%#AMSTEX#R# - MultiEdit label should be on the 1st line in the file
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Утверждения %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\def\Remark#1{\remark{#1}}
\def\endRemark{\endremark\medskip}
\def\proof{\demo{Доказательство}}
\def\endproof{$\square$\enddemo}
\def\Proof#1{\demo{Доказательство\ #1}}
\def\endProof{$\square$\enddemo}


%%%%%%%%%%%%%%%%% Руссификация элементов из topmatter %%%%%%%%%%%%%%%%%
\catcode`\@=11
\def\abstract{\let\savedef@\abstract
 \def\abstract{\let\abstract\savedef@
  \setbox\abstractbox@\vbox\bgroup\noindent$$\vbox\bgroup
  \def\envir@end{\endabstract}\advance\hsize-2\indenti
  \def\usualspace{\enspace}\eightpoint \noindent
  \frills@{{\smc Аннотация.\enspace}}}%
 \nofrillscheck\abstract}

\def\endabstract{\par\unskip\egroup$$\egroup}

\def\keywords{\let\savedef@\keywords
  \def\keywords##1\endkeywords{\let\keywords\savedef@
  \toks@{\def\usualspace{{\it\enspace}}\eightpoint}%
  \toks@@{##1\unskip.}%
  \edef\thekeywords@{\the\toks@\frills@{{\noexpand\it
    Ключевые слова и выражения.\noexpand\enspace}}\the\toks@@}}%
 \nofrillscheck\keywords}

\def\email{\let\savedef@\email
  \def\email##1\endemail{\let\email\savedef@
  \toks@{\def\usualspace{{\it\enspace}}\endgraf\indent\eightpoint}%
  \toks@@{##1\par}%
  \expandafter\xdef\csname email\number\addresscount@\endcsname
  {\the\toks@\frills@{{\noexpand\it E-mail\noexpand\/}:%
     \noexpand\enspace}\the\toks@@}}%
  \nofrillscheck\email}

\catcode`\@=12

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Рисунки %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Как использовать:
%  \Pic{new01}{Это --- первый рисунок}{fig:f}
%  \BigPic{new02}{new03}{Это --- еще один, но большой, рисунок}{fig:b}
%      new01,new02,new03 - имена pcx-файлов, без расширения

%% these are for 240DPI
%\newdimen\pcxht    \pcxht 55mm
%\newdimen\pcxwd    \pcxwd 67mm
%\newdimen\spcxwd   \spcxwd\textwidth
%\advance\spcxwd by -\pcxwd

%% these are for 300DPI mag = 1200
\newdimen\pcxht    \pcxht 33mm
\newdimen\pcxwd    \pcxwd 45mm
\newdimen\spcxwd   \spcxwd\pcxwd

%% these are for 300DPI mag = 1000
%\newdimen\pcxht    \pcxht 40mm
%\newdimen\pcxwd    \pcxwd 54mm
%\newdimen\spcxwd   \spcxwd\pcxwd


 \def\Pic#1#2{
   \midinsert
     \noindent
     \hbox to \hsize{\hfill
       \hbox to \pcxwd {\special{em:graph #1.pcx}\hfil}
     \hfill}
     \vskip\pcxht
     \centerline{#2}
  \endinsert
 }

 \def\BigPic#1#2#3{
   \midinsert
     \noindent
     \hbox to \hsize{\hfill
       %\hbox to \shiftwd {}
       \hbox to \pcxwd {\special{em:graph #1.pcx}\hfil}\!%
       \hbox to \spcxwd{\special{em:graph #2.pcx}\hfil}
     \hfill}
     \vskip\pcxht
     \centerline{#3}
  \endinsert
 }

\def\a{\alpha}
\def\b{\beta}
\def\g{\gamma}
\def\e{\varepsilon}
\def\f{\varphi}
\def\op{\operatorname}
\def\o{\overset{1}\to}
\def\oo{\overset{2}\to}
\def\d{\delta}
\def\s{\sigma}
\def\t{\tau}
\def\w{\widetilde}
\def\ss{\operatorname{sgn}}
\def\L{\Lambda}
\def\l{\lambda}
\def\om{\omega}
\def\Om{\Omega}
\def\De{\Delta}
\def\pa{\partial}
\def\dd{\overset{..}\to}
\def\pa{\partial}

\NoBlackBoxes
\NoRunningHeads
\TagsOnRight
\def\G{\Gamma}
\def\k{\varkappa}
\def\wt{\widetilde}
 \document
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \head Лекция 6. Деривационные формулы. Восстановление поверхности по паре
квадратичных форм.  Уравнения Гаусса и Кодацци. Теорема
Гаусса. Гауссова кривизна.\endhead
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \subhead Деривационные формулы \endsubhead
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

С каждой точкой гиперповерхности связан базис $r_1,\dots, r_n, m$
объемлющего пространства; этот базис можно считать аналогом репера Френе,
возникающего в теории кривых (хотя, в отличие от репера Френе, базис,
порожденный гиперповерхностью, не ортонормирован). Естественно поэтому
попытаться получить аналог формул Френе --- равенства, выражающие
производные от базисных векторов $r_1,\dots, r_n, m$ через сами эти
векторы и, тем самым, описывающие движение базиса при изменении точки
поверхности. Такие формулы в теории поверхностей называются дервационными
формулами.

\proclaim {Теорема (деривационные формулы Гаусса-Вейнгартена}
Обозначим через $r_{ij}$ и $m_j$ производные векторов $r_i,m$ по
координате $u^j$:
 $$
r_{ij}=\frac{\pa^2 r}{\pa u^i\pa u^j},\quad m_j=\frac{\pa m}{\pa u^j}.
 $$
Имеют место равенства
 $$
\aligned
&r_{ij}=\sum_{k=1}^n\G^k_{ij}r_k+b_{ij}m,\\
&m_i=\sum_{j=1}^n\b_i^jr_j.
\endaligned
\tag 1
$$
Здесь $\G^k_{ij}$ --- символы Кристоффеля (формулы для них получены в
лекции 4), $b_{ij}$ --- коэффициенты второй квадратичной формы поверхности
(см. предыдущую лекцию), коэффициенты $\b_i^j$ выражаются через первую и
вторую квадратичные формы следующим образом
 $$
\b_i^j=-\sum_{k=1}^ng^{jk}b_{ik}
 $$
(напомним, что матрица $g^{ij}$ обратна к матрице $g_{ij}$).
 \endproclaim
 \proof
Разложим вектор $r_{ij}$ на касательную и нормальную к поверхности $M$
компоненты:
 $$
r_{ij}=\Pi(r_{ij})+m_{ij},
 $$
где $\Pi$ --- оператор ортогонального проектирования на касательную
плоскость к поверхности, $m_{ij}$ --- проекция вектора $r_{ij}$ на
нормаль. Вектор $\Pi(r_{ij})$ вычислен в лекции 4 (формулы (2) -- (3)):
 $$
\Pi(r_{ij})=\sum_{k=1}^n\G^k_{ij}r_k;
 $$
вектор $m_{ij}$, очевидно, равен
 $$
m_{ij}=(m,r_{ij})m=b_{ij}m.
 $$
Таким образом, первая часть формул (1) доказана. Для вычисления векторов
$m_j$ заметим, что они ортогональны вектору $m$ (т.к. последний имеет
единичную длину --- см. лемму, доказанную в первой лекции), и поэтому
разлагаются по каноническому базису $r_1,\dots, r_n$:
 $$
m_i=\sum_{k=1}^n\b_i^kr_k,
\tag 2
$$
где $\b_i^k$ --- некоторые (пока неопределенные) коэффициенты. Для того,
чтобы их найти, умножим (2) скалярно на $r_m$; получим
 $$
(m_i,r_m)=\sum_{k=1}^n\b^k_ig_{km},
 $$
откуда
 $$
\b^j_i=\sum_{s=1}^ng^{js}(m_i,r_s).
 $$
Наконец, дифференцируя по $u^i$ равенство $(m,r_m)=0$, получим
$(m_i,r_m)+b_{im}=0$, откуда немедленно следует нужное выражение для
$\b_i^k$.
 \endproof


Как уже отмечалось, деривационные формулы похожи на формулы Френе теории
кривых --- они описывают движение репера $r_1,\dots, r_n, m$ при движении
точки по поверхности. Это движение, таким образом, определяется парой
квадратичных форм --- первой и второй формами поверхности, которые в этом
смысле играют ту же роль, что кривизна и кручение кривой. Напомним, что
задание кривизны и кручения полностью определяет кривую с точностью до ее
расположения в пространстве (т.е. с точностью до его движения); кроме
того, эту пару функций можно задавать произвольно: если  $k(s),\k(s)$ ---
гладкие функции и $k>0$, всегда найдется кривая, для которой эти функции
будут кривизной и кручением. Доказательство этих фактов основано на
анализе дифференциальных уравнений, определенных формулами Френе.

Выясним, как обстоит дело в случае поверхностей; таким образом, нас сейчас
интересуют два вопроса:

1). Определяется ли поверхность (с точностью до своего расположения в
пространстве) заданием первой и второй квадратичных форм?

2). Можно ли эту пару форм задавать произвольно (позаботившись лишь о
положительности первой квадратичной формы)?

Оказывается, ответы на эти два вопроса противоположны: первый решается
положительно, а второй отрицательно. Мы начнем с обсуждения первого.

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \subhead
2. Восстановление поверхности по паре квадратичных форм
\endsubhead
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

 \proclaim {Теорема }
Пусть $M$, $Q$ --- две $n$--мерные гиперповерхности. Следующие два условия
эквивалентны.

1. На поверхностях $M$ и $Q$ можно выбрать единые координаты
$u=(u^1,\dots, u^n)$ (а также направления единичных векторов нормалей)
так, что матрицы первой и второй квадратичных форм в этих координатах
совпадут.

2. Существует движение (т.е. композиция сдвига и ортогонального
преобразования) пространства $\Bbb R^{n+1}$, переводящее поверхность $M$
в поверхность $Q$.
 \endproclaim

 \proof
Пусть $x\to Ax+a$ --- движение  объемлющего пространства, переводящее
поверхность $M$ в поверхность $Q$ (здесь $A$ --- ортогональный оператор
в $\Bbb R^{n+1}$,  $a$ --- вектор из этого пространства).  Зададим $M$
(какими угодно) параметрическими уравнениями $r=r(u)$; тогда точки
поверхности $Q$ можно задать уравнениями $r=\rho(u)$, где
$\rho(u)=Ar(u)+a$. В силу ортогональности оператора $A$
 $$
(\frac{\pa r(u)}{\pa u^i},\frac{\pa r(u)}{\pa u^j})=
(\frac{\pa \rho(u)}{\pa u^i},\frac{\pa \rho(u)}{\pa u^j}),
 $$
т.е. матрицы первых квадратичных форм поверхностей $M$ и $Q$ в координатах
$u$ совпадают. Заметим теперь, что, если $m(u)$ --- единичный вектор
нормали к поверхности $M$, то $Am(u)$ --- единичный вектор
нормали к поверхности $Q$; поэтому из равенств
 $$
(\frac{\pa ^2 r(u)}{\pa u^i\pa u^j},m)=
(\frac{\pa ^2 \rho(u)}{\pa u^i\pa u^j},Am)
 $$
следует, что матрицы вторых квадратичных форм также совпадают. Итак, из
второго условия следует первое.

Обратно, пусть на поверхностях $M$, $Q$ выбраны координаты так, что
матрицы первой и второй квадратичных форм в этих координатах одинаковы.
Тогда между точками этих поверхностей можно установить
взаимно--однозначное соответствие: именно, соответствующими друг другу
назовем точки, имеющие одинаковые координаты. Выберем теперь на
поверхностях $M$ и $Q$ пару соответствующих точек и сдвинем поверхность
$Q$ на вектор, соединяющий эти точки; в результате новая поверхность будет
иметь общую точку с поверхностью $M$. Рассмотрим теперь канонические
базисы, порожденные координатами $u$ в касательных пространствах к двум
поверхностям в этой общей точке. В силу совпадения матриц первых
квадратичных форм, длины соответствующих векторов в этих базисах и углы
между соответствующими векторами одинаковы. Поэтому оператор, переводящий
канонический базис и единичный вектор нормали второй поверхности в
канонический базис и единичный вектор нормали первой поверхности в их
общей точке --- ортогональный (сохраняет длины и углы). Итак, композицией
сдвига и ортогонального оператора можно добиться того, что наши две
поверхности будут иметь общую точку (обозначим ее через $P_0$) и в этой
точки совпадут соответствующие вектора канонических базисов касательных
пространств и единичных нормалей (обозначим эти векторы $r_1^0,\dots,
r_n^0,m^0$ соответственно).  Докажем теперь, что такое движение
объемлющего пространства совмещает поверхности, т.е.  что соответствующие
точки поверхности $M$ и поверхности $\wt M$, полученной из $Q$ указанным
движением, совпадают.  Действительно, пусть $P$ --- произвольная точка
$M$; соединим ее с точкой $P_0$ гладкой кривой $\g\subset M$, заданной
параметрическими уравнениями $u^i=u^i(t),\quad t\in [0,T]$. Кривая
$\wt\g$, заданная теми же параметрическими уравнениями на $\wt M$,
соединяет $P_0$ с точкой $\wt P$, соответствующей точке $P$. Рассмотрим
теперь семейства векторов $r_i(t),m(t)$, состоящих из векторов
канонического базиса и нормали к поверхности $M$ в точках кривой $\g$.
Производные этих векторов по параметру $t$ имеют вид
 $$
\frac{dr_i(t)}{dt}=\frac{\pa r_i}{\pa
u^j}\frac{du^j}{dt}=\G_{ij}^k(u(t))\frac{du^j}{dt}r_k(t)+b_{ij}(u(t))
\frac{du^j}{dt}m(t),
 $$
 $$
\frac{dm(t)}{dt}=\frac{\pa m}{\pa
u^j}\frac{du^j}{dt}=\b_j^k(u(t))
\frac{du^j}{dt}r_k(t).
 $$
Таким образом, если обозначить через $R(t)$ матрицу размера $(n+1)\times
(n+1)$,
строками которой являются координаты векторов
$r_1(t),\dots,r_n(t),m(t)$, эта матрица будет удовлетворять уравнению
 $$
\frac{dR(t)}{dt}=U(t)R(t),
 $$
где элементы матрицы $U(t)$ выражаются через элементы матриц первой и
второй квадратичной форм поверхности $M$ (а также их производные) при
$u=u(t)$ и через производные функций $u^i(t)$. Рассмотрим теперь матрицу
$\wt R(t)$, построенную аналогичным образом по векторам $\wt r_1,\dots,\wt
r_n,\wt m$ канонического базиса и нормали поверхности $\wt M$ в точках
кривой $\wt\g$. Поскольку эти две кривые заданы в координатах $u$
одинаковыми параметрическими уравнениями, а матрицы первой и второй
квадратичных форм поверхностей $M,\wt M$ совпадают, для $\wt R$ будет
выполнено то же уравнение (с той же матрицей $U(t)$), что и для $R$.
Далее, при $t=0$ (т.е. в точке $P_0$) матрицы $R(t)$ и $\wt R(t)$
совпадают, т.к. совпадают соответствующие векторы. Следовательно, по
теореме единственности решения задачи Коши для линейной системы
обыкновенных дифференциальных уравнений, матрицы $R$ и $\wt R$ совпадают
при всех $t\in [0,T]$, т.е. при таких $t$ $r_i(t)=\wt r_i(t),m(t)=\wt
m(t)$. Рассмотрим теперь радиус--векторы $r(t)$ точек кривой
$\g$ на поверхности $M$.  По формуле Ньютона --- Лейбница получаем
 $$
r(P)=r(T)=r(0)+\int_0^T(\frac{dr}{dt})=r(P_0)+\int_0^Tr_i(t)\frac{du^i}{dt}dt.
 $$
Аналогично, рассматривая радиус--векторы $\wt r(t)$ точек кривой $\wt\g$,
получим
 $$
r(\wt P)=\wt
r(T)=\wt r(0)+\int_0^T(\frac{d\wt r}{dt})=r(P_0)+\int_0^T\wt
r_i(t)\frac{du^i}{dt}dt.
 $$
Поскольку подинтегральные функции в двух выписанных интегралах совпадают,
совпадают и радиус--векторы точек $P$ и $\wt P$, т.е. совпадают
поверхности $M$ и $\wt M$.
 \endproof

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \subhead 3. Формулы Гаусса и Кодацци \endsubhead
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Исследуем теперь вопрос о том, насколько произвольно можно задавать
матрицы первой и второй квадратичной форм поверхности. Другими словами,
пусть заданы две гладкие симметричные матричные функции $g_{ij}(u)$ и
$b_{ij}(u)$, причем матрица $g_{ij}(u)$ положительно определена. Можно ли
найти поверхность, заданную параметрическими уравнениями $r=r(u)$ так,
чтобы эти заданные функции совпали с ее первой и второй квадратичными
формами? Ответ на этот вопрос отрицательный; мы исследуем препятствие к
построению такой поверхности в простейшем случае $n=2$ (т.е. двумерной
поверхности в трехмерном пространстве).

 \proclaim {Теорема }
Пусть $M$ --- двумерная поверхность в $\Bbb R^3$, заданная
параметрическими уравнениями $r=r(u^1,u^2)$, и пусть $g_{ij}(u),b_{ij}(u)$
--- матрицы ее первой и второй квадратичной форм соответственно. Имеют
место три соотношения между элементами этих матриц
 $$
\op{det}B=\frac{\pa ^2g_{12}}{\pa u^1\pa u^2}
-\frac12\frac{\pa ^2g_{11}}{(\pa u^2)^2}-\frac12\frac{\pa ^2g_{22}}{(\pa
u^1)^2}+\sum_{k,m=1}^2g_{km}(\G^k_{12}\G^m_{12}-\G^k_{11}\G^m_{22});
 $$
 $$
\frac{\pa b_{i1}}{\pa u^2}+\sum_{k=1}^2\G^k_{i1}b_{k2}=
\frac{\pa b_{i2}}{\pa u^1}+\sum_{k=1}^2\G^k_{i2}b_{k1},\quad i=1,2.
 $$
Здесь $B$ --- матрица второй квадратичной формы.
 \endproclaim

 \Remark {Замечание}
Первое из этих соотношений называется {\it уравнением Гаусса}, а два
последних --- {\it уравнениями Кодацци}.
 \endRemark
 \proof
Докажем сперва равенство Гаусса --- Вейнгартена. Для этого рассмотрим
скалярную функцию
 $$
(r_{11},r_{22})-(r_{12}^2)
 $$
и подставим выражения для $r_{ij}$ из деривационных формул Гаусса.
Учитывая ортогональность векторов $m$ и $r_i$, получим
 $$
(r_{11},r_{22})-(r_{12}^2)=
\sum_{k,m=1}^2(r_k,r_m)(\G^k_{11}\G^m_{22}-\G^k_{12}\G^m_{12})+(b_{11}b_{22}-b_{12}^2),
 $$
откуда
 $$
\op{det}B=(r_{11},r_{22})-(r_{12}^2)+
\sum_{k,m=1}^2g_{km}(\G^k_{12}\G^m_{12}-\G^k_{11}\G^m_{22}).
 $$
Таким образом, для доказательства равенства Гаусса достаточно проверить,
что
 $$
(r_{11},r_{22})-(r_{12}^2)=\frac{\pa ^2g_{12}}{\pa u^1\pa u^2}
-\frac12\frac{\pa ^2g_{11}}{(\pa u^2)^2}-\frac12\frac{\pa ^2g_{22}}{(\pa
u^1)^2}.
 $$
Для этого вспомним, что символы Кристоффеля 1-го рода
 $$
\G_{ij,k}=(r_{ij},r_k)
 $$
выражаются через коэффициенты первой квадратичной формы по формулам
 $$
\G_{ij,k}=\frac12(\frac{\pa g_{ik}}{\pa u^j}+\frac{\pa g_{jk}}{\pa
u^i}-\frac{\pa g_{ij}}{\pa u^k}).
 $$

Продифференцируем это равенство по координате $u^l$; в результате получим
 $$
\frac{\pa\G_{ij,k}}{\pa u^l}=(r_{lij},r_k)+(r_{ij},r_{lk})=
\frac12(\frac{\pa^2 g_{ik}}{\pa u^l\pa u^j}+\frac{\pa^2 g_{jk}}{\pa u^l\pa
u^i}-\frac{\pa^2 g_{ij}}{\pa u^l\pa u^k}),
 $$
где
 $$
r_{lij}=\frac{\pa^3r}{\pa u^l\pa u^i\pa u^j}.
 $$
Эти равенства справедливы при всех значениях индексов $i,j,k,l$, поэтому в
них можно поменять местами $l$ и $j$. Вычитая получающееся при этом
равенство из выписанного, и учитывая, что $r_{ijl}=r_{ilj}$ (теорема о
равенстве смешанных производных), получим
 $$
(r_{ij},r_{lk})-(r_{il},r_{jk})=
\frac12(\frac{\pa^2 g_{il}}{\pa u^j\pa u^k}+\frac{\pa^2 g_{jk}}{\pa u^l\pa u^i}-\frac{\pa^2 g_{lk}}{\pa u^i\pa
u^j}+\frac{\pa^2 g_{jk}}{\pa u^l\pa u^i}-\frac{\pa^2 g_{ij}}{\pa u^l\pa
u^k}).
 $$
Полагая в последней формуле $i=j=1$, $l=k=2$, получим требуемое равенство.

Докажем теперь формулы Кодацци. Для этого запишем коэффициенты второй
квадратичной формы в виде
 $$
b_{ij}=(r_{ij},m)=-(r_i,m_j),
 $$
где $m_j=\pa m/\pa u^j$. Продифференцируем это равенство при $j=2$ по
переменной $u^1$, а при $j=1$ по переменной $u^2$, и вычтем друг из друга
два получившихся соотношения. С учетом равенства смешанных производных
вектора $m$ получим
 $$
\frac{\pa b_{i2}}{\pa u^1}-\frac{\pa b_{i1}}{\pa
u^2}+(r_{i1},m_2)-(r_{i2},m_1)=0.
 $$
Подставим в полученное соотношение выражение для $r_{ij}$ из деривационных
формул Гаусса. Учитывая, что $(m_k,m)=0$ и $(m_k,r_s)=-b_{ks}$, получим
 $$
\frac{\pa b_{i2}}{\pa u^1}-\frac{\pa b_{i1}}{\pa
u^2}-\sum_{k=1}^2\G_{i1}^kb_{k2}+\sum_{k=1}^2\G_{i2}^kb_{k1}=0,
 $$
что и требовалось.
 \endproof
 \proclaim {Следствие }
Отнюдь не любые симметричные матричные функции $g_{ij}(u)$ и $b_{ij}(u)$
(даже при условии положительности первой матрицы) могут быть реализованы
как первая и вторая квадратичные формы некоторой поверхности --- для этого
они, по крайней мере, должны удовлетворять равенствам Гаусса и Кодацци.
 \endproclaim
 \Remark {Замечание 1}
Можно показать, что равенства Гаусса и Кодацци не только необходимы, но и
достаточны для того, чтобы существовала поверхность, для которой $g_{ij}$
и $b_{ij}$ были бы первой и второй квадратичной формами. Именно,
справедливо следующее утверждение.
 \proclaim {Теорема }
Пусть в некоторой открытой области на плоскости $u^1,u^2$ задана пара
гладких матричных функций $g_{ij}(u)$, $b_{ij}(u)$, удовлетворяющих
следующим условиям.

A. При каждом $u$ обе матрицы симметричны, а матрица $g_{ij}(u)$
положительно определена.

B. Функции $g_{ij}$ и $b_{ij}$ удовлетворяют уравнениям Гаусса и Кодацци.

Тогда в достаточно малой окрестности произвольной точки этой
области найдется трехмерная вектор--функция $r=r(u)$, задающая двумерную
поверхность в $\Bbb R^3$, для которой заданные матрицы являются матрицами
первой и второй квадратичных форм соответственно (по доказанному выше эта
поверхность определена однозначно с точностью до движения пространства).
 \endproclaim
Доказательство этой теоремы выходит за рамки нашего курса. Отметим, что
деривационные формулы Гаусса --- Вейнгартена можно трактовать как систему
уравнений в частных производных на координаты вектор--функции $r(u)$,
коэффициенты которой заданы, если заданы матрицы $g_{ij}$ и $b_{ij}$.
Уравнения Гаусса и Кодацци суть условия совместности (разрешимости) этой
системы.
 \endRemark

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \subhead
4. Гауссова кривизна двумерной поверхности. Теорема Гаусса. Эллиптические,
гиперболические и параболические точки
 \endsubhead
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Отметим, что из доказанной в предыдущем пункте формулы Гаусса
немедленно вытекает следующее

 \proclaim {Утверждение (теорема Гаусса)}
Гауссова кривизна двумерной поверхности в $\Bbb R^3$ выражается только
через коэффициенты первой квадратичной формы.
 \endproclaim

Действительно, гауссова кривизна определяется через матрицы $G$ и $B$
первой и второй квадратичной форм по формуле
 $$
K=\frac{\op{det}B}{\op{det G}}.
 $$
С другой стороны, уравнение Гаусса выражает определитель второй
квадратичной формы через первую.

Это означает, что {\it гауссова кривизна зависит только от геометрии на
самой поверхности (а не от того, как поверхность помещена в трехмерное
пространство); в частности, она сохраняется при изометриях ---
отображениях поверхностей, не меняющих скалярного произведения
касательных векторов (подробнее об изометриях см. следующую лекцию)}.

Обсудим геометрический смысл знака гауссовой кривизны двумерной
поверхности.  Поскольку он совпадает со знаком определителя
второй квадратичной формы, этот знак  определяет локальное
расположение поверхности $M$ относительно касательной плоскости к ней в
точке $P$ (см. предыдущую лекцию).  Именно, пусть в некоторой точке
поверхности $K>0$; тогда главные кривизны в этой точке одного знака,
т.е. все нормальные сечения искривлены в одну и ту же сторону ($\w k>0$
или $\w k<0$ сразу для всех нормальных сечений).  Другими словами, для
всех таких сечений центры соприкасающихся окружностей лежат по одну и ту
же сторону от касательной плоскости к поверхности.  Поэтому достаточно
малая окрестность точки $P$ на поверхности лежит по одну сторону от
касательной плоскости и не пересекает ее нигде, кроме точки $P$.
 \definition {Определение}
Точки, в которых $K>0$, называются эллиптическими точками поверхности $M$.
 \enddefinition

Пусть теперь $K(P)<0$. Тогда главные кривизны разного знака; нормальные
сечения, проведенные в главных направлениях, загнуты в разные стороны.
Поэтому сколь угодно малые кусочки этих нормальных сечений вблизи точки $P$
лежат по разные стороны от касательной плоскости к $M$ в этой точке.
Таким образом, любая малая окрестность точки $P$ на поверхности $M$
разбивается на две части, лежащие по разные стороны от касательной
плоскости; касательная плоскость пересекает любую такую окрестность,
вообще говоря, по некоторой кривой.

 \definition {Определение}
Точки, в которых $K<0$, называются гиперболическими точками поверхности
$M$.
 \enddefinition

Наконец, в некоторых точках поверхности гауссова кривизна может обращаться
в нуль. В этом случае первая и вторая квадратичная формы не дают полной
информации о том, как расположена малая окрестность точки $P$ на
поверхности относительно касательной плоскости; для того, чтобы ответить
на этот вопрос, необходимо рассматривать производные третьего порядка
вектора $r(u^1,u^2)$ в точке $P$.

 \definition {Определение}
Точки, в которых $K=0$, называются параболическими точками поверхности
$M$.
 \enddefinition
 \proclaim {Задача}
Найти эллиптические, гиперболические и параболические точки

a) на торе;

b) на эллипсоиде, гиперболоиде, параболоиде;

c) на гиперболическом цилиндре;

d) на поверхности $z=f(\sqrt{x^2-y^2})$.

 \endproclaim
\enddocument

