%#AMSTEX#R# - MultiEdit label should be on the 1st line in the file
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Утверждения %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\def\Remark#1{\remark{#1}}
\def\endRemark{\endremark\medskip}
\def\proof{\demo{Доказательство}}
\def\endproof{$\square$\enddemo}
\def\Proof#1{\demo{Доказательство\ #1}}
\def\endProof{$\square$\enddemo}


 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Рисунки %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Как использовать:
%  \Pic{new01}{Это --- первый рисунок}{fig:f}
%  \BigPic{new02}{new03}{Это --- еще один, но большой, рисунок}{fig:b}
%      new01,new02,new03 - имена pcx-файлов, без расширения

%% these are for 240DPI
%\newdimen\pcxht    \pcxht 55mm
%\newdimen\pcxwd    \pcxwd 67mm
%\newdimen\spcxwd   \spcxwd\textwidth
%\advance\spcxwd by -\pcxwd

%% these are for 300DPI mag = 1200
\newdimen\pcxht    \pcxht 33mm
\newdimen\pcxwd    \pcxwd 45mm
\newdimen\spcxwd   \spcxwd\pcxwd

%% these are for 300DPI mag = 1000
%\newdimen\pcxht    \pcxht 40mm
%\newdimen\pcxwd    \pcxwd 54mm
%\newdimen\spcxwd   \spcxwd\pcxwd


 \def\Pic#1#2{
   \midinsert
     \noindent
     \hbox to \hsize{\hfill
       \hbox to \pcxwd {\special{em:graph #1.pcx}\hfil}
     \hfill}
     \vskip\pcxht
     \centerline{#2}
  \endinsert
 }

 \def\BigPic#1#2#3{
   \midinsert
     \noindent
     \hbox to \hsize{\hfill
       %\hbox to \shiftwd {}
       \hbox to \pcxwd {\special{em:graph #1.pcx}\hfil}\!%
       \hbox to \spcxwd{\special{em:graph #2.pcx}\hfil}
     \hfill}
     \vskip\pcxht
     \centerline{#3}
  \endinsert
 }



\def\sh{\operatorname{sh}}
\def\ch{\operatorname{ch}}
\def\a{\alpha}
\def\b{\beta}
\def\g{\gamma}
\def\e{\varepsilon}
\def\f{\varphi}
\def\op{\operatorname}
\def\o{\overset{1}\to}
\def\oo{\overset{2}\to}
\def\d{\delta}
\def\s{\sigma}
\def\t{\tau}
\def\w{\widetilde}
\def\ss{\operatorname{sgn}}
\def\L{\Lambda}
\def\l{\lambda}
\def\om{\omega}
\def\Om{\Omega}
\def\De{\Delta}
\def\pa{\partial}
\def\dd{\overset{..}\to}
\def\pa{\partial}
\def\n{\nabla}
\def\G{\Gamma}
\def\M{\Cal M}
\def\th{\theta}

\NoBlackBoxes
\NoRunningHeads
\TagsOnRight



\document

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \head Лекция 8. Геометрия на сфере. \endhead
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Ниже мы рассмотрим простейшие примеры неевклидовых
геометрий. Такие геометрии возникают, например, на поверхностях в
трехмерном пространстве: зная первую квадратичную форму поверхности, можно
находить на ней аналоги прямых --- геодезические, строить из них
треугольники и многоугольники, доказывать различные геометрические
теоремы. Если поверхность ``общая'' (т.е. не обладает никакими
специальными свойствами), геометрия на ней может быть устроена достаточно
сложно --- например, ``простейшая'' задача о нахождении геодезических (т.е.
об описании движения по инерции) на таких поверхностях бывает в некотором
смысле безнадежно трудной. Поэтому мы подробно рассмотрим геометрию на
простейших, наиболее симметричных поверхностях. Первая
из них --- сфера в евклидовом пространстве. Геометрия на сфере имеет самое
непосредственное отношение к человеческой деятельности --- ведь
поверхность Земли (в некотором приближении) можно считать сферой. Поэтому
сферическая геометрия активно используется в географии, геологии,
геофизике, а также и в чисто практических областях --- например, при
составлении маршрутов кораблей или самолетов.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \subhead 1. Метрика сферы \endsubhead
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Сфера радиуса $R$ с центром в начале координат задается в трехмерном
пространстве уравнением $x^2+y^2+z^2=R^2$. Для работы с первой
квадратичной формой удобно иметь параметрические уравнения сферы; они
имеют следующий вид
 $$
\aligned
&x=R\op{cos}\th\op{cos}\f\\
&y=R\op{cos}\th\op{sin}\f\\
&z=R\op{sin}\th,
\endaligned
\tag 1
$$
где параметры $\th,\f$ - широта и долгота соответственно. Параметр $\th$
меняется на интервале $(-\pi/2,\pi/2)$, параметр $\f$ - на интервале
$(0,2\pi)$. При таком изменении параметров выписанные параметрические
уравнения задают всю сферу, кроме меридиана $\f=0$. Ясно, что те
же уравнения, в которых параметр $\f$ меняется на другом интервале
(например, $(-\pi,\pi)$) зададут область на сфере, включающую почти всю эту
дугу --- точнее, всю, кроме полюсов сферы, т.е. точек $x=y=0,z=\pm R$.
Полюса, конечно, тоже можно включить в область, задаваемую
параметрическими уравнениями --- для этого достаточно, например, поменять в
(1) местами $z$ и $y$. Найдем первую квадратичную форму сферы.
Элементарные вычисления дают для нее следующее выражение
 $$
G=\pmatrix R^2&0\\0&R^2\op{cos}^2\th\endpmatrix
 $$
(здесь роль первой координаты $u^1$ играет широта $\th$, а роль второй
$u^2$ - долгота $\f$).

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \subhead 2. Геодезические и изометрии \endsubhead
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Аналог прямых на сфере --- геодезические --- находятся очень просто.

 \definition {Определение}
Большим кругом на сфере называется окружность, получающаяся при
пересечении сферы плоскостью, проходящей через начало координат (т.е.
через центр сферы).
 \enddefinition
 \proclaim {Утверждение }
Геодезическими на сфере являются дуги больших кругов и только они.
\endproclaim
 \proof
Докажем сперва, что любой большой круг --- геодезическая.
Для этого достаточно заметить, что его вектор ускорения направлен к
центру сферы, т.е. ортогонален касательной плоскости.  То, что других
геодезических, кроме дуг больших кругов, нет --- очевидно:  через каждую
точку в каждом направлении проходит большой круг.
 \endproof

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \subsubhead  Свойства геодезических \endsubsubhead
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Прямые на плоскости обладают следующими свойствами: через любые две
различные точки проходит ровно одна прямая; через каждую точку, не лежащую
на данной прямой, проходит ровно одна прямая, параллельная данной (т.е. не
пересекающаяся с ней); длина любой прямой бесконечна. На сфере все эти
свойства нарушаются: через диаметрально противоположные точки сферы
проходит бесконечно много геодезических (меридианы); параллельных
геодезических вообще не бывает; все геодезические замкнуты; длина каждой
геодезической конечна и равна $2\pi R$.


Найдем теперь изометрии сферы.

Заметим сперва, что поворот  трехмерного  пространства вокруг любой
оси, проходящей через начало координат, оставляет сферу на месте, т.е.
определяет ее отображение в себя. Это отображение, конечно, изометрия ---
при вращениях  сохраняются скалярные произведения любых трехмерных
векторов, в частности, и векторов, касающихся сферы. Тем же свойством
обладает симметрия (отражение) относительно любой плоскости, проходящей
через начало координат. Таким образом, мы получили широкий запас
изометрий сферы в себя --- это повороты и отражения, а также все их
композиции.

 \proclaim {Задача 1}
Рассмотрим отображение сферы в себя, называемое {\it антиподальным}:
точка с радиус-вектором $\xi$ переходит в диаметрально противоположную
ей точку $-\xi$. Доказать, что это отображение --- изометрия, и представить
его в виде композиции поворотов и отражений.
 \endproclaim

\proclaim {Задача 2}
Доказать, что все изометрии сферы исчерпываются приведенными; другими
словами, установить, что группа изометрий сферы изоморфна $O(3)$ ---
группе ортогональных $3\times 3$--матриц.
 \endproclaim

 \Remark {Замечание }
Наличие большого запаса изометрий связано с тем, что сфера очень
``симметрична''. Именно этот факт позволяет эффективно исследовать ее
геометрию.
 \endRemark

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \subhead 3. Расстояние \endsubhead
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Расстояние между двумя точками на плоскости --- это длина отрезка прямой,
соединяющей эти две точки. Естественно поэтому определить расстояние между
точками на поверхности как длину соответствующей геодезической. При этом
надо иметь в виду, что через две точки поверхности может проходить
несколько разных геодезических (на сфере это именно так). Расстояние ---
это длина кратчайшей, т.е. минимальное время, за которое можно, двигаясь с
единичной скоростью, добраться от одной точки поверхности до другой.

\definition {Определение} Расстоянием между
двумя точками на сфере называется длина кратчайшей дуги геодезической,
соединяющей эти две точки.
 \enddefinition
 \Remark {Замечание 1}
Возможны два разных случая. 1). Рассматриваемые точки не лежат на одном
диаметре сферы; тогда их соединяют две дуги геодезической (пересечение
сферы плоскостью, проходящей через эти точки и центр сферы), причем длины
этих двух дуг различны и расстояние --- это длина более короткой дуги. 2).
Рассматриваемые точки диаметрально противоположны; тогда их соединяет
бесконечно много дуг геодезических, но все эти дуги имеют одинаковую длину
$\pi R$ (половина длины экватора).
 \endRemark
 \Remark {Замечание 2}
Расстояние между точками поверхности можно определить как точную нижнюю
грань длин дуг всевозможных гладких кривых, соединяющих эти точки. Тогда
предыдущее определение превращается в теорему: минимум длины реализуется
на геодезических.
 \endRemark
 \proclaim {Задача}
Доказать эту теорему для сферы.
 \endproclaim
Выпишем явную формулу для расстояния между двумя точками на сфере. Пусть
$\xi,\eta$ --- радиус-векторы этих точек; расстояние --- это длина
дуги окружности радиуса $R$, заключенной между этими векторами. Таким
образом, расстояние $\rho$ находится по формуле $\rho=R\a$, где $\a$ ---
угол между векторами $\xi$ и $\eta$. Вспоминая, что
$(\xi,\eta)=|\xi||\eta|\op{cos}\a$ и $|\xi|=|\eta|=R$, получим для
расстояния формулу
$$
R^2\op{cos}(\rho/R)=(\xi,\eta).
$$
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \subhead 4.  Окружности\endsubhead
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Окружности в любой геометрии определяются точно так же, как на плоскости.
 \definition {Определение}
Окружностью с центром в точке $P$ радиуса $a$ на сфере называется множество
точек сферы, находящихся от $P$ на расстоянии $a$.
 \enddefinition
Очевидно, окружностями на сфере являются обычные евклидовы окружности,
т.е. пересечения сферы с плоскостями (параллели). Центр такой окружности
лежит на пересечении сферы с прямой, проходящей через центр сферы
перпендикулярно плоскости окружности (см. рис. 4). Отметим, что у каждой
окружности два центра --- диаметрально противоположные точки
сферы --- и два радиуса; кроме того, большой круг на сфере --- это
одновременно и окружность и геодезическая, т.е.  аналог прямой (очевидно,
оба радиуса такой окружности равны $\pi R/2$)!
 % \Pic{file_name}{caption}
\Pic{fig4}{Рис. 4}
Получим общую формулу, выражающую длину окружности через ее радиус
(напомним, что на плоскости отношение длины окружности к радиусу равно
$2\pi$). Пусть $\xi$ --- радиус-вектор центра окружности, $\eta$ ---
радиус-вектор произвольной точки, лежащей на ней, а $b$ --- ее евклидов
радиус (см. рис. 4). Тогда длина окружности $l=2\pi b$; с другой стороны,
$b=R\op{sin}\a$ ($\a$ --- угол между векторами $\xi$ и $\eta$) и
радиус окружности $a=R\a$. Исключая из этих равенств $\a$ и $b$, получим
формулу, связывающую длину сферической окружности с ее радиусом
 $$
l=2\pi R\op{sin}(\frac{a}{R}).
 $$
Заметим, что, если $a/R$ очень мало, то $\op{sin}(a/R)$ близко к $a/R$ и
в пределе получаем евклидову формулу
$$
\op{lim}_{(a/R)\to 0}\frac{l(a)}{a}=2\pi.
$$
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \subhead 5. Треугольники \endsubhead
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Рассмотрим на сфере три точки $A,B,C$, не лежащие на одной геодезической.
Соединим их попарно кратчайшими дугами больших кругов; в результате
получится фигура, называемая {\it сферическим треугольником}. Длины его
сторон обозначим через $a,b,c$, а величины углов - через $\a,\b,\g$ (рис.
5).
 % \Pic{file_name}{caption}
\Pic{fig5}{Рис. 5}
В сферической геометрии действуют другие формулы ``решения
треугольников'', чем в евклидовой; сейчас мы выведем эти формулы.

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \subsubhead Теорема косинусов \endsubsubhead
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Выразим длину стороны $a$ через длины сторон $b,c$ и угол между этими
сторонами.
 \proclaim {Предложение }
 Имеет место формула
 $$
\op{cos}\frac{a}{R}=\op{cos}\frac{b}{R}\op{cos}\frac{c}{R}+\op{sin}\frac{b}{R}\op{sin}\frac{c}{R}\op{cos}\a.
 $$
 \endproclaim
 \proof
Пусть $\xi_1,\xi_2,\xi_3$ --- радиус-векторы вершин $A,B,C$ треугольника
соответственно. Через $\eta,\zeta$ обозначим
касательные векторы к сторонам $b,c$ треугольника в точке $A$. Очевидно,
 $$
\op{cos}\a=\frac{(\eta,\zeta)}{|\eta||\zeta|}.
 $$
Вектор $\eta$ касается большого круга, проходящего через центр
сферы и точки $A,B$, поэтому он лежит в плоскости векторов $\xi_1,\xi_2$:
$\eta=\xi_2+\l\xi_1$, где $\l$ --- некоторое число. Чтобы найти его,
умножим предыдущее равенство скалярно на $\xi_1$; получим
$$
(\xi_1,\eta)=(\xi_1,\xi_2)+\l(\xi_1,\xi_1).
$$
Левая часть равенства равна нулю: вектор $\xi_1$ - радиус сферы,
проведенный в точку $A$, а $\eta$ касается сферы в этой точке.
Скалярное произведение $(\xi_1,\xi_2)$ выражается через расстояние между
точками $A$ и $B$, т.е. через сторону $c$ треугольника (см. п. 3):
$(\xi_1,\xi_2)=R^2\op{cos}(c/R)$; наконец $(\xi_1,\xi_1)=R^2$. Отсюда
находим $\l$  и $\eta$:
 $$
\l=-\op{cos}\frac{c}{R},\quad \eta=\xi_2-\xi_1\op{cos}\frac{c}{R}.
 $$
Аналогично получаем
 $$
\zeta=\xi_3-\xi_1\op{cos}\frac{b}{R}.
 $$
Вычисляя скалярные произведения этих векторов и подставляя в формулу для
косинуса $\a$, получим
 $$
\op{cos}\a=\frac{\op{cos}\a-\op{cos}\b\op{cos}\g}{\op{sin}\b\op{sin}\g},
 $$
откуда немедленно следует требуемое равенство.
\endproof
 \proclaim {Следствие (теорема Пифагора)}
Пусть треугольник $ABC$ прямоугольный, т.е. $\a=\pi/2$. Тогда
 $$
\op{cos}\frac{a}{R}=\op{cos}\frac{b}{R}\op{cos}\frac{c}{R}.
 $$
 \endproclaim
 \proclaim {Задача}
Доказать, что при малых длинах сторон сферическая теорема косинусов
переходит в евклидову; другими словами, если
$a=a_1\e,b=b_1\e,c=c_1\e,\quad \e\to 0$, то
 $$
a_1^2=b_1^2+c_1^2-2b_1c_1\op{cos}\a_0+O(\e),
 $$
где $\a_0=\op{lim}_{\e\to 0}\a$.
 \endproclaim

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \subsubhead Теорема синусов \endsubsubhead
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \proclaim {Предложение }
 Имеет место равенство
 $$
\frac{\op{sin}\a}{\op{sin}(a/R)}=\frac{\op{sin}\b}{\op{sin}(b/R)}=\frac{\op{sin}\g}{\op{sin}(c/R)}.
 $$
 \endproclaim
 \proof
Рассмотрим выражение $\op{sin}\a/\op{sin}{(a/R)}$ и выразим $\op{sin}\a$
из теоремы косинусов. Получим
 $$
\aligned
&\frac{\op{sin}\a}{\op{sin}(a/R)}=\\
&=\frac{\sqrt{\op{sin}^2(b/R)\op{sin}^2(c/R)-\op{cos}^2(a/R)-\op{cos}^2(b/R)\op{cos}^2(c/R)+
2\op{cos}(a/R)\op{cos}(b/R)\op{cos}(c/R)}}{\op{sin}(a/R)\op{sin}(b/R)\op{sin}(c/R)}.
\endaligned
 $$
Выражая в числителе синусы через косинусы, получим
 $$
\aligned
&\frac{\op{sin}\a}{\op{sin}(a/R)}=\\
&=\frac{\sqrt{1-\op{cos}^2(a/R)-\op{cos}^2(b/R)-\op{cos}^2(c/R)+2\op{cos}(a/R)\op{cos}(b/R)\op{cos}(c/R)}}{\op{sin}(a/R)\op{sin}(b/R)\op{sin}(c/R)}.
\endaligned
$$
Последнее выражение симметрично по $a,b,c$.
 \endproof
 \Remark {Замечание}
При малых $a,b,c$ приведенное равенство переходит в евклидову теорему
синусов.
 \endRemark
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \subsubhead Двойственная теорема косинусов \endsubsubhead
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Приведенные выше формулы были естественными аналогами соответствующих
формул евклидовой геометрии (хотя и отличались от них ``количественно'').
Однако в сферической геометрии существуют утверждения, не имеющие аналогов
в евклидовом случае. Одно из важнейших --- выражение для стороны
треугольника через его углы.
 \proclaim {Предложение (двойственная теорема косинусов)}
Имеет место равенство
 $$
\op{cos}\a=-\op{cos}\b\op{cos}\g+\op{sin}\b\op{sin}\g\op{cos}\frac{a}{R}.
 $$
 \endproclaim
 \proof
Приведенное утверждение можно получить из теоремы косинусов
чисто алгебраическими выкладками. Однако мы приведем другое
доказательство, использующее еще одно специфическое для сферы понятие ---
полярных треугольников. Рассмотрим треугольник $ABC$ и построим другой
треугольник $A^\prime B^\prime C^\prime$ следующим образом. Проведем через
вершины $B,C$ и центр сферы плоскость $\mu$ и через $A^\prime$ обозначим
ту точку пересечения сферы с прямой, проходящей через центр сферы
перпендикулярно $\mu$, которая лежит в той же полусфере, отсекаемой этой
плоскостью, что и $A$. Аналогично построим вершины $B^\prime,C^\prime$.
Если через $\xi_1,\xi_2,\xi_3$ обозначить радиус-векторы вершин
$A,B,C$, а через $\xi_1,^\prime,\xi_2^\prime,\xi_3^\prime$ -
радиус-векторы вершин $A^\prime,B^\prime,C^\prime$, то полярный
треугольник определяется равенствами
 $$
(\xi_i,\xi^\prime_i)>0,\quad (\xi_i,\xi^\prime_j)=0,\quad i\neq j.
 $$
Отсюда немедленно следует, что соотношение полярности взаимно (т.е.
треугольник $ABC$ полярен к $A^\prime B^\prime C^\prime$).  Покажем, что углы и стороны полярных
треугольников связаны равенствами
 $$
\a+\frac{a^\prime}{R}=\b+\frac{b^\prime}{R}=\g+\frac{c^\prime}{R}=\pi.
 $$
Действительно, $a^\prime/R$ - это угол между векторами $\xi^\prime_2$ и
$\xi^\prime_3$, который равен разности между $\pi$ и углом между
ортогональными этим векторам плоскостями $(O,\xi_1,\xi_3)$ и
$(O,\xi_1,\xi_2)$. С другой стороны, угол между этими плоскостями,
очевидно, равен $\a$.  Из приведенного равенства и теоремы косинусов,
записанной для полярного треугольника $A^\prime,B^\prime,C^\prime$,
немедленно следует двойственная теорема косинусов.
 \endproof
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \subsubhead Признаки равенства треугольников \endsubsubhead
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Назовем два сферических треугольника равными, если их можно перевести один
в другой изометрией сферы.  Подобно евклидовой теории, из теоремы
косинусов следуют признаки равенства треугольников ``по трем сторонам'',
по ``двум сторонам и углу между ними'' и ``по стороне и двум прилежащим к
ней углам''(докажите!).  Однако, в отличие от евклидовой, в
сферической геометрии есть еще один признак - ``признак равенства
треугольников по трем углам''(он сразу же вытекает из двойственной
теоремы косинусов или из соотношения между сторонами и углами полярных
треугольников).  Таким образом, углы сферического треугольника полностью
его определяют!

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \subsubhead Сумма углов треугольника \endsubsubhead
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
На сфере не верна теорема о сумме углов треугольника: например,
треугольник, с вершинами в точках $(0,0,R),(0,R,O),(R,0,0)$ имеет три
прямых угла! Оказывается, сумма углов треугольника на сфере всегда больше
$\pi$; более того, разность этих двух чисел пропорциональна площади
треугольника.
 \proclaim {Предложение }
Пусть $\a,\b,\g$ - углы треугольника, $S$ - его площадь. Тогда
 $$
\a+\b+\g-\pi=\frac{S}{R^2}.
 $$
 \endproclaim
    \proof
Продолжим стороны $AB$ и $AC$ нашего треугольника до больших кругов и
обозначим через $\Sigma_A$ площадь области, заключенной между этими
большими кругами и содержащей треугольник $ABC$ (рис. 6).
 % \Pic{file_name}{caption}
\Pic{fig6}{Рис.6}
Ясно, что
$\Sigma_A$ пропорциональна углу $\a$; кроме того, если $\a=\pi$, то
$\Sigma_A$ - это площадь сферы, т.е. $4\pi R^2$. Отсюда получаем, что
$\Sigma_A=\a 4 R^2.$ Аналогично находим $\Sigma_B=\b 4R^2$ и
$\Sigma_C=\g 4 R^2.$ Заметим теперь, что в сумме эти три области
покрывают всю сферу, но при этом трижды (вместо одного раза) считается
площадь треугольника $ABC$ и симметричного  равного ему треугольника
$A^\prime B^\prime C^\prime$.  Таким образом,
 $$
4 R^2(\a+\b+\g)+4S=4\pi R^2,
 $$
откуда после деления на $4R^2$ следует требуемое равенство.
 \endproof
\enddocument
