%#AMSTEX#R# - MultiEdit label should be on the 1st line in the file
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Утверждения %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\def\Remark#1{\remark{#1}}
\def\endRemark{\endremark\medskip}
\def\proof{\demo{Доказательство}}
\def\endproof{$\square$\enddemo}
\def\Proof#1{\demo{Доказательство\ #1}}
\def\endProof{$\square$\enddemo}


%%%%%%%%%%%%%%%%% Руссификация элементов из topmatter %%%%%%%%%%%%%%%%%
\catcode`\@=11
\def\abstract{\let\savedef@\abstract
 \def\abstract{\let\abstract\savedef@
  \setbox\abstractbox@\vbox\bgroup\noindent$$\vbox\bgroup
  \def\envir@end{\endabstract}\advance\hsize-2\indenti
  \def\usualspace{\enspace}\eightpoint \noindent
  \frills@{{\smc Аннотация.\enspace}}}%
 \nofrillscheck\abstract}

\def\endabstract{\par\unskip\egroup$$\egroup}

\def\keywords{\let\savedef@\keywords
  \def\keywords##1\endkeywords{\let\keywords\savedef@
  \toks@{\def\usualspace{{\it\enspace}}\eightpoint}%
  \toks@@{##1\unskip.}%
  \edef\thekeywords@{\the\toks@\frills@{{\noexpand\it
    Ключевые слова и выражения.\noexpand\enspace}}\the\toks@@}}%
 \nofrillscheck\keywords}

\def\email{\let\savedef@\email
  \def\email##1\endemail{\let\email\savedef@
  \toks@{\def\usualspace{{\it\enspace}}\endgraf\indent\eightpoint}%
  \toks@@{##1\par}%
  \expandafter\xdef\csname email\number\addresscount@\endcsname
  {\the\toks@\frills@{{\noexpand\it E-mail\noexpand\/}:%
     \noexpand\enspace}\the\toks@@}}%
  \nofrillscheck\email}

\catcode`\@=12

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Рисунки %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Как использовать:
%  \Pic{new01}{Это --- первый рисунок}{fig:f}
%  \BigPic{new02}{new03}{Это --- еще один, но большой, рисунок}{fig:b}
%      new01,new02,new03 - имена pcx-файлов, без расширения

%% these are for 240DPI
%\newdimen\pcxht    \pcxht 55mm
%\newdimen\pcxwd    \pcxwd 67mm
%\newdimen\spcxwd   \spcxwd\textwidth
%\advance\spcxwd by -\pcxwd

%% these are for 300DPI mag = 1200
\newdimen\pcxht    \pcxht 33mm
\newdimen\pcxwd    \pcxwd 45mm
\newdimen\spcxwd   \spcxwd\pcxwd

%% these are for 300DPI mag = 1000
%\newdimen\pcxht    \pcxht 40mm
%\newdimen\pcxwd    \pcxwd 54mm
%\newdimen\spcxwd   \spcxwd\pcxwd


 \def\Pic#1#2{
   \midinsert
     \noindent
     \hbox to \hsize{\hfill
       \hbox to \pcxwd {\special{em:graph #1.pcx}\hfil}
     \hfill}
     \vskip\pcxht
     \centerline{#2}
  \endinsert
 }

 \def\BigPic#1#2#3{
   \midinsert
     \noindent
     \hbox to \hsize{\hfill
       %\hbox to \shiftwd {}
       \hbox to \pcxwd {\special{em:graph #1.pcx}\hfil}\!%
       \hbox to \spcxwd{\special{em:graph #2.pcx}\hfil}
     \hfill}
     \vskip\pcxht
     \centerline{#3}
  \endinsert
 }
\def\a{\alpha}
\def\b{\beta}
\def\g{\gamma}
\def\e{\varepsilon}
\def\f{\varphi}
\def\op{\operatorname}
\def\o{\overset{1}\to}
\def\oo{\overset{2}\to}
\def\d{\delta}
\def\s{\sigma}
\def\t{\tau}
\def\w{\widetilde}
\def\ss{\operatorname{sgn}}
\def\L{\Lambda}
\def\om{\omega}
\def\Om{\Omega}
\def\De{\Delta}
\def\pa{\partial}
\def\dd{\overset{..}\to}
\def\pa{\partial}

\NoBlackBoxes
\NoRunningHeads
\TagsOnRight

\def\wt{\widetilde}
\def\n{\nabla}
\def\g{\gamma}
\def\pa{\partial}
\def\G{\Gamma}
\def\op{\operatorname}
\document

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \head Лекция 4. Ковариантное дифференцирование на
поверхностях. Параллельный перенос касательных векторов.  Геодезические
линии. \endhead
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \subhead 1. Ковариантное дифференцирование на поверхностях. Ковариантная
производная векторного поля \endsubhead
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Теперь мы рассмотрим два тесно связанных между
собой вопроса --- как правильно определить производные от касательных
векторов к поверхности и как параллельно переносить такие векторы. Первый
из этих вопросов естественно возникает при вычислении ускорений кривых.
Действительно, пусть $\g$ --- кривая на поверхности; ее ускорение --- это
производная от вектора скорости, т.е. от касательного вектора к
поверхности. Эту производную можно вычислить, рассмотрев кривую $\g$ как
пространственную и затем продифференцировав ее вектор скорости. Однако при
этом получится вектор, который, вообще говоря, не будет касаться
поверхности --- для того, чтобы в этом убедиться, достаточно рассмотреть в
качестве $\g$ пересечение поверхности с двумерной плоскостью, проходящей
через какую-либо точку $P\in M$ и не лежащей в касательном пространстве
$T_PM$.  Ясно, что вектор ускорения такого сечения,
вычисленный в точке $P$, будет лежать в этой плоскости, т.е. не будет
касаться поверхности. С другой стороны,
с точки зрения жителя поверхности, такие векторы не имеют никакого смысла
--- он может ``наблюдать'' только касательные векторы к поверхности.
Поэтому для такого жителя ускорение кривой должно вычисляться как-то
иначе.

Аналогичное явление происходит при попытке параллельно перенести
касательный вектор из точки $P$ поверхности в другую точку $Q$.
Действительно, согласно известным правилам параллельного переноса
в евклидовом пространстве, для этого надо просто построить в точке $Q$
точно такой же (по величине и направлению) вектор, какой был в исходной
точке. Однако в результате такой операции (как и в результате
дифференцирования) касательный вектор к поверхности перестает, вообще
говоря, быть таковым --- в качестве простейшего примера можно рассмотреть,
например, параллельный перенос из полюса двумерной сферы в точку ее
экватора.  Действительно, если касательный вектор к сфере в полюсе касался
какого-то меридиана, то после параллельного перенесения в точку
пересечения этого меридиана с экватором он станет перпендикулярным
касательной плоскости к сфере. Поэтому ``с внутренней точки зрения'' (т.е.
с точки зрения жителя поверхности) параллельный перенос  должен выглядеть
по-другому.

Оказывается, оба эти вопроса (о дифференцировании и параллельном
перенесении) могут быть решены при помощи одной и той же конструкции ---
ковариантной производной векторного поля.


Рассмотрим на поверхности кривую $\g$, параметризованную параметром $t$;
пусть $a$ - вектор скорости этой кривой. Самый простой способ изготовить
из вектора ускорения $da/dt$ касательный вектор к поверхности --- это
спроектировать его на касательную плоскость.
 \definition {Определение}
Ковариантным ускорением  $\n_\g a$  кривой $\g$
называется вектор $\Pi(da/dt)$, где $\Pi$ - ортогональная проекция на
касательную плоскость к поверхности. Длина ковариантного ускорения
называется геодезической кривизной кривой $\g$ и обозначается $k_g$:
$k_g=|\n_\g a|$.
 \enddefinition

Ясно, что ковариантное ускорение зависит не только от кривой как
геометрического места точек, но и от выбора параметра на ней - от этого
выбора, как известно, зависит и обычный вектор ускорения. Для того, чтобы
иметь возможность вычислять ковариантные производные от касательных
векторов вдоль любых кривых, удобно развить для этих производных аппарат,
аналогичный аппарату частных производных функций нескольких переменных
(зная правила вычисления частных производных функций нескольких переменных,
можно вычислять по универсальным формулам производные от функций,
ограниченных на любые кривые - именно, производная $df/dt$ функции
$f(x^1,\dots,x^n)$, рассматриваемая как функция переменной $t$ на кривой
$x^i=x^i(t)$, имеет вид $\sum\frac{\pa f}{\pa x^i}\frac{dx^i}{dt}$). Для
того, чтобы это сделать, надо определить семейства касательных векторов к
поверхности, зависящие от произвольной точки на поверхности (т.е.
меняющиеся от точки к точке касательные векторы). Такие семейства
называются векторными полями.

 \definition {Определение}
Гладкое векторное поле $a(P)$ на поверхности $M$ - это касательный вектор
к $M$, заданный в каждой точке этой поверхности и гладко меняющийся от
точки к точке. Последнее условие означает следующее. Каждый касательный
вектор определяется своими координатами $a^i$ в базисе $r_1,\dots,r_n$;
если вектор задан в каждой точке, то $a^i$ - функции параметров
$u^1,\dots,u^n$.  Гладкая зависимость вектора от точки поверхности
означает, что эти функции бесконечно дифференцируемы.
 \enddefinition

Таким образом, в координатах каждое гладкое векторное поле определяется
заданием $n$ функций от $n$ переменных ---
$a^i(u^1,\dots,u^n)$.  Определим теперь (частные)
ковариантные производные векторного поля $a(P)$. Для этого рассмотрим
произвольную точку $Q$ поверхности и зафиксируем все ее координаты кроме
одной, например, $u^i$, т.е.  рассмотрим на поверхности координатную
линию $i$-й координаты, проходящую через точку
$Q$.  В каждой точке этой кривой имеется вектор $a$; таким образом, мы
получили семейство $N$-мерных векторов $a(u^i)$.

 \definition {Определение}
Ковариантной производной $\n_ia$ векторного поля $a(P)$ по координате $u^i$
в точке $Q$ называется вектор $\Pi(\pa a(u^i)/\pa u^i)$,
вычисленный в точке $Q$. Здесь $\Pi$ - ортогональный проектор на
касательную плоскость к поверхности.
 \enddefinition
 \Remark {Замечание}
Очевидно, вычисляя ковариантную производную $\n_ia$ во всех точках
поверхности, получим новое гладкое векторное поле.
 \endRemark

Аналогично производным по направлению от функций $n$ переменных
определяется ковариантная производная от векторного поля вдоль
касательного вектора. Именно, пусть $a(P)$ - векторное поле и
$b=\sum b^ir_i(Q)$ - касательный вектор к поверхности в точке $Q$.
 \definition {Определение}
Ковариантной производной $\n_ba$ векторного поля $a$ вдоль вектора $b$
называется касательный вектор $\sum b^i\n_ia$, где производные $\n_ia$
вычисляются в точке $Q$.
 \enddefinition

Очевидно, ковариантная производная вдоль вектора $b$ может быть описана
следующим образом. Рассмотрим гладкую кривую $\g$, лежащую на поверхности,
проходящую через точку $Q$ и имеющую в этой точке вектор скорости, равный
$b$ (такая кривая всегда существует). Рассмотрим векторное
поле $a$ в точках этой кривой --- это дифференцируемое семейство $N$-мерных
векторов $a(t)$, зависящее от параметра $t$ на кривой. Ковариантная
производная $\n_ba$ имеет вид
 $$
\n_ba=\Pi(\frac{d}{dt}|_{t=t_0}a(t)),
 $$
где $t_0$ - значение параметра, определяющее точку $Q$.

Иногда приходится дифференцировать не векторные поля, а семейства
касательных векторов, определенные только в точках некоторой кривой,
лежащей на поверхности. Приведенная выше формула показывает, как
определить такую производную. Пусть гладкая кривая $\g$ задана
параметрическими уравнениями $u^i=u^i(t)$; гладкое семейство
$a(t)$ касательных векторов в точках $\g$ задается набором из $n$
дифференцируемых функций $a^i(t):\quad a(t)=\sum a^i(t)r_i(u(t))$.
 \definition {Определение}
Ковариантной производной $\n_\g a$ семейства векторов $a(t)$вдоль кривой
$\g$ называется гладкое семейство векторов
 $$
\n_\g a= \Pi(\frac{da(t)}{dt}).
 $$
 \enddefinition
В частности, определенное в начале этого пункта ковариантное ускорение кривой
$\g$ --- это ковариантная производная вдоль кривой от семейства ее векторов
скорости.
 \Remark {Замечание}
Пусть $a(t)$ --- гладкое семейство касательных векторов в точках кривой
$\g$. Рассмотрим произвольное векторное поле $\w a$ на поверхности,
совпадающее в точках $\g$ с семейством $a(t)$. Выше было показано, что
ковариантная производная $\n_b\w a$ поля $\w a$ вдоль вектора скорости $b$
к кривой $\g$ совпадает с ковариантной производной $\n_\g a$. В частности,
эта производная одинакова для всех полей $\w a$, совпадающих с $a(t)$ в
точках $\g$.
 \endRemark

 \Remark {Простое, но важное замечание}
Все ковариантные производные --- {\it касательные векторы к поверхности},
т.е. естественные с точки зрения жителя поверхности объекты.
 \endRemark
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \subsubhead Свойства ковариантной производной \endsubsubhead
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \proclaim {Предложение }

Операция $\n$ обладает следующими свойствами: если $a,a^\prime$ -
векторные поля, $f,f^\prime$ --- гладкие функции на поверхности (т.е.
бесконечно дифференцируемые функции переменных $u$), а
$b,b^\prime$ - касательные векторы, то справедливы равенства
 $$
\n_{(fb+f^\prime b^\prime)}a=f\n_ba+f^\prime\n_{b^\prime}a;
 $$
 $$
\n_b(a+a^\prime)=\n_ba+\n_ba^\prime;
 $$
 $$
\n_b(fa)=f\n_ba+a\pa_b(f);
$$
 $$
\pa_b(a,a^\prime)=(\n_ba,a^\prime)+ (a,\n_ba^\prime),
 $$
где $\pa_b(f)=\sum b^i\pa f/\pa u^i$ - производная функции $f$ вдоль
касательного вектора $b$.
 \endproclaim
 \proof
Первые два равенства очевидны. Третье следует из правила Лейбница: $\pa
(af)/\pa u^i=f\pa a/\pa u^i+a\pa f/\pa u^i$. Докажем последнее равенство.
Рассмотрим его правую часть:
 $$
(\n_ba,a^\prime)+ (a,\n_ba^\prime)=\sum_{i=1}^nb^i[(\Pi(\frac{\pa a}{\pa
u^i}),a^\prime)+(a,\Pi(\frac{\pa a^\prime}{\pa u^i}))].
 $$
Поскольку оба вектора $a,a^\prime$ всюду касаются поверхности, а разность
$\Pi(е)-e$ для любого вектора $e$ направлена перпендикулярна касательной
плоскости, оператор $\Pi$ в правой части выписанного равенства можно
опустить: $(\Pi(e),a)=(e,a),\quad
(\Pi(e),a^\prime)=(e,a^\prime)\quad\forall e$.  После этого требуемая
формула следует из правила Лейбница:
 $$
\frac{\pa}{\pa u^i}(a,a^\prime)=(\frac{\pa a}{\pa u^i},a^\prime)+
(a,\frac{\pa a^\prime}{\pa u^i}).
 $$
 \endproof

 \Remark {Замечание}
Очевидно, такими же свойствами обладает ковариантная производная семейства
касательных векторов в точках произвольной кривой.
 \endRemark

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \subhead 2. Вычисление ковариантных производных. Символы Кристоффеля
 \endsubhead
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Для того, чтобы аппаратом ковариантных производных можно было
практически пользоваться, необходимо иметь формулы, выражающие их в
координатах $u$ на поверхности; в этом пункте мы получим такие
формулы. Пусть $a(P)$ - гладкое векторное поле; в координатах это
функции $a^i(u)$. В объемлющем пространстве поле $a(P)$
имеет вид $\sum a^i(u)r_i(u)$, где $r=r(u)$ - уравнения
поверхности. Вычислим ковариантную производную $\n_ja$; имеем
 $$
\n_ja=\sum_{i=1}^n\Pi(\frac{\pa}{\pa u^j}a^i(u)r_i(u))=\sum_{i=1}^n\Pi(\frac{\pa
a^i}{\pa u^j}r_i+a^i\frac{\pa r^i}{\pa u_j}) = \sum_{i=1}^n\frac{\pa a^i}{\pa
u^j}\Pi(r_i)+ a^i\Pi(\frac{\pa^2 r}{\pa u^i\pa u_j}).
 $$
Поскольку векторы $r_i$ и так касаются поверхности, $\Pi(r_i)=r_i$ и
формула приобретает вид
$$
\n_ja= \sum_{i=1}^n\Bigl(\frac{\pa a^i}{\pa u^j}r_i+
a^i\Pi(\frac{\pa^2 r}{\pa u^i\pa u_j})\Bigr).
\tag 1
$$
Таким образом, для нахождения ковариантной производной надо вычислить
векторы $\Pi(\frac{\pa^2 r}{\pa u^i\pa u_j})$. Эти векторы не зависят от
поля $a(P)$ и определяются только поверхностью; каждый из них можно
разложить по базису $r_1,\dots,r_n$ в касательной плоскости. Найдем
коэффициенты такого разложения.
 \proclaim {Теорема }
Имеют место равенства
 $$
\Pi(\frac{\pa ^2r}{\pa u^i\pa u^j})=\sum_{k=1}^n\G^k_{ij}r_k,
\tag 2
 $$
где коэффициенты $\G^k_{ij}$ имеют вид
 $$
\G_{ij}^k=\sum_{m=1}^n\frac12g^{km}(\frac{\pa g_{mi}}{\pa u^j}
+\frac{\pa g_{jm}}{\pa u^i}
-\frac{\pa g_{ij}}{\pa u^m}).
\tag 3
 $$
Здесь $g_{ij}$ - коэффициенты первой квадратичной формы поверхности,
$g^{ij}$ - элементы матрицы, обратной к $g_{ij}$.
 \endproclaim
 \definition {Определение}
Коэффициенты $\G^i_{jk}$, определенные формулами (2), (3), называются
символами Кристоффеля (иногда употребляют термин ``символы Кристоффеля 2
рода'') или коэффициентами связности.
 \enddefinition
 \proof
Для упрощения дальнейших формул введем обозначения $r_{ij}=
\frac{\pa ^2r}{\pa u^i\pa u^j}$. Разложим эти векторы на касательную и
нормальную к поверхности составляющие; касательную составляющую, в свою
очередь, разложим по базису $r_1,\dots,r_n$.  Получим
 $$
r_{ij}=\sum_{s=1}^n\G^s_{ij}r_s+m_{ij},\quad (r_k,m_{ij})=0,
\tag 4
 $$
где $\G^s_{ij}$ - некоторые (пока неопределенные) коэффициенты. Для
их вычисления умножим равенства (4) скалярно на вектор $r_m$. Учитывая,
что $(r_m,n_{ij})=0$, получим
 $$
\G_{ij,m}\overset{def}\to=(r_m,r_{ij})=\G^s_{ij}(r_s,r_m)=g_{sm}\G^s_{ij}.
\tag 5
 $$
Вычислим сперва коэффициенты $\G_{ij,m}$. Для этого продифференцируем по
$u^m$ равенство $g_{ij}=(r_i,r_j)$. Получим
 $$
\frac{\pa g_{ij}}{\pa u^m}=(r_i,r_{jm})+(r_{im},r_j)=\G_{jm,i}+\G_{im,j}.
\tag 6
 $$
Последние равенства выполнены для всех значений индексов $i,j,m$ (каждый
из них меняется от единицы до $n$). Поэтому в них можно циклически
переставить эти индексы, т.е. заменить в (6) $i$ на $j$, $j$ на $m$ и $m$
на $j$. В результате получим
 $$
\frac{\pa g_{jm}}{\pa u^i}=\G_{mi,j}+\G_{ji,m}.
\tag 7
 $$
Повторяя эту операцию еще раз, получим
 $$
\frac{\pa g_{mi}}{\pa u^j}=\G_{ij,m}+\G_{mj,i}.
\tag 8
 $$
Сложим теперь равенства (7) и (8) и вычтем из полученной суммы (6).
Учитывая, что $r_{ij}=r_{ji}$ (теорема о равенстве смешанных частных
производных) и потому для всех значений индексов
$\G_{ij,m}=\G_{ji,m}$,
получим в результате
 $$
\frac{\pa g_{jm}}{\pa
u^i}+\frac{\pa g_{mi}}{\pa u^j}-\frac{\pa g_{ij}}{\pa u^m}=2\G_{ij,m}.
\tag 9
 $$
Поделим это равенство на 2 и подставим в формулу (5). Умножив полученное
равенство на элемент $g^{km}$ обратной к $g_{km}$ матрицы и просуммировав
по $m$ от единицы до $n$, получим требуемые формулы (3).
 \endproof
 \Remark {Замечание 1}
Формулы (1) для ковариантных производных можно теперь переписать в виде
 $$
\n_ia=\sum_{k=1}^n(\frac{\pa a^k}{\pa u^i}+\sum_{j=1}^n\G^k_{ij}a^j)r_k,
\tag 10
 $$
а производная вдоль касательного вектора $b=(b^1,\dots,b^n)$ примет вид
 $$
\n_ba=\sum_{i,k=1}^n(\frac{\pa a^k}{\pa
u^i}+\sum_{j=1}^n\G^k_{ij}a^j)b^ir_k.  \tag 11
 $$
 \endRemark
 \Remark {Замечание 2}
Очевидно, символы Кристоффеля симметричны по нижним индексам:
$\G^k_{ij}=\G^k_{ji}$. Таким образом, набор этих символов - это
$n^2(n+1)/2$ гладких функций от $u$.
 \endRemark
 \Remark {Замечание 3}
Функции $\G_{ij,m}$, определенные формулами (5) и вычисляемые по формулам
(9), называют иногда {\it символами Кристоффеля первого рода}.
 \endRemark


 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \subhead 3. Параллельный перенос касательных векторов \endsubhead
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Займемся теперь вопросом о правильном определении параллельного
перенесения касательных векторов на поверхности. Возникающая здесь
трудность, как уже указывалось в начале предыдущего параграфа, аналогична
трудности, возникающей при попытке продифференцировать касательный вектор
--- параллельный перенос в объемлющем пространстве ``не уважает''
поверхности (касательный вектор в результате переноса перестает быть
таковым). Как мы сейчас увидим, эта трудность может быть преодолена при
помощи уже введенного нами понятия ковариантной производной.

Пусть $P$ и $Q$ --- точки на поверхности, и $a$ - касательный вектор в
точке $P$. Рассмотрим сперва в качестве нашей поверхности евклидово
пространство.  Тогда параллельный перенос вектора $a$ из точки $P$ в $Q$
--- это построение в точке $Q$ вектора, в точности такого же, как $a$.
Эту процедуру можно себе представлять следующим образом.  Соединим точки
$P$ и $Q$ произвольной гладкой кривой $\g$ и построим в каждой точке этой
кривой вектор, равный $a$; другими словами, определим семейство векторов
$a(t)$ ($t$ - параметр на кривой), такое, что $da(t)/dt=0$.  Тогда
вектор этого семейства, торчащий в точке $Q$, и будет результатом
параллельного переноса вектора $a$ из $P$ в $Q$. Теперь определим
аналогичную конструкцию на произвольной поверхности. Соединим точки $P$ и
$Q$ гладкой кривой $\g$; пусть эти точки отвечают значениям $t_1$ и $t_2$
параметра $t$. Определим семейство $a(t)$ касательных к поверхности в
точках кривой $\g$ векторов так, чтобы их можно было считать одинаковыми;
для этого потребуем, чтобы {\it ковариантная} производная векторов этого
семейства вдоль кривой равнялась нулю.
 \definition {Определение}
Гладкое семейство $a(t)$ касательных к поверхности в точках кривой
$\g$ векторов называется параллельным вдоль $\g$, если
$$
\n_\g a=\n_va=0
\tag 12
$$
(здесь $v$ - вектор скорости кривой $\g$).
 \enddefinition
Запишем условие параллельности в координатах. Пусть кривая $\g$ задана
уравнениями $u^i=u^i(t)$; тогда ее вектор скорости имеет вид $(du^1/dt,\dots, du^n/dt)$. Любое семейство касательных векторов имеет вид
$(a^1(t),\dots,a^n(t))$; согласно формулам (10)-(11) и определению
ковариантной производной от семейства векторов, условие параллельности
(12) запишется в виде
 $$
\frac{da^i}{dt}+\sum_{j,k=1}^n\G^i_{jk}(u^1(t),\dots,u^n(t))a^j(t)\frac{du^k}{dt}=0.
\tag 13
 $$
Равенства (12), (13) называются {\it уравнениями параллельного переноса
вдоль кривой $\g$}.

Определим теперь процедуру параллельного перенесения. Пусть в точке $P$
задан касательный вектор $a=(a^1_0,\dots,a^n_0)$. Найдем семейство
векторов, параллельное вдоль кривой $\g$ и совпадающее в точке $P$ с
вектором $a$.  Для этого надо решить систему (13) из $n$ линейных
дифференциальных уравнений первого порядка с начальными условиями
$a^1(t_1)=a^1_0,\dots, a^n(t_1)=a^n_0$. Теорема существования и
единственности решения задачи Коши для систем обыкновенных
дифференциальных уравнений гарантирует, что такое семейство существует и
единственно. Рассмотрим вектор этого семейства в точке $Q$; это и есть
{\it результат параллельного переноса вектора $a$ из точки $P$ в точку $Q$
вдоль кривой $\g$.}
 \Remark {Замечание 1 (очень важное!)}
Результат параллельного переноса на поверхности зависит, вообще говоря, от
того, вдоль какой кривой этот перенос осуществляется. Другими словами, для
двух данных точек $P,Q$ и данного касательного в точке $P$ вектора $a$
может существовать много векторов, получающихся из $a$ в результате
параллельного переноса в точку $Q$; каждый их них соответствует некоторой
кривой $\g$, соединяющей эти две точки. В частности, если $P=Q$, то,
перенося вектор $a$ вдоль какой-либо замкнутой кривой, мы получим, вообще
говоря, {\it другой вектор}, касающийся поверхности в той же точке. Таким
образом, для каждой замкнутой кривой, начинающейся и
заканчивающейся в точке $P$, возникает отображение $A:T_PM\to T_PM$
касательного пространства $T_PM$ к поверхности в себя, определенное
параллельным перенесением вдоль этой кривой. Это отображение --- линейный
оператор (проверьте!); он называется {\it оператором голономии},
соответствующим данной кривой.
 \endRemark
 \proclaim {Задача}
Найти оператор голономии, соответствующий параллели широты $\a$ на
единичной сфере.
 \endproclaim
 \proclaim {Ответ}
Это оператор поворота на угол $2\pi\op{sin}\a$.
 \endproclaim
\Remark {Замечание 2}
Использование ковариантных производных при определении параллельного
перенесения неизбежно: если определить параллельное семейство векторов,
как семейство с нулевой производной $da/dt$, то, как правило семейств
касательных векторов, параллельных вдоль кривых, не будет существовать.
Действительно, равенство $da/dt=0$ - это {\it $n$} уравнений на {\it $N$}
координат $(a^1(t),\dots,a^n(t)$ касательного вектора. Это обстоятельство
фактически уже обсуждалось в начале предыдущего параграфа - геометрически
оно означает, что параллельный перенос в трехмерном пространстве
``выталкивает'' вектор из касательного пространства к поверхности.
 \endRemark

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \subhead 4. Свойства параллельного переноса \endsubhead
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Пусть $P,Q$ --- точки на поверхности $M$, $T_PM,T_QM$ --- соответствующие
касательные плоскости, $\g$ --- гладкая кривая на $M$,
соединяющая $P$ с $Q$.

 \proclaim {Теорема }
Параллельный перенос вдоль $\g$ из $P$ в $Q$ --- линейный ортогональный
оператор, действующий из $T_PM$ в $T_QM$.
 \endproclaim
 \proof
Линейность оператора параллельного перенесения очевидна:
если $a(t),a^\prime(t)$ - семейства векторов, параллельные вдоль $\g$, то
семейство $ca(t)+c^\prime a^\prime(t)$ ($c,c^\prime$- числа) также
параллельно (докажите!). Чтобы доказать его ортогональность, надо
проверить, что параллельный перенос не меняет скалярного произведения
векторов. Для этого рассмотрим параллельные семейства $a(t),a^\prime(t)$;
их скалярное произведение $f(t)= (a(t),a^\prime(t))$ - дифференцируемая
функция одной переменной $t$. Вычислим ее производную. Используя свойства
ковариантной производной (см. предложение из п. 1), получим
 $$
\frac{df}{dt}=(\n_ba,a^\prime)+(a,\n_ba^\prime),
 $$
где $b$ - касательный вектор к кривой $\g$. Из параллельности
рассматриваемых семейств следует, что оба слагаемых в правой части равны
нулю. Поэтому функция $f$ не зависит от $t$; в частности, она одинакова в
точках, соответствующих $P$ и $Q$. Это и означает, что скалярное
произведение сохраняется при параллельном переносе.
 \endproof
 \proclaim {Следствие }
 При параллельном переносе сохраняются длины векторов и углы между
векторами.
 \endproclaim

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \subhead 5. Геодезические \endsubhead
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  Понятие ковариантной производной (или параллельного перенесения)
позволяет определить на поверхности линии, аналогичные прямым на плоскости
(или в трехмерном пространстве).  Действительно, прямые --- это в точности
те кривые на плоскости, ускорение которых равно нулю, если параметр
натуральный.  Другими словами, они обладают следующим свойством:  их
вектор скорости параллелен вдоль них (параллельно перенося касательный
вектор к прямой вдоль нее, мы все время будем получать касательный
к ней вектор).

\definition {Определение}
Кривая $\g$ на поверхности называется геодезической, если ее
ковариантное ускорение равно нулю (другими словами, равна нулю
геодезическая кривизна), т.е.  единичный вектор скорости $v$ параллелен
вдоль нее:  $\n_vv=0$.
 \enddefinition
Выпишем уравнения, которым должны удовлетворять геодезические в
координатах $u^1,\dots,u^n$ на поверхности. Если уравнения этой кривой
$u^i=u^i(s)$ ($s$ - натуральный параметр), то, подставляя в уравнения
параллельного переноса (13) в качестве $a^i$ компоненты $\dot u^i$ вектора
скорости, получим {\it уравнения геодезических}
 $$
\dd u^i+\sum_{j,k=1}^n\G^i_{jk}(u^1(s),u^2(s))\dot u^j\dot u^k=0.
\tag 14
 $$
 \Remark {Замечание 1}
Уравнения геодезических (14) представляют собой систему из $n$ нелинейных
дифференциальных уравнений второго порядка на $n$ неизвестных функций
$u^1(s),\dots,u^n(s)$.  Из теоремы существования и единственности решения
задачи Коши для таких уравнений следует, что локально (т.е. при достаточно
малых $s$) эта система имеет единственное решение, удовлетворяющее
начальным условиям
 $$
u^i(0)=Q^i,\quad\dot u^i(0)=a^i,\quad i=1,\dots,n.
 $$
Задание таких условий эквивалентно заданию начальной точки
$Q=(Q^1,\dots,Q^n)$ и начального вектора скорости $a=(a^1,\dots,a^n)$
нашей кривой.  Таким образом, мы получаем следующий вывод: {\it через
каждую точку поверхности в каждом направлении проходит ровно одна
геодезическая}.
 \endRemark

 \Remark {Замечание 2}
Рассматривая кривую на поверхности как пространственную и используя
определение ковариантной производной, условие параллельности касательного
вектора вдоль кривой можно переформулировать так: проекция вектора
ускорения этой кривой в натуральном параметре на касательную плоскость к
поверхности равно нулю. Другими словами, геодезические --- это ровно те
кривые {\it вектор главной нормали к которым в каждой точке
перпендикулярен поверхности}.
 \endRemark

 \Remark {Замечание 3}
Пусть две $n$-мерные поверхности $M$ и $Q$ касаются друг друга вдоль общей
кривой $\g$, т.е. в любой точке $\g(t)$ этой кривой касательные
пространства к поверхностям совпадают: $T_{\g(t)}M=T_{\g(t)}Q$. Тогда,
очевидно ковариантная производная вдоль $\g$ от любого семейства
касательных векторов на поверхности $M$ совпадает с ковариантной
производной от того же семейства на поверхности $Q$. Поэтому параллельный
перенос вдоль этой кривой на поверхностях $M$ и $Q$ --- одно и то же: любое
семейство векторов, параллельное вдоль $\g$ на $M$, параллельно и на $Q$.
По той же причине $\g$ --- геодезическая на $M$ тогда и только тогда,
когда она является геодезической на $Q$. Этими свойствами удобно
пользоваться при практическом вычислении параллельного переноса: иногда
бывает возможно подобрать достаточно простую поверхность, касающуюся данной
в точках кривой, вдоль которой надо перенести касательный вектор. В этом
случае его можно переносить на этой простой поверхности.
 \endRemark

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \head Задачи \endhead
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

1. Найти символы Кристоффеля

a) на сфере

b) на эллипсоиде

с) на конусе

d) на катеноиде $x=a\op{ch}(u/a)\op{cos}v, x=a\op{ch}(u/a)\op{sin}v, z=u$

e) на геликоиде $x=u\op{cos}v, y=u\op{sin}v, z=av$.
\newline\newline
2. На какой угол повернется вектор при параллельном переносе вдоль

a) замкнутой кривой на цилиндре

b) замкнутой кривой на конусе

c) параллели на сфере

d) треугольника на сфере, состоящего из двух отрезков меридианов и части
экватора

e) треугольника на сфере, состоящего из двух отрезков меридианов и части
параллели?
\newline\newline
3. Параллельно перенести вектор вдоль параллели на поверхности вращения.
\newline\newline
4. Параллельно перенести вектор вдоль пространственной кривой на
поверхности, образованной главными нормалями (бинормалями) к этой кривой.
5. Найти геодезические

a) на евклидовой плоскости

b) на сфере

с) на конусе

d) на цилиндрической поверхности

e) на плоскости Лобачевского

f) на $R^2-\{0\}$ с метрикой $ds^2=(dx^2+dy^2)/(x^2+y^2)^2$.

6. Будет ли геодезической на поверхности вращения

a) параллель

b) меридиан?

7. Для геодезических на поверхности вращения доказать теорему Клеро:
$\rho\op{cos}\mu=\op{const.}$, где $\rho$ - расстояние от точки
геодезической до оси вращения, $\mu$ - угол  между геодезической и
параллелью.

8. Исследовать поведение геодезических

а) на эллипсоиде вращения

b) на однополостном гиперболоиде вращения

с) на торе вращения.

9. Доказать, что геодезические на поверхности с лиувиллевой метрикой
$ds^2=(f(x)+\f(y))(dx^2+dy^2)$ задаются уравнениями
 $$
\int\frac{dx}{\sqrt{f(x}+a}=\pm\int\frac{dy}{\sqrt{\f(y)-a}} +b.
 $$

\enddocument
