданные уравнениями.

39. Примеры многообразий. Группы Ли.








\end
