%#AMSTEX#R# - MultiEdit label should be on the 1st line in the file
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Утверждения %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\def\Remark#1{\remark{#1}}
\def\endRemark{\endremark\medskip}
\def\proof{\demo{Доказательство}}
\def\endproof{$\square$\enddemo}
\def\Proof#1{\demo{Доказательство\ #1}}
\def\endProof{$\square$\enddemo}


%%%%%%%%%%%%%%%%% Руссификация элементов из topmatter %%%%%%%%%%%%%%%%%
\catcode`\@=11
\def\abstract{\let\savedef@\abstract
 \def\abstract{\let\abstract\savedef@
  \setbox\abstractbox@\vbox\bgroup\noindent$$\vbox\bgroup
  \def\envir@end{\endabstract}\advance\hsize-2\indenti
  \def\usualspace{\enspace}\eightpoint \noindent
  \frills@{{\smc Аннотация.\enspace}}}%
 \nofrillscheck\abstract}

\def\endabstract{\par\unskip\egroup$$\egroup}

\def\keywords{\let\savedef@\keywords
  \def\keywords##1\endkeywords{\let\keywords\savedef@
  \toks@{\def\usualspace{{\it\enspace}}\eightpoint}%
  \toks@@{##1\unskip.}%
  \edef\thekeywords@{\the\toks@\frills@{{\noexpand\it
    Ключевые слова и выражения.\noexpand\enspace}}\the\toks@@}}%
 \nofrillscheck\keywords}

\def\email{\let\savedef@\email
  \def\email##1\endemail{\let\email\savedef@
  \toks@{\def\usualspace{{\it\enspace}}\endgraf\indent\eightpoint}%
  \toks@@{##1\par}%
  \expandafter\xdef\csname email\number\addresscount@\endcsname
  {\the\toks@\frills@{{\noexpand\it E-mail\noexpand\/}:%
     \noexpand\enspace}\the\toks@@}}%
  \nofrillscheck\email}

\catcode`\@=12

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Рисунки %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Как использовать:
%  \Pic{new01}{Это --- первый рисунок}{fig:f}
%  \BigPic{new02}{new03}{Это --- еще один, но большой, рисунок}{fig:b}
%      new01,new02,new03 - имена pcx-файлов, без расширения

%% these are for 240DPI
%\newdimen\pcxht    \pcxht 55mm
%\newdimen\pcxwd    \pcxwd 67mm
%\newdimen\spcxwd   \spcxwd\textwidth
%\advance\spcxwd by -\pcxwd

%% these are for 300DPI mag = 1200
\newdimen\pcxht    \pcxht 33mm
\newdimen\pcxwd    \pcxwd 45mm
\newdimen\spcxwd   \spcxwd\pcxwd

%% these are for 300DPI mag = 1000
%\newdimen\pcxht    \pcxht 40mm
%\newdimen\pcxwd    \pcxwd 54mm
%\newdimen\spcxwd   \spcxwd\pcxwd


 \def\Pic#1#2{
   \midinsert
     \noindent
     \hbox to \hsize{\hfill
       \hbox to \pcxwd {\special{em:graph #1.pcx}\hfil}
     \hfill}
     \vskip\pcxht
     \centerline{#2}
  \endinsert
 }

 \def\BigPic#1#2#3{
   \midinsert
     \noindent
     \hbox to \hsize{\hfill
       %\hbox to \shiftwd {}
       \hbox to \pcxwd {\special{em:graph #1.pcx}\hfil}\!%
       \hbox to \spcxwd{\special{em:graph #2.pcx}\hfil}
     \hfill}
     \vskip\pcxht
     \centerline{#3}
  \endinsert
 }

\def\a{\alpha}
\def\b{\beta}
\def\g{\gamma}
\def\e{\varepsilon}
\def\f{\varphi}
\def\op{\operatorname}
\def\o{\overset{1}\to}
\def\oo{\overset{2}\to}
\def\d{\delta}
\def\s{\sigma}
\def\t{\tau}
\def\w{\widetilde}
\def\ss{\operatorname{sgn}}
\def\L{\Lambda}
\def\om{\omega}
\def\Om{\Omega}
\def\De{\Delta}
\def\pa{\partial}
\def\dd{\overset{..}\to}

\NoBlackBoxes
\NoRunningHeads
\TagsOnRight


\document

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \head Лекция 1. Плоские кривые. \endhead
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \subhead 1. Способы задания кривых \endsubhead
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Всюду в этой лекции мы рассматриваем плоскость $\Bbb R^2$ со стандартными
евклидовыми координатами $(x,y)$.

Из курса анализа известен простейший способ задания гладкой кривой на
плоскости --- в виде графика. Именно, пусть $f(x)$ --- гладкая функция,
заданная на отрезке или интервале оси $x$.

 \definition {Определение}
Множество точек плоскости, координаты $(x,y)$ которых связаны равенством
$y=f(x)$ называется кривой--графиком. Совершенно
аналогично определяются кривые $x=\f(y)$, являющиеся графиками
функций переменной $y$.

 \enddefinition

Ясно, что не любая кривая на плоскости может быть задана в
виде графика.  Действительно, если кривая --- график, то любая прямая,
параллельная оси $Oy$, пересекает ее не более, чем в одной точке
(координаты точки пересечения с прямой $x=x_0$ имеют вид $(x_0, f(x_0))$,
где $x_0$ принадлежит области определения функции $f$). С другой стороны,
далеко не любая кривая на плоскости обладает этим свойством; простейший
пример --- окружность $x^2+y^2=1$ (любая вертикальная прямая $x=x_0,\quad
x_0<1$ пересекает эту окружность в двух точках --- $(x_0,\sqrt{1-x_0^2})$ и
$(x_0,-\sqrt{1-x_0^2})$).  Естественно поэтому рассмотреть и другие
способы задания кривых; один из них подсказывается предыдущим примером.
Именно, пусть $F(x,y)$ --- гладкая функция двух переменных, причем во всех
точках плоскости, в которых $F(x,y)=0$, хотя бы одна частная производная
$\pa F/\pa x$ или $\pa F/\pa y$ отлична то нуля.

 \definition {Определение}
Множество точек
плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению $F(x,y)=0$,
называется неявно заданной кривой.
 \enddefinition

Рассмотрим, наконец, третий (и самый удобный) способ задания кривой ---
параметрический. Именно, будем представлять себе кривую на плоскости как
траекторию движения точки в течение некоторого
промежутка времени $t$. Закон движения точки определяется парой
гладких функций $x(t),y(t)$, описывающих изменение координат.  При
фиксированном $t$ имеем точку плоскости с координатами $(x(t),y(t))$; при
изменении $t$ эта точка описывает некоторую кривую.

 \definition {Определение}
Регулярная кривая, заданная параметрически --- это множество точек
плоскости вида $x=x(t),y=y(t)$, где $x(t),y(t)$ --- гладкие функции,
заданные на отрезке или интервале, причем при всех $t$ из этого отрезка
$(x^\prime)^2+(y^\prime)^2\neq 0$.
 \enddefinition

Мы будем кратко записывать параметрические уравнения кривой в виде
$r=r(t)$, где $r=(x,y)$ --- радиус--вектор точки плоскости,
$r(t)=(x(t),y(t))$ --- зависящий от $t$ двумерный вектор.

\proclaim {Предложение }
Три описанных способа задания кривых локально эквивалентны, т.е.
множество точек плоскости, заданное одним из этих способов, в достаточно
малой окрестности любой его точки можно задать и любым другим способом.
 \endproclaim
 \proof
1. Если множество задано как график функции $y=f(x)$, то оно задается
неявным уравнением $y-f(x)=0$ и параметрическими уравнениями $x=t,\quad
y=f(t)$.

2. Если множество задано неявным уравнением $F(x,y)=0$, то, по теореме о
неявной функции, в окрестности каждой его точки одна из координат может
быть выражена через другую, т.е. существует гладкая функция $f(x)$ (или
$\f(y)$), такая, что наше множество задается как график этой функции.
Согласно уже доказанному, в этой окрестности множество задается и
параметрически.

3. Пусть кривая задана параметрически. В окрестности каждой ее точки
хотя бы одна из производных $x^\prime(t), y^\prime(t)$ не обращается в
нуль (пусть для определенности это производная $x^\prime$). По теореме об
обратной функции существует гладкая функция $t=t(x)$, обратная к $x(t)$.
Подставляя эту функцию во второе параметрическое уравнение, получаем
задание кривой в виде графика $y=f(x)$, где $f(x)=y(t(x))$ (и,
одновременно, неявным уравнением $y-f(x)=0$).
\endproof

Всюду ниже мы будем использовать параметрический способ задания кривой.

\definition {Определения}
Гладкой кривой на плоскости называется гладкое отображение отрезка $[a,b]$
в плоскость $\Bbb R^2$, т.е. вектор-функция  $r=r(t)$, где координаты
$(x(t),y(t))$ вектора $r(t)$ - бесконечно дифференцируемые функции,
заданные на отрезке $[a,b]$. Вектор $r^\prime$ называется вектором
скорости кривой. Гладкая кривая называется регулярной, если ее вектор
скорости не обращается в нуль.
 \enddefinition

\Remark {Замечание 1}
Одно и то же множество точек плоскости может быть задано разными
параметрическими уравнениями (например, уравнения $x=t,y=2t$ и $x=3t,y=6t$
задают одно и то же множество --- прямую $y=2x$). Согласно приведенному
выше определению, разные параметрические задания определяют {\it разные}
кривые (совпадают лишь образы соответствующих отображений, но не сами
отображения); с точки зрения дальнейших обобщений такое определение
удобнее. В то же время, более ``классический'' взгляд на геометрию кривых
состоит в том, чтобы изучать именно геометрические объекты, т.е. образы
соответствующих отображений. Ниже, там, где это не приведет к
недоразумениям, мы будем употреблять термин ``кривая''  также и для образа
гладкого отображения отрезка.
 \endRemark

 \Remark {Замечание 2}
Условие $r^\prime\neq 0$ имеет следующий механический
смысл: движение точки по нашей кривой не останавливается. Геометрический
смысл этого условия состоит в отсутствии на кривой точек излома
или возврата типа острия; в качестве примера рассмотрим кривую
$x=t^2,y=t^3$, изображенную на рис. 1.  У этой кривой имеется точка
возврата в начале координат; это как раз та точка, в которой
$x^\prime=y^\prime=0$.
 \endRemark

 % \Pic{file_name}{caption}
\Pic{Fig1.pcx}{Рис.1. Кривая $x=t^2,\quad y=t^3$}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \subhead 2. Длина дуги кривой. Натуральный параметр \endsubhead
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Как уже отмечалось, одно и то же множество точек можно задавать разными
параметрическими уравнениями; разные
параметрические задания одной кривой можно получать, делая гладкие
монотонные замены параметра по формуле $t=\f(\t)$, где $\f$ --- бесконечно
дифференцируемая монотонная функция. Физический смысл такой замены ---
изменение скорости движения точки по кривой (отметим, что, если делать не
монотонные замены, то на кривой, вообще говоря, появятся точки с нулевой
скоростью движения).  В частности, на регулярной кривой всегда можно
выбрать параметр так, чтобы эта скорость была равна единице (т.е. за
единицу времени точка проходила бы дугу единичной длины).  Такой параметр
называется натуральным; чтобы ввести его формулой, определим сперва длину
дуги кривой.

 \definition {Определение}
Длиной дуги $l$ кривой $r=r(t)$ между точками, заданными значениями
параметра $t_1$ и $t_2,\quad t_1<t_2$ называется число
 $$
l=\int_{t_1}^{t_2}|r^\prime(t)|dt=
\int_{t_1}^{t_2}\sqrt{(x^\prime)^2+(y^\prime)^2}dt.
 $$
 \enddefinition

 \Remark {Замечание 1}
Из формулы замены переменной в определенном интеграле следует,
что это определение не зависит от выбора параметра $t$:  если
$t=\f(\tau)$, где $\f$ - возрастающая гладкая функция, то
 $$
\int_{t_1}^{t_2}|\frac{dr}{dt}|dt=\int_{\t_1}^{\t_2}|\frac{dr}{d\t}|d\t
 $$
 \endRemark
 \Remark {Замечание 2}
С физической точки зрения, приведенное определение совершенно
естественно; $ |r^\prime|dt$ - путь, пройденный точкой за бесконечно малый
промежуток времени $dt$.
 \endRemark
 \Remark {Замечание 3}
В анализе принято другое определение длины кривой. Именно, длина
определяется как предел длин вписанных в кривую ломаных при стремлении к
нулю длины максимального звена ломаной. При таком определении длины дуги
приведенная выше формула превращается в теорему, доказываемую стандартной
аналитической техникой (длины ломаных мало отличаются от интегральных
сумм для выписанного интеграла; строгое доказательство состоит в
аккуратной оценке остатка).
 \endRemark

Теперь мы можем определить натуральную параметризацию регулярной кривой
$r=r(t)$.  Зафиксируем точку $t_0$ и будем задавать точку, отвечающую
значению параметра $t>t_0$ новым параметром $s$, равным длине дуги кривой
между точками $t_0$ и $t$:
 $$
s(t)=\int_{t_0}^{t}|\frac{dr}{dt}|dt.
 $$
Точки, для которых $t<t_0$, будем задавать параметром $s$, определенным по
той же формуле; очевидно, это будет длина дуги, взятая со знаком ``минус''.

 \definition {Определение}
Параметр $s$ называется натуральным параметром на кривой; задание кривой
уравнениями $r=r(s)$ называется ее натуральной
параметризацией.
 \enddefinition

 \Remark {Замечание}
Очевидно, если кривая задана своей натуральной параметризацией, то длина
вектора скорости $dr/ds$ равна единице; это и означает, что движение по
кривой происходит с единичной скоростью. Далее всюду мы будем обозначать
точкой производную по натуральному параметру $s:\dot f=df/ds$.
 \endRemark

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subhead 3. Касательная и нормаль к кривой \endsubhead
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Займемся теперь изучением локальных свойств кривых. Пусть задана гладкая
регулярная кривая $r=r(t)$; зафиксируем на ней точку, отвечающую значению
параметра $t_0$. Самую грубую информацию о локальном устройстве кривой
вблизи точки дает касательная --- она указывает направление движения в
этой точке.
 \definition {Определение}
Касательной к кривой $r=r(t)$ в точке $t_0$ называется предельное
положение секущей, проходящей через точки $t_0$ и $t_0+\De t$ при $\De
t\to 0$. Точнее, касательная --- это прямая, проходящая через точку
$t_0$, причем ее единичный направляющий вектор равен пределу
единичных направляющих векторов этих секущих.
 \enddefinition

 \proclaim {Утверждение }
 Направляющим вектором касательной к кривой $r=r(t)$ в точке $t_0$
является ее вектор скорости $r^\prime(t_0)$; уравнение касательной имеет
вид $r= r^\prime(t_0)\t +r(t_0)$, где $\t\in R$ - параметр на ней.
 \endproclaim

 \proof
Единичный направляющий вектор секущей равен
$$
\frac{r(t_0+\De
t)-r(t_0)}{|r(t_0+\De t)-r(t_0)|}\op{sgn}(\De t)
$$
При $\De t\to 0$ этот вектор,
очевидно, непрерывен (напомним, что $r^\prime\neq 0$ на нашей кривой) и его
предел равен $r^\prime(t_0)/|r^\prime(t_0)|$. Таким образом, вектор $r^\prime
(t_0)$ --- направляющий вектор касательной; ее уравнение теперь пишется по
известным правилам аналитической геометрии.
 \endproof

 \Remark {Замечание}
Очевидно, канонические уравнения касательной имеют вид
$$
\frac{x-x(t_0)}{x^\prime(t_0)}=\frac{y-y(t_0)}{y^\prime(t_0)}.
$$
 \endRemark

 \definition {Определение}
Нормалью к кривой в точке $t_0$ называется прямая, проходящая через эту
точку и перпендикулярная касательной в ней.
 \enddefinition
Ясно, что направляющий вектор нормали получается поворотом направляющего
вектора касательной на $\pi/2$, т.е. имеет вид
$(-y^\prime(t_0),x^\prime(t_0))$; уравнения нормали имеют вид $$
\frac{x-x(t_0)}{y^\prime(t_0)}+\frac{y-y(t_0)}{x^\prime(t_0)}=0.  $$

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \subhead 4. Соприкасающаяся окружность. Кривизна плоской кривой
\endsubhead
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Касательная и нормаль описывают поведение кривой вблизи точки с точностью
до бесконечно малых первого порядка; другими словами, векторы скорости
движения по кривой  и по касательной в данной точке совпадают, если
параметры выбрать натуральными. Изучим теперь нашу кривую с точностью до
бесконечно малых второго порядка, т.е.  попробуем найти для каждой точки
$t_0$ другую кривую возможно более простого вида, движение по которой
имеет с нашей кривой общую скорость и общее ускорение в этой точке. Прежде
чем это делать, приведем аккуратное определение того, что мы понимаем под
``совпадением кривых с точностью до бесконечно малых $k$--го порядка''.

 \definition {Определение}
Две гладкие регулярные кривые называются касающимися в точке $P$, если обе
они проходят через эту точку и имеют в ней одну и ту же касательную.
 \enddefinition

Ясно, что две кривые касаются в точке $P$ тогда и только тогда, когда на
этих кривых можно выбрать натуральные параметры таким образом, что векторы
скорости кривых в точке $P$ совпадут. Далее будем считать, что кривые
параметризованы именно таким способом; пусть $r=r(s)$ и $r=\rho(s)$
--- параметрические уравнения касающихся кривых, причем точка касания
соответствует значению параметра $s=0$.

 \definition {Определение}
Две касающиеся кривые имеют в точке $s=0$ касание порядка $k$, если
выполнены равенства
 $$
r(0)=\rho(0),\quad\frac{dr}{ds}(0)=\frac{d\rho}{ds}(0),\dots,\frac{d^k
r}{ds^k}(0)=\frac{d^k\rho}{ds^k}(0).
 $$
 \enddefinition

В частности, две кривые имеют касание второго порядка, если совпадают их
скорости и ускорения.  Оказывается, регулярная кривая имеет в каждой точке
касание второго порядка с некоторой окружностью. При доказательстве этого
факта нам понадобится одно простое вспомогательное утверждение, которое
будет неоднократно использоваться в дальнейшем.

\proclaim {Лемма }
Пусть $a(t)$ --- гладкая вектор--функция, принимающая значения в
евклидовом пространстве $\Bbb R^n$, причем длина
вектора $a(t)$ постоянна (не зависит от $t$).  Тогда вектор $da(t)/dt$ при
всех $t$ ортогонален вектору $a(t)$.
 \endproclaim
 \proof
Дифференцируя равенство
 $$
(a(t),a(t))=|a|^2=\op{const.},
 $$
получаем
 $$
2(a(t),\frac{da(t)}{dt})=0,
 $$
что и требовалось.
 \endproof

 \proclaim {Теорема }
Пусть $\g:r=r(s)$ --- регулярная кривая, причем в точке $s=s_0$ вектор
ускорения $\dd r(s_0)\neq 0$. Тогда существует единственная окружность,
имеющая с кривой $\g$ касание второго порядка в этой точке; центр этой
окружности лежит на нормали к $\g$ в направлении вектора ускорения, а ее
радиус равен $|\dd r(s_0)|^{-1}$.
 \endproclaim
 \definition {Определение}
Эта окружность называется {\it соприкасающейся окружностью} к кривой $\g$
в точке $s_0$. Ее радиус называется {\it радиусом кривизны} кривой.
 \enddefinition
 \proof
Нам надо найти окружность, имеющую с кривой $\g$ в точке $s_0$ общие
векторы скорости и ускорения. Чтобы это сделать, найдем скорость и
ускорение окружности радиуса $R$. Вектор скорости, конечно, направлен по
касательной к окружности, и его длина равна единице, если параметр
натуральный. Далее, по приведенно лемме вектор ускорения ортогонален
вектору скорости (т.к. последний имеет постоянную длину), т.е. направлен
вдоль диаметра окружности. Подсчитаем его длину и направление. Натуральная
параметризация окружности радиуса $R$ с центром в точке $x_0,y_0$ имеет
вид $r=(x_0+R\op{cos}(s/R),y_0+R\op{sin}(s/R))$ (проверьте!); дважды
дифференцируя, получаем вектор ускорения
$$
\dd r= -\frac1{R}(\op{cos}(s/R),\op{sin}(s/R)),
$$
т.е. этот вектор направлен из точки окружности к ее центру, причем его
длина $|\dd r|=R^{-1}$. Отсюда сразу же следует утверждение теоремы;
действительно, чтобы векторы скорости и ускорения кривой $\g$ и некоторой
окружности совпали, необходимо и достаточно, чтобы центр окружности лежал
в направлении вектора ускорения кривой $\g$, отложенного от общей точки
этих кривых, а ее радиус равнялся $|\dd r|^{-1}$ (напомним, что, в силу
леммы, вектор ускорения кривой $\g$ направлен по нормали к ней, т.к.
параметр натуральный). Этими данными окружность задается однозначно.
 \endproof

 \Remark {Замечание}
Если в данной точке кривой $\dd r=0$, то соприкасающаяся окружность
вырождается в прямую; ее радиус при этом считается равным бесконечности.
 \endRemark

 \definition {Определение}
Величина $k(s_0)=R^{-1}=|\dd r(s_0)|$ называется кривизной кривой в точке
$s_0$.
 \enddefinition

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \subhead 5. Вектор нормали к кривой. Плоские формулы Френе \endsubhead
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Пусть в некоторой точке кривой вектор ускорения $\dd r$ отличен от нуля;
тогда он ортогонален единичному вектору скорости $v=\dot r$. Из этих двух
векторов можно построить ортонормированный репер, если отнормировать вектор
ускорения.

 \definition {Определение}
Вектором $n$ нормали к кривой в точке $s_0$ называется вектор $|\dd
r(s_0)|^{-1}\dd r(s_0)=k^{-1}(s_0)\dd r(s_0)$, где $k(s)$ - кривизна
кривой.
 \enddefinition

Из определения вектора нормали немедленно следует формула для
производной вектора скорости $\dot v(s)=k(s)n(s)$. Нетрудно выразить через
векторы $v,n$ и производную от $n$. Для этого заметим, что, по доказанной
выше лемме, вектор $\dot n$ ортогонален вектору $n$, т.е.  $\dot
n=cv,\quad c\in R$.  Продифференцируем теперь равенство $(v,n)=0$; получим
$(\dot v,n)+(v,\dot n)=0$, откуда $k+c=0$, т.е. $c=-k$.  Итак,
окончательно для производных репера $(v,n)$ получаем формулы
 $$
 \dot v(s)=k(s)n(s),\quad \dot n(s)=-k(s)v(s).
 $$
Эти формулы называются плоскими формулами Френе. Они справедливы в любой
точке, в которой кривизна не равна нулю.

\Remark {Замечание}
Часто бывает удобно приписывать кривизне кривой знак, указывающий на
направление вектора ускорения относительно вектора скорости. Именно,
определим новую функцию $\w k(s)$, равную $k(s)$, если вращение от вектора
$\dot r$ к вектору $\dd r$ происходит против часовой стрелки, и $-k(s)$,
если вращение от $\dot r$ к $\dd r$ происходит по часовой стрелке. Функция
$\w k(s)$ обладает лучшими аналитическими свойствами, чем $k(s)$ --- она
бесконечно дифференцируема для любой гладкой кривой, в то время как
$k(s)$, вообще говоря, только непрерывна (это, конечно, происходит из-за
того, что $k=|\w k|$; в точке, в которой $\dd r=0$, график функции $k(s)$
имеет излом, если направление $\dd r$ при переходе через эту точку
меняется на противоположное). Если обозначить через $\w n(s)$ единичный
вектор $(-\dot y(s),\dot x(s))$, то для векторов $v,\w n$ будут
по-прежнему выполнены плоские формулы Френе (с заменой $k$ на $\w k$),
причем они будут иметь смысл всюду, в том числе и в нулях кривизны
(проверьте!).  Отметим, что функция $\w k(s)$ имеет естественный
геометрический (и механический) смысл; именно, если $\a(s)$ --- угол между
вектором скорости к кривой и фиксированным направлением (например, осью
$Ox$), то $$ \w k(s)=\frac{d\a}{ds} $$ (докажите!). Конечно, под углом
здесь понимается функция, совпадающая с углом с точностью до прибавления
слагаемого $2\pi m$ ($m$ - целое число); это слагаемое выбирается так,
чтобы функция $\a(s)$ была гладкой.

 \endRemark

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \head Задачи. \endhead
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \subhead Уравнения кривых \endsubhead
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

1. Произвольный луч OE пересекает в точках D и E окружность
 $$
x^2+(y-\frac{a}2)^2=\frac{a^2}4
 $$
и касательную к ней, проходящую через точку C, диаметрально
противоположную O. Через точки D и E проведены прямые, параллельные
соответственно осям Ox и Oy, до пересечения в точке M. Составить
уравнение кривой, образованной точками M (локон Аньези).

2. Точка M равномерно движется по прямой ON, равномерно вращающейся вокруг
точки O. Составить уравнение траектории точки M (спираль Архимеда).

3. Прямая OL вращается вокруг точки O с постоянной угловой скоростью, а
точка M движется по этой прямой со скоростью, пропорциональной расстоянию
$|OM|$. Составить уравнение траектории точки M.

4. Круг катится по прямой без скольжения. Составить уравнение траектории
точки, жестко связанной с кругом и находящейся на расстоянии $d$ от его
центра (циклоида, удлиненная или укороченная).

5. Окружность катится по другой окружности (с внешней или с внутренней
стороны). Составить уравнение траектории точки на катящейся окружности
(эпи- или гипоциклоида).

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \subhead Нормаль, касательная, кривизна \endsubhead
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

6. Составить уравнения касательной и нормали к кривой

 $$
\aligned
&a)\quad r=(a\op{cos}t,b\op{sin}t);\\
&b)\quad r=(\frac{a}{2(t+1/t)},\frac{b}{2(t-1/t)});\\
&c)\quad r=(a\op{cos}^3t,a\op{sin}^3t);\\
&d)\quad r=(a(1-\op{cos}t),a(t-\op{sin}t));\\
&e)\quad r=(\frac12t^2-\frac14t^4,\frac12t^2+\frac13t^3);\\
&f)\quad r=(at\op{cos}t,at\op{sin}t);
\endaligned
 $$

7. Найти кривизну кривой
 $$
\aligned
&a)\quad y=a\op{ch}(x/a);\\
&b)\quad \rho=a\f;\\
&c)\quad \rho=a(1+\op{cos}\f);\\
&d)\quad r=(a\op{cos}^3t,a\op{sin}^3t);\\
&e)\quad r=(a(2\op{cos}t+t\op{sin}t),a(\op{sin}t-t\op{cos}t));
\endaligned
 $$
здесь $\rho,\f$ - полярные координаты на плоскости.

8. Найти кривизну кривой, заданной неявным уравнением $F(x,y)=0$.

9. Найти все кривые с постоянной кривизной.

10. Шириной замкнутой выпуклой плоской кривой  $l$ в направлении вектора
$a$ называется точная нижняя грань расстояний между двумя параллельными
прямыми, перпендикулярными $a$, и такими, что $l$ целиком содержится в
полосе, ограниченной этими прямыми. Говорят, что кривая имеет постоянную
ширину $d$, если ее ширина в любом направлении равна $d$. Доказать, что в
этом случае длина кривой $l$ равна $\pi d$ (предполагается, что кривая
состоит из одного куска).  Привести пример кривой постоянной ширины,
отличной от окружности.
\enddocument

