%#AMSTEX#R# - MultiEdit label should be on the 1st line in the file
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Утверждения %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\def\Remark#1{\remark{#1}}
\def\endRemark{\endremark\medskip}
\def\proof{\demo{Доказательство}}
\def\endproof{$\square$\enddemo}
\def\Proof#1{\demo{Доказательство\ #1}}
\def\endProof{$\square$\enddemo}


%%%%%%%%%%%%%%%%% Руссификация элементов из topmatter %%%%%%%%%%%%%%%%%
\catcode`\@=11
\def\abstract{\let\savedef@\abstract
 \def\abstract{\let\abstract\savedef@
  \setbox\abstractbox@\vbox\bgroup\noindent$$\vbox\bgroup
  \def\envir@end{\endabstract}\advance\hsize-2\indenti
  \def\usualspace{\enspace}\eightpoint \noindent
  \frills@{{\smc Аннотация.\enspace}}}%
 \nofrillscheck\abstract}

\def\endabstract{\par\unskip\egroup$$\egroup}

\def\keywords{\let\savedef@\keywords
  \def\keywords##1\endkeywords{\let\keywords\savedef@
  \toks@{\def\usualspace{{\it\enspace}}\eightpoint}%
  \toks@@{##1\unskip.}%
  \edef\thekeywords@{\the\toks@\frills@{{\noexpand\it
    Ключевые слова и выражения.\noexpand\enspace}}\the\toks@@}}%
 \nofrillscheck\keywords}

\def\email{\let\savedef@\email
  \def\email##1\endemail{\let\email\savedef@
  \toks@{\def\usualspace{{\it\enspace}}\endgraf\indent\eightpoint}%
  \toks@@{##1\par}%
  \expandafter\xdef\csname email\number\addresscount@\endcsname
  {\the\toks@\frills@{{\noexpand\it E-mail\noexpand\/}:%
     \noexpand\enspace}\the\toks@@}}%
  \nofrillscheck\email}

\catcode`\@=12

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Рисунки %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Как использовать:
%  \Pic{new01}{Это --- первый рисунок}{fig:f}
%  \BigPic{new02}{new03}{Это --- еще один, но большой, рисунок}{fig:b}
%      new01,new02,new03 - имена pcx-файлов, без расширения

%% these are for 240DPI
%\newdimen\pcxht    \pcxht 55mm
%\newdimen\pcxwd    \pcxwd 67mm
%\newdimen\spcxwd   \spcxwd\textwidth
%\advance\spcxwd by -\pcxwd

%% these are for 300DPI mag = 1200
\newdimen\pcxht    \pcxht 33mm
\newdimen\pcxwd    \pcxwd 45mm
\newdimen\spcxwd   \spcxwd\pcxwd

%% these are for 300DPI mag = 1000
%\newdimen\pcxht    \pcxht 40mm
%\newdimen\pcxwd    \pcxwd 54mm
%\newdimen\spcxwd   \spcxwd\pcxwd


 \def\Pic#1#2{
   \midinsert
     \noindent
     \hbox to \hsize{\hfill
       \hbox to \pcxwd {\special{em:graph #1.pcx}\hfil}
     \hfill}
     \vskip\pcxht
     \centerline{#2}
  \endinsert
 }

 \def\BigPic#1#2#3{
   \midinsert
     \noindent
     \hbox to \hsize{\hfill
       %\hbox to \shiftwd {}
       \hbox to \pcxwd {\special{em:graph #1.pcx}\hfil}\!%
       \hbox to \spcxwd{\special{em:graph #2.pcx}\hfil}
     \hfill}
     \vskip\pcxht
     \centerline{#3}
  \endinsert
 }
\def\a{\alpha}
\def\b{\beta}
\def\g{\gamma}
\def\e{\varepsilon}
\def\f{\varphi}
\def\op{\operatorname}
\def\o{\overset{1}\to}
\def\oo{\overset{2}\to}
\def\d{\delta}
\def\s{\sigma}
\def\t{\tau}
\def\w{\widetilde}
\def\ss{\operatorname{sgn}}
\def\L{\Lambda}
\def\om{\omega}
\def\Om{\Omega}
\def\De{\Delta}
\def\pa{\partial}
\def\dd{\overset{..}\to}
\def\pa{\partial}

\NoBlackBoxes
\NoRunningHeads
\TagsOnRight

\def\wt{\widetilde}
\def\n{\nabla}
\def\g{\gamma}
\def\pa{\partial}
\def\G{\Gamma}
\def\op{\operatorname}
\document

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \head Лекция 3. Поверхности в евклидовом пространстве. Первая
квадратичная форма поверхности. \endhead
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \subhead 1. Способы задания поверхностей. Координаты на поверхности
\endsubhead
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Рассмотрим теперь $n$-мерные поверхности в $N$-мерном евклидовом
пространстве, $N\geq n$ (типичный случай --- двумерные
поверхности в $\Bbb R^3$), в котором заданы стандартные евклидовы
координаты $x^1,\dots, x^N$. Способы их задания аналогичны способам задания
кривых; мы сразу приведем наиболее употребительное определение
поверхности, заданной параметрически. Ясно, что, поскольку поверхность
$n$-мерна, она должна задаваться вектором, зависящим от  $n$
параметров.

 \definition {Определение}
Гладкой регулярной элементарной $n$-мерной поверхностью в
$\Bbb R^{N}$ называется множество точек $N$-мерного пространства,
заданное уравнениями $r=r(u^1,\dots, u^n)$,
где координаты $x^i(u)$ $N$-мерной вектор-функции $r(u)$ бесконечно
дифференцируемы функции в некоторой открытой области в $n$-мерном
пространстве переменных $u=(u^1,\dots,u^n)$ (можно считать, например, что
эта область - открытый шар), причем во всех точках этой области
векторы
 $$
r_1=\frac{\pa r}{\pa u^1},\dots, r_n=\frac{\pa r}{\pa u^n}
 $$
линейно независимы; другими словами ранг матрицы
 $$
\pmatrix\frac{\pa x^1}{\pa u^1}&\dots&\frac{\pa x^{N}}{\pa
u^1}\\ \dots&\dots&\dots\\
\frac{\pa x^1}{\pa u^n}&\dots&\frac{\pa x^{N}}{\pa
u^n}\endpmatrix $$
равен $n$.
Параметры $(u^1,\dots u^n)$
называются {\it координатами на поверхности}.
 \enddefinition
 \Remark {Замечание 1}
Нетрудно привести два других способа задания $n$-мерных поверхностей,
аналогичных способам задания кривых. Именно, пусть

$f_1(x^1,\dots,x^n),\dots, f_{k}(x^1,\dots, x^n)$ --- гладкие функции в
области $n$-мерного пространства. Их совместный график, т.е. множество
точек пространства $\Bbb R^{n+k}$, координаты которых связаны равенствами
 $$
x^{n+1}=f_1(x^1,\dots, x^n),\dots,x^{n+k}=f_k(x^1,\dots,x^n),
 $$
очевидно, является гладкой регулярной поверхностью (проверьте!).

Кроме того, поверхность можно задать системой неявных уравнений. Пусть
$F_1(x^1,\dots,x^N),\dots F_k(x^1,\dots,x^N),\quad k<N$ --- гладкие
функции в области пространства $\Bbb R^N$, причем ранг матрицы Якоби
 $$
\pmatrix\frac{\pa F_1}{\pa x^1}&\dots&\frac{\pa F_{k}}{\pa
x^1}\\ \dots&\dots&\dots\\
\frac{\pa F_1}{\pa x^N}&\dots&\frac{\pa F_{k}}{\pa
x^N}\endpmatrix
 $$
равен $k$ всюду, где
 $$
F_1(x^1,\dots,x^N)=0,\dots, F_k(x^1,\dots,x^N)=0.
 $$
Тогда множество точек, заданное этими уравнениями, определяет поверхность.
 \proclaim {Задача}
Доказать, что три приведенных способа задания поверхности
локально эквивалентны.
 \endproclaim
 \proclaim {Указание}
Воспользоваться теоремой о неявной функции.
 \endproclaim
\endRemark

\Remark {Замечание 2}
Геометрический смысл условия регулярности поверхности (т.е. линейной
независимости векторов $r_j$) аналогичен смыслу условия $r^\prime\neq 0$ в
теории кривых; именно, если это условие нарушается, то на поверхности
могут возникать ``складки'' или ``изломы'' - например, прямая, на
которой $u^1=0$ (ось $x^3$) образует ребро возврата на двумерной
поверхности $x^1=(u^1)^2,\quad x^2=(u^1)^3,\quad x^3=u^2$.
 \endRemark
 \Remark {Замечание 3}
 Слово ``элементарная'' в определении поверхности связано с тем, что,
вообще говоря, не всякую поверхность можно целиком задать параметрическими
уравнениями. Более общий объект --- множество, представимое в виде
объединения конечного числа элементарных поверхностей так, что
любое пересечение этого множества с открытым шаром достаточно малого
радиуса --- элементарная поверхность. При этом ``элементарные'' куски,
вообще говоря, пересекаются --- накладываются друг на друга; в пересечениях
(каждое из которых само является элементарной поверхностью) возникает два
набора координат $u$ и $v$, которые выражаются друг через
друга при помощи дифференцируемых функций
$u^i=u^i(v),\quad v^i=v^i(u)$.  Существование  этих функций
доказывается в анализе (теорема о неявной функции). Получающаяся таким
образом  составная поверхность --- пример важнейшего в геометрии понятия
{\it гладкого многообразия}, которое подробно изучается в нашем курсе.
Однако сперва мы обсудим локальные свойства поверхностей, и на это время
ограничимся элементарными поверхностями, причем прилагательное
``элементарная'' будем для краткости опускать.
 \endRemark
 \Remark {Замечание 4}
Как и в случае кривых, одна и та же поверхность допускает разные
параметризации; в частности, всегда можно сделать замену координат по
формулам $u^i=u^i(v^1,\dots, v^n)$, где
$u^i(v)$ - бесконечно дифференцируемые функции, причем определитель
матрицы
 $$
\pmatrix \frac{\pa u^1}{\pa v^1}&\dots&\frac{\pa u^1}{\pa v^n}\\
\dots&\dots&\dots\\
\frac{\pa u^n}{\pa v^1}&\dots&\frac{\pa u^n}{\pa v^n}\endpmatrix
$$
отличен от нуля. Последнее условие гарантирует, что множество,
параметризованное координатами $v$ является элементарной
поверхностью (проверьте!); написанная матрица называется {\it матрицей
Якоби} замены координат $u\to v$.
 \endRemark

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \subhead 2. Кривые на поверхности. Касательное и нормальное пространства к
поверхности \endsubhead
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Займемся изучением локального устройства поверхностей. Как и в случае
кривых, самую грубую информацию доставляют касательные векторы. Однако, в
отличие от кривых, в случае поверхностей эта информация гораздо более
содержательна --- дело в том, что касательные векторы к $n$-мерной
поверхности образуют $n$-мерное пространство, в котором
естественно возникает евклидова геометрия. Эта геометрия переносится на
саму поверхность; однако при этом возникают ``искажения'', приводящие к
существенным отличиям геометрии на поверхности от евклидовой.

Касательные векторы к поверхности естественно определять как векторы
скоростей кривых, лежащих на поверхности, поэтому мы сперва определим
такие кривые. Они определяются точно так же, как плоские или
пространственные, только роль декартовых координат  играют координаты
$u$ на поверхности.

 \definition {Определение}
Гладкой кривой, лежащей на поверхности $M$, называется гладкое
отображение $\g:[a,b]\to M$ отрезка в поверхность, т.е. набор
гладких функций $u^1=u^1(t),\dots, u^n=u^n(t)$, где
параметр $t$ меняется на отрезке $[a,b]$.
 \enddefinition

 \Remark {Замечание 1}
Такое определение кривой естественно с точки зрения ``существа,
живущего на поверхности'': такое существо имеет дело только с
координатами $u$ на поверхности, и кривая для него --- это закон изменения
этих координат со временем.
 \endRemark

 \Remark {Замечание 2}
Каждая кривая, лежащая на поверхности, является, конечно, гладкой кривой
в объемлющем пространстве $\Bbb R^{N}$:  ее параметрические уравнения в
$\Bbb R^N$ получаются подстановкой ее уравнений в координатах
$u$ в уравнения поверхности:  $r=r(u^1(t),\dots u^n(t))$.
\endRemark

Зафиксируем теперь точку $P$ на поверхности; пусть ее координаты
$u^1_0,\dots, u^n_0$. Рассмотрим всевозможные кривые, лежащие на
поверхности и проходящие через эту точку; будем откладывать от нее вектора
скоростей этих кривых в точке $P$.

 \proclaim {Утверждение }
Множество векторов скоростей кривых, лежащих на $n$-мерной
поверхности и проходящих через точку $P$, образует $n$-мерное
линейное пространство; базисом в нем является набор векторов
$r_1=\pa r/\pa u^1(P),\dots r_n=\pa r/\pa u^n(P)$
(откладываемых от точки $P$).
 \endproclaim
 \proof
Пусть $u^i=u^i(t)$ - кривая, проходящая через точку $P$ в момент времени
$t_0$; ее вектор скорости имеет вид
 $$
r^\prime(t_0)=\sum_{i=1}^n\frac{\pa r}{\pa u^i}u^{i\prime}(t_0),
 $$
где векторы $\pa r/\pa u^i$ вычисляются в точке $u^i(t_0)$, т.е.
в точке $P$. Таким образом, вектор
скорости любой кривой, проходящей через эту точку, есть линейная
комбинация векторов $r_i$ с коэффициентами
$u^{1\prime}(t_0),\dots u^{n\prime}(t_0)$.  Обратно, пусть $\sum c^ir_i$
- линейная комбинация этих векторов с произвольными коэффициентами
$c^1,\dots c^n$; эта линейная комбинация является вектором скорости кривой
$u^i=u^i_0+c^it$, проходящей при $t=0$ через точку $P$.
 \endproof

 \definition {Определения}
Пространство векторов скоростей кривых на поверхности $M$, проходящих
через точку $P$, называется касательным пространством к поверхности в этой
точке и обозначается $T_PM$. Векторы из этого пространства называются
касательными векторами к поверхности в точке $P$. Базис $r_1,\dots, r_n$
называется каноническим базисом в $T_PM$, порожденным координатами
$u^1,\dots u^n$.
 \enddefinition

Выясним, как меняется канонический базис при замене координат. Пусть $u$
и $v$ --- два набора координат на поверхности, так что
$u^i=u^i(v^1,\dots, v^n)$ --- гладкие функции. Если $r_i=\pa r/\pa u^i$ и
$\rho_j=\pa r/\pa v^j$ --- векторы соответствующих канонических базисов,
то, по теореме о дифференцировании сложной функции
 $$
\rho_j=\sum_{i=1}^n\frac{\pa u^i}{\pa v^j}r_i.
 $$
Таким образом, {\it значение матрицы Якоби замены координат в точке $P$
является матрицей перехода между соответствующими каноническими базисами в
пространстве $T_PM$.}

\Remark {Замечание}
Каждый касательный вектор задается набором своих координат $c^1,\dots,
c^n$ в базисе $r_1,\dots r_n$; эти координаты можно представлять себе как
координаты вектора с точки зрения жителя поверхности. При замене координат
на поверхности координаты вектора меняются по закону
 $$
c^i=\sum_{j=1}^n\frac{\pa u^i}{\pa v^j}\wt c^j,
 $$
где $\wt c^j$ --- его координаты в базисе $\rho_1,\dots,\rho_n$
(проверьте!).
 \endRemark

Перпендикулярно касательному пространству через точку $P$ можно провести
$N-n$--мерную плоскость.

 \definition {Определение}
Ортогональное дополнение к пространству $T_PM$ в евклидовом пространстве
$\Bbb R^N$ с началом координат в точке $P$ называется {\it нормальным
пространством} к поверхности $M$ в этой точке.
 \enddefinition

\proclaim {Пример}
Нормальное пространство к двумерной поверхности в $\Bbb R^3$ --- прямая;
ее направляющий вектор, очевидно, можно выбрать в виде
 $$
n= \frac{r_1(P)\times r_2(P)}{|r_1(P)\times r_2(P)|}
 $$
Ясно, что направление этого вектора зависит, вообще говоря, от
параметризации поверхности; например, если поменять местами координаты
$u^i$ (т.е. перейти к новым координатам $v^1=u^2,v^2=u^1$), направление
вектора нормали изменится на противоположное.
\endproclaim
 \proclaim {Задача}
Выяснить, при каких заменах параметра направление вектора нормали
меняется, а при каких --- нет.
 \endproclaim
  \proclaim {Ответ}
Направление не изменится, если и только если
 $$
\op{det}\pmatrix \frac{\pa u^1}{\pa v^1}&\frac{\pa u^1}{\pa v^2}\\
\frac{\pa u^2}{\pa v^1}&\frac{\pa u^2}{\pa v^2}\endpmatrix>0.
 $$
 \endproclaim

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \subhead 3. Первая квадратичная форма поверхности. Геометрия на
поверхности \endsubhead
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

В каждой точке $n$-мерной поверхности имеется касательное пространство;
поскольку оно лежит в объемлющем евклидовом пространстве, имеет смысл
скалярное произведение касательных векторов. Таким образом, в каждой точке
поверхности задана (зависящая от точки) положительно определенная
квадратичная (=симметричная билинейная) форма.

 \definition {Определение}
Эта квадратичная форма называется первой квадратичной формой поверхности.
 \enddefinition

Координаты $u^1,\dots,u^n$ на поверхности определяют базис $r_1,\dots,r_n$
в касательном пространстве к поверхности в каждой точке. В этом базисе
первая квадратичная форма задается своей матрицей
$g_{ij}(u)=(r_i,r_j),\quad i,j=1,\dots,n$. Элементы этой $n\times
n$-матрицы - бесконечно дифференцируемые функции переменных
$u$; ясно, что для каждого фиксированного значения координат матрица
$g_{ij}$ симметрична и положительно определена.  Если два касательных
вектора $a$ и $b$ из одной и той же касательной плоскости заданы своими
координатами $a^i$ и $b^i$ в базисе $r_i$ (т.е.
$a=\sum a^ir_i,\quad b=\sum b^ir_i$), то их скалярное произведение имеет
вид
 $$
(a,b)=\sum_{i,j=1}^ng_{ij}a^ib^j.
 $$
В частности, длина касательного вектора $a$ вычисляется по формуле
 $$
|a|=\sqrt{\sum_{i,j=1}^ng_{ij}a^ia^j},
 $$
а угол $\f$ между векторами $a$ и $b$ - по формуле
 $$
\op{cos}\f=
\frac{(a,b)}{|a||b|}=
\frac{\sum_{i,j=1}^ng_{ij}a^ib^j}{\sqrt{\sum_{i,j=1}^ng_{ij}a^ia^j}
\sqrt{\sum_{i,j=1}^ng_{ij}b^ib^j}}.
 $$
Таким образом, первая квадратичная форма - это скалярное произведение ``с
точки зрения жителя поверхности'': зная функции $g_{ij}(u)$, он может
вычислять длины касательных векторов (в частности, скорости движения по
кривым, лежащим на поверхности) и углы между ними.

Если в какой-то точке поверхности пересекаются две кривые, лежащие на ней,
то угол между их векторами скорости называется {\it углом между кривыми,
лежащими на поверхности}. Приведенные выше формулы позволяют вычислять
этот угол, зная уравнения кривых и первую квадратичную форму.
Действительно, если $u^i=v^i(t)$ - уравнения первой кривой, а
$u^i=w^i(\t)$ - уравнения второй, и точка пересечения отвечает значениям
$t_0,\t_0$ параметров $t$ и $\t$, то векторы скоростей кривых в точке
пересечения имеют вид $a=\sum a^ir_i$ и $b=\sum b^ir_i$, где
$a^i=v^{i\prime}(t_0),\quad b^i=w^{i\prime}(\t_0)$. Подставляя эти
значения в приведенную выше формулу для угла между касательными векторами,
получим выражение, определяющее угол между пересекающимися кривыми.

Далее, зная первую квадратичную форму, житель поверхности может
вычислять длины дуг кривых, лежащих на поверхности. Действительно, пусть
$u^i=u^i(t)$ - такая кривая. Длина $l$ ее дуги между точками $t_1$ и
$t_2$ - это, по определению, интеграл от $t_1$ до $t_2$ от длины вектора
скорости $a=\sum u^{i\prime}r_i$. Учитывая формулу для длины
касательного вектора, получаем для длины дуги
 $$
l=\int_{t_1}^{t_2}\sqrt{g_{ij}(u(t))u^{i\prime}(t)u^{j\prime}(t)}dt.
 $$

Наконец, объем $n$-мерной области $U$ на поверхности также
выражается через первую квадратичную форму:
$$
V(U)=\underset \wt U\to {\oversetbrace {n}\to{\idotsint}}\sqrt{\det G}\, du^1du^2\ldots du^{n-1}
$$
(здесь $G$ -- ее матрица в базисе $r_i$ и интегрирование ведется по
той области в $\Bbb R^n$, которую пробегают координаты $u$).

Итак, первая квадратичная форма позволяет жителю поверхности проводить
геометрические вычисления и доказывать геометрические теоремы: например,
он может изучать криволинейные многоугольники, их углы, периметры и т.д.
Ниже мы увидим, что на каждой поверхности естественным образом
определяется параллельное перенесение и имеются кривые, аналогичные прямым
на плоскости. Таким образом, каждая поверхность наделяется геометрией; эта
геометрия, вообще говоря, разная для разных поверхностей --- она
определяется тем, как устроена в разных точках поверхности первая
квадратичная форма.  Отметим в связи с этим, что в теории кривых разных
геометрий не возникает --- на любой кривой можно ввести натуральный
параметр $s$, и расстояние на кривой между двумя точками $s_1$ и $s_2$
(т.е. длина дуги) будет всегда вычисляться по универсальной формуле
$|s_2-s_1|$, одинаковой для всех кривых.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \subhead 4. Закон преобразования матрицы первой квадратичной формы при
замене координат. Запись первой квадратичной формы через дифференциалы
\endsubhead
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Выясним, как меняется матрица первой квадратичной формы поверхности при
замене координат на ней. Поскольку матрица перехода между каноническими
базисами --- это матрица Якоби, закон
преобразования матрицы первой квадратичной формы таков: ее матрица
$\wt
g_{ij}=(\rho_i,\rho_j)$, соответствующая координатам $v$ выражается через
матрицу $g_{km}=(r_k,r_m)$ по формуле
 $$
\wt g_{ij}=\sum_{k,m=1}^n\frac{\pa u^k}{\pa v^i}\frac{\pa u^m}{\pa
v^j}g_{ij}.
 $$

Пусть $M$ --- поверхность, параметризованная координатами $u$; обозначим
через $du^i$ линейный функционал на касательном пространстве в произвольной
точке этой поверхности, ставящий в соответствие касательному вектору его
$i$-ю координату в базисе $r_1,\dots r_n$ (т.е., если $a=\sum a^jr_j$, то
$du^i(a)=a^i$). Набор функционалов $du^1,\dots du^n$ образует базис в
пространстве, сопряженном к касательному (двойственный базис к базису
$r_1,\dots r_n$). Значение первой квадратичной формы на произвольном
векторе $a$ (т.е. квадрат длины этого вектора) можно записать так
 $$
|a|^2=\sum_{i,j=1}^ng_{ij}a^ia^j=\sum_{i,j=1}^ng_{ij}du^idu^j(a),
 $$
где под произведением $du^idu^j$ понимается квадратичная форма
 $$
du^idu^j(a)=\frac12(du^i(a)du^j(a)+du^j(a)du^i(a)).
 $$
Саму первую квадратичную форму принято обозначать $ds^2$ (имея в виду, что
это квадрат длины); в этих обозначениях
 $$
ds^2=\sum_{i,j=1}^ng_{ij}du^idu^j.
 $$
Такие обозначения чрезвычайно удобны, поскольку {\it при замене координат
$u^i=u^i(v)$ на поверхности функционалы $du^i$ преобразуются в точности
как дифференциалы соответствующих функций} (проверьте!):
 $$
du^i=\sum_{i,j=1}^n\frac{\pa u^i}{\pa v^j}dv^j;
 $$
поэтому, зная матрицу первой квадратичной формы в одной системе координат,
ее легко вычислить в любой другой, подставляя в формулу для $ds^2$
старые координаты, как функции от новых (при этом их надо подставлять как
в аргументы функций $g_{ij}$, так и в ``дифференциалы'' $du^j$).


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \head Задачи. \endhead
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

1. Найти первую квадратичную форму

a) катеноида --- поверхности вращения кривой $x=a\op{ch}(u/a),z=u$  вокруг
оси $Oz$;

b) геликоида общего вида --- поверхности, получающейся равномерным
вращением плоской кривой вокруг оси и одновременным равномерным движением
вдоль этой оси;

c) поверхности, образованной касательными к некоторой кривой;

d) эллипсоида, гиперболоида, параболоида;

e) тора вращения --- поверхности, полученной вращением окружности вокруг
оси, не пересекающей ее;

f) поверхности, образованной нормалями (бинормалями) к заданной
пространственной кривой.

2. Найти угол между кривыми

a) $u+v=0,\quad u-v=0$ на поверхности $r=(u\op{cos}v,u\op{sin}v,av)$;

b) $v=u+1,\quad v=3-u$ на поверхности $r=(u\op{cos}v,u\op{sin}v,u^2)$;

3. Найти длину дуги между произвольными точками кривой $v=\op{ln}|u\pm
\sqrt{u^2+a^2}|+C$ на поверхности $r=(u\op{cos}v,u\op{sin}v,av)$.

4. Найти периметр и углы треугольника, образованного кривыми $u=\pm
av^2/2,\quad v=1$ на поверхности $r=(u\op{cos}v,u\op{sin}v,av)$.

5. Найти кривые, делящие пополам углы между линиями
$u=\op{const.},v=\op{const.}$ на поверхности
$r=(u\op{cos}v,u\op{sin}v,u^2/2)$.\

6. Найти локсодромы (кривые, пересекающие меридианы под постоянным углом)
на сфере. Написать уравнения локсодром на поверхности вращения.

\enddocument
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Конец Документа %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
