%#AMSTEX#R# - MultiEdit label should be on the 1st line in the file
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Утверждения %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\def\Remark#1{\remark{#1}}
\def\endRemark{\endremark\medskip}
\def\proof{\demo{Доказательство}}
\def\endproof{$\square$\enddemo}
\def\Proof#1{\demo{Доказательство\ #1}}
\def\endProof{$\square$\enddemo}


%%%%%%%%%%%%%%%%% Руссификация элементов из topmatter %%%%%%%%%%%%%%%%%
\catcode`\@=11
\def\abstract{\let\savedef@\abstract
 \def\abstract{\let\abstract\savedef@
  \setbox\abstractbox@\vbox\bgroup\noindent$$\vbox\bgroup
  \def\envir@end{\endabstract}\advance\hsize-2\indenti
  \def\usualspace{\enspace}\eightpoint \noindent
  \frills@{{\smc Аннотация.\enspace}}}%
 \nofrillscheck\abstract}

\def\endabstract{\par\unskip\egroup$$\egroup}

\def\keywords{\let\savedef@\keywords
  \def\keywords##1\endkeywords{\let\keywords\savedef@
  \toks@{\def\usualspace{{\it\enspace}}\eightpoint}%
  \toks@@{##1\unskip.}%
  \edef\thekeywords@{\the\toks@\frills@{{\noexpand\it
    Ключевые слова и выражения.\noexpand\enspace}}\the\toks@@}}%
 \nofrillscheck\keywords}

\def\email{\let\savedef@\email
  \def\email##1\endemail{\let\email\savedef@
  \toks@{\def\usualspace{{\it\enspace}}\endgraf\indent\eightpoint}%
  \toks@@{##1\par}%
  \expandafter\xdef\csname email\number\addresscount@\endcsname
  {\the\toks@\frills@{{\noexpand\it E-mail\noexpand\/}:%
     \noexpand\enspace}\the\toks@@}}%
  \nofrillscheck\email}

\catcode`\@=12

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Рисунки %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Как использовать:
%  \Pic{new01}{Это --- первый рисунок}{fig:f}
%  \BigPic{new02}{new03}{Это --- еще один, но большой, рисунок}{fig:b}
%      new01,new02,new03 - имена pcx-файлов, без расширения

%% these are for 240DPI
%\newdimen\pcxht    \pcxht 55mm
%\newdimen\pcxwd    \pcxwd 67mm
%\newdimen\spcxwd   \spcxwd\textwidth
%\advance\spcxwd by -\pcxwd

%% these are for 300DPI mag = 1200
\newdimen\pcxht    \pcxht 33mm
\newdimen\pcxwd    \pcxwd 45mm
\newdimen\spcxwd   \spcxwd\pcxwd

%% these are for 300DPI mag = 1000
%\newdimen\pcxht    \pcxht 40mm
%\newdimen\pcxwd    \pcxwd 54mm
%\newdimen\spcxwd   \spcxwd\pcxwd


 \def\Pic#1#2{
   \midinsert
     \noindent
     \hbox to \hsize{\hfill
       \hbox to \pcxwd {\special{em:graph #1.pcx}\hfil}
     \hfill}
     \vskip\pcxht
     \centerline{#2}
  \endinsert
 }

 \def\BigPic#1#2#3{
   \midinsert
     \noindent
     \hbox to \hsize{\hfill
       %\hbox to \shiftwd {}
       \hbox to \pcxwd {\special{em:graph #1.pcx}\hfil}\!%
       \hbox to \spcxwd{\special{em:graph #2.pcx}\hfil}
     \hfill}
     \vskip\pcxht
     \centerline{#3}
  \endinsert
 }

\def\a{\alpha}
\def\b{\beta}
\def\g{\gamma}
\def\e{\varepsilon}
\def\f{\varphi}
\def\op{\operatorname}
\def\o{\overset{1}\to}
\def\oo{\overset{2}\to}
\def\d{\delta}
\def\s{\sigma}
\def\k{\varkappa}
\def\t{\tau}
\def\w{\widetilde}
\def\ss{\operatorname{sgn}}
\def\L{\Lambda}
\def\om{\omega}
\def\Om{\Omega}
\def\De{\Delta}
\def\pa{\partial}
\def\dd{\overset{..}\to}
\def\ddd{\overset{...}\to}
\NoBlackBoxes
\NoRunningHeads
\TagsOnRight


\def\F{\Phi}
\document
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \head Лекция 2. Пространственные кривые. \endhead
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \subhead 1. Уравнения кривой. Касательная, нормальная плоскость, кривизна
\endsubhead
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Рассмотрим теперь кривые в трехмерном пространстве с евклидовыми
координатами $(x,y,z)$. Через $r$ будем, как и ранее, обозначать
радиус-вектор точки. Кривые в трехмерном пространстве можно, как и на
плоскости, задавать параметрическими уравнениями $r=r(t)$.

 \definition {Определение}
Гладкой регулярной пространственной кривой называется гладкое
отображение $r=r(t)$ отрезка в трехмерное пространство, причем вектор
скорости $r^\prime(t)\neq 0$.
 \enddefinition

Так же, как и в плоском случае, на кривой можно заменять параметр при
помощи гладких монотонных функций $t=t(\tau)$. В частности, всегда можно
выбрать параметр так, чтобы скорость движения по кривой была равна
единице. Чтобы явно ввести этот параметр, определим сперва длину дуги
кривой (она определяется точно так же, как и для плоских кривых).

 \definition {Определение}
Пусть $t_1,t_2$ -две точки на кривой $r=r(t),\quad t_1<t_2$. Длиной дуги
кривой, заключенной между точками $t_1,t_2$, называется число
 $$
l=\int_{t_1}^{t_2}|r^\prime(t)|dt=\int_{t_1}^{t_2}\sqrt{(x^\prime(t))^2+
(y^\prime(t))^2+(z^\prime(t))^2}dt.
 $$
 \enddefinition

Теперь натуральный параметр $s$ определяется аналогично плоскому случаю.
Именно, на кривой фиксируется точка $t_0$ и значение параметра $s$ в точке
$t$ полагается равным длине дуги между точками $t_0,t$ с соответствующим
знаком:
 $$
s(t)= \int_{t_0}^{t}|r^\prime(t_1)|dt_1.
 $$

Ясно, что, если кривая задана в натуральной параметризации, то $|\dot
r|=|dr/ds|=1$.

Касательная к пространственной кривой в точке $t_0$ определяется точно так
же, как к плоской; ее уравнения имеют такой же вид
 $$
r=r^\prime(t_0)\tau+r(t_0).
 $$
Первое различие между плоскими и пространственными кривыми возникает при
рассмотрении нормали: в плоском случае через данную точку кривой
перпендикулярно касательной проходит ровно одна прямая, а
в пространственном случае --- бесконечно много; все они лежат в одной
плоскости, называемой {\it нормальной плоскостью к кривой}. Уравнение
нормальной плоскости к кривой в точке $t_0$, очевидно, имеет вид
 $$
(r-r(t_0),r^\prime(t_0))=(x-x(t_0))x^\prime(t_0)+(y-y(t_0))y^\prime(t_0)
+(z-z(t_0))z^\prime(t_0)=0.
 $$

Кривизна пространственной кривой определяется аналогично плоскому случаю.
Именно, пусть $r=r(s)$ - натуральная параметризация; поскольку $|\dot
r|=1$, ускорение при движении по кривой чисто центростремительно, т.е.
$\dd r\perp\dot r$. Длина этого вектора и называется кривизной
пространственной кривой:
 $$
k(s)=|\dd r(s)|.
 $$
 \proclaim {Задача}
Соприкасающейся окружностью к пространственной кривой в точке $s_0$
называется окружность, имеющая с кривой в точке $s_0$ касание второго порядка. Доказать, что
центр соприкасающейся окружности лежит на прямой, проходящей через данную
точку кривой в направлении вектора $\dd r(s_0)$, а ее радиус равен
$1/|k(s_0)|$.
 \endproclaim

 \Remark {Замечание}
Плоскость векторов $\dot r,\dd r$ называется {\it соприкасающейся
плоскостью к кривой}.
 \endRemark

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subhead 2. Формулы Френе в трехмерном пространстве. Кручение кривой
\endsubhead
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Пусть в точке $s$ пространственной кривой $\dd r\neq 0$.
Тогда, поделив этот вектор на его длину (т.е. на кривизну кривой в данной
точке) получим единичный вектор, перпендикулярный касательной.
 \definition {Определение}
Этот вектор называется вектором главной нормали к кривой в данной точке;
по определению, он равен $\dd r/k$.
 \enddefinition
 \proclaim {Обозначения}
Единичный вектор скорости $\dot r$ в точке $s$ обозначается через $v(s)$,
а вектор главной нормали --- через $n(s)$.
 \endproclaim

Из определения вектора главной нормали немедленно следует формула $\dot
v(s) = k(s)n(s)$, аналогичная формуле Френе в плоском случае. Однако
вторая формула, определяющая производную от вектора $n$, будет уже другой;
это обстоятельство связано с тем, что в случае пространственной кривой
пара векторов $v,n$ не образует базиса в $R^3$ - векторов меньше, чем
надо. Однако эту пару векторов легко дополнить до
ортонормированного базиса, добавив к ним третий вектор --- их векторное
произведение.
 \definition {Определение}
Вектор $b(s)=v(s)\times n(s)$ называется вектором бинормали к кривой в
точке $s$; ортонормированная тройка $v,n,b$ называется репером Френе.
 \enddefinition

 \Remark {Замечание 1}
Репер Френе определен в тех точках кривой, в которых $\dd r\neq 0$ или,
другими словами, $k(s)\neq 0$.
 \endRemark

 \definition {Определение}
Кривая, кривизна которой не обращается
в нуль, называется бирегулярной.
 \enddefinition

 \Remark {Замечание 2}
На каждую пару векторов $v,n,b$  можно натянуть двумерную плоскость. Таким
образом, в каждой точке кривой определены три плоскости, проходящие через
эту точку. Две из них нам уже встречались: плоскость $n,b$ - это нормальная
плоскость к кривой, а плоскость $v,n$ - соприкасающаяся. Третья плоскость
(натянутая на векторы $v,b$) называется {\it спрямляющей плоскостью к
кривой в данной точке}.
 \endRemark

Рассмотрим теперь производные $\dot v,\dot n,\dot b$ векторов репера Френе
и выразим их через сами эти векторы. Для этого нам понадобится следующее
вспомогательное утверждение.

 \proclaim {Лемма }
Пусть $A(t)$ --- гладкая невырожденная при всех $t$ $n\times n$--матричная
функция и пусть $\F(t)=dA/dtA^{-1}$. Если матрица $A(t)$ при
всех $t$ ортогональна, то матрица $\F(t)$ кососимметрична (т.е.
$\F^T=-\F$). Обратно, если матрица $\F(t)$ кососимметрична при всех $t$ и
матрица $A$ ортогональна хотя бы при одном значении $t=t_0$, то эта
матрица ортогональна и при всех $t$.
 \endproclaim
 \proof
Дифференцируя произведение $(A^T)A$, получаем
 $$
\frac{d}{dt}(A^TA)=A^T\frac{dA}{dt}+\frac{dA^T}{dt}A=A^T\F
A+A^T\F^TA=A^T(\F+\F^T)A.
 $$
Отсюда вытекает утверждение леммы. Действительно, если матрица $A(t)$
ортогональна, левая часть равенства равна нулю (производная от единичной
матрицы), откуда $\F^T+\F=0$. Обратно, если матрица $\F$ кососимметрична,
то правая часть равенства равна нулю, т.е. матрица $(A^T)A$ не зависит от
$t$. Поэтому, если эта матрица единичная при $t=t_0$, то она единичная и
при всех $t$.
\endproof
\remark
{Замечание} В терминах теории линейных дифференциальных уравнений эту лемму можно
переформулировать следующим образом. Оператор Коши системы линейных дифференциальных
уравнений с кососимметричной матрицей является ортогональным, и наоборот, если
оператор Коши при всех $t$ ортогонален, то матрица системы кососимметрична.
\endremark

Перейдем теперь к доказательству формул Френе.

\proclaim {Теорема }
Имеют место формулы
 $$
\aligned
&\dot v(s)=k(s)n(s),\\
&\dot n(s)=-k(s)v(s)-\k(s)b(s),\\
&\dot b(s)=\k(s)n(s),
\endaligned
\tag 1
 $$
где $\k(s)$ - бесконечно дифференцируемая функция в любой точке кривой, в
которой $k(s)\neq 0$.
 \endproclaim
 \definition {Определение}
Число $\k(s)$ называется кручением пространственной кривой в точке $s$;
формулы (1) называются пространственными формулами Френе.
 \enddefinition
\proof
Составим из векторов--строк $v,n,b$ $3\times 3$--матрицу $A(s)$: Эта
 $$
A(s)=\pmatrix v_1&v_2&v_3\\n_1&n_2&n_3\\b_1&b_2&b_3\endpmatrix
 $$
матрица ортогональна, поскольку репер Френе ортонормирован. По только что
доказанной лемме, отсюда следует, что $\dot A=\F A$, где $\F$ ---
кососимметричная матрица. С другой стороны, поскольку $\dot v=k(s)n$,
первая строка матрицы $\F$ имеет вид $(0,k(s),0)$. Отсюда и из косой
симметрии следует, что
 $$
\F(s)=\pmatrix 0&k(s)&0\\-k(s)&0&-\k(s)\\0&\k(s)&0\endpmatrix,
 $$
где $\k(s)$ --- гладкая функция, что и требовалось.
 \endproof

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \subhead 3. Вычислительные формулы для кривизны и кручения \endsubhead
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Если кривая задана в натуральной параметризации, то ее кривизна легко
вычисляется: $k(s)=|\dd r(s)|$. Однако кривые бывают заданы в другой
параметризации; возникает вопрос: как в этом случае вычислить кривизну?
Конечно, можно сперва перейти к натуральному параметру, а затем применить
написанную выше формулу; однако переход от произвольного параметра к
натуральному требует вычисления неопределенных интегралов и обратных
функций, что, как правило, весьма затруднительно. Поэтому желательно иметь
явные формулы для кривизны (и кручения) кривой, заданной произвольной
параметризацией; оказывается, такие формулы нетрудно получить и они
содержат только операции дифференцирования и умножения.

 \proclaim {Предложение }
Пусть $r=r(t)$ - параметрические уравнения кривой. Тогда ее кривизна и
кручение вычисляются по формулам
 $$
\aligned
&k(t)=\frac{|r^\prime(t)\times r^{\prime\prime}(t)|}{|r^\prime(t)|^3},\\
&\k(t)=-\frac{<r^\prime(t),r^{\prime\prime}(t),r^{\prime\prime\prime}(t)>}
{|r^\prime(t)\times r^{\prime\prime}(t)|^2}.
\endaligned
$$
Выражение для кручения справедливо в тех точках кривой, в которых $\dd
r\neq 0$.
 \endproclaim
\proof
Получим сперва формулу для кривизны. Для
этого выразим производные вектора $r$ по параметру $s$ через его
производные по параметру $t$. Дважды дифференцируя, получаем
 $$
\dot r=r^\prime\frac{dt}{ds},\quad \dd r=r^{\prime\prime}(\frac{dt}{ds})^2+
r^\prime\frac{d^2t}{ds^2}.
\tag 2
 $$
Вычисляя векторное произведение скорости и ускорения, получаем
 $$
\dot r\times\dd r=|\frac{dt}{ds}|^3r^\prime\times r^{\prime\prime}.
$$
Из определения натурального
параметра получаем $ds/dt=|r^\prime|$, откуда следует, что
$dt/ds=|r^\prime|^{-1}$ (это - теорема о производной обратной функции;
напомним, что $r^\prime \neq 0$).
Таким образом, кривизна кривой имеет вид
 $$
k(s)=|\dd r|=|\dot r\times\dd r|=\frac{|r^\prime\times
r^{\prime\prime}|}{|r^prime|^3}.
 $$

Перейдем теперь к вычислению кручения. Вычислим его сперва как функцию
натурального параметра. Из второй формулы Френе имеем $\k=-(\dot
n,b)=-<\dot n, v, n>$. С другой стороны, $\dot n=(\dd r/k)^.=\ddd
r/k+\dd rd(k^{-1)}/ds$.
Из этих формул, с учетом параллельности векторов
$n$ и $\dd r$ получаем
 $$
\k=-\frac{<\ddd r,\dot r, n>}{k}=-\frac{<\dot r,\dd r,\ddd r>}{k^2}.
\tag 3
 $$
Поскольку формула для кривизны как функции произвольного параметра $t$ уже
получена, для вычисления кручения достаточно выразить через $t$ смешанное
произведение $<\dot r,\dd r,\ddd r>$. Для этого вычислим третью
производную $\ddd r$. Дифференцируя второе равенство в (2), получаем
 $$
\ddd
r=r^{\prime\prime\prime}(\frac{dt}{ds})^3+3r^{\prime\prime}\frac{dt}{ds}^2
\frac{d^2 t}{ds^2}+r^\prime\frac{d^3 t}{ds^3}.
 $$
Вычисляя смешанное произведение этого вектора, вектора скорости и
ускорения (см. (2)), получим
 $$
<\dot r,\dd r,\ddd r>=(\frac{dt}{ds})^6
<r^{\prime},r^{\prime\prime},r^{\prime\prime\prime}>=
\frac{<r^{\prime},r^{\prime\prime},r^{\prime\prime\prime}>}{|r^\prime|^6}.
 $$
Подставляя в (3) эту формулу вместе с уже доказанной формулой для
кривизны, немедленно получаем нужную формулу для кручения.
\endproof

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \subhead Восстановление кривой по кривизне и кручению. Натуральные
уравнения кривой \endsubhead
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Оказывается, кривизна и кручение однозначно определяют кривую с точностью
до ее расположения в пространстве.

\proclaim {Теорема}
Пусть $k(s)$ и
$\varkappa (s)$ --- гладкие функции и $k(s) > 0$. Тогда существует и
притом единственная (с точностью до движения $\Bbb R^3$) бирегулярная
пространственная кривая $r(s) = (x(s), y(s), z(s))$, параметризованная
гладким параметром $s$, такая, что функции $k(s)$ и $\varkappa (s)$
являются ее кривизной и кручением соответственно.
\endproclaim
\demo
{Доказательство} Рассмотрим дифференциальные уравнения, совпадающие по
своему виду с формулами Френе $$ \left( \matrix \dot v \\ \dot n \\ \dot b
\endmatrix \right) = \left( \matrix 0 & k & 0 \\ -k & 0 & \varkappa \\ 0 &
- \varkappa & 0 \endmatrix \right) \left( \matrix v \\ n \\ b \endmatrix
\right).  $$ Мы будем интерпретировать эти уравнения как матричное
уравнение (т.е.  линейное дифференциальное уравнение в 9--мерном
пространстве $3\times3$--матриц), представляя каждый из векторов $v, n, b$
как строку из их координат. Рассмотрим задачу Коши для этого
уравнения, задав при $s=0$ произвольную правую ортонормированную тройку
векторов $v_0,n_0,b_0$. Теорема существования и единственности решения
задачи Коши для систем линейных дифференциальных уравнений гарантирует
существование единственного гладкого решения $v(s),n(s),b(s)$ нашей задачи
при всех $s$, причем из  доказанной в п. 2 леммы вытекает, что эти три
вектора образую при всех $s$ правую ортонормированную тройку (матрица,
составленная из этих векторов, ортогональна при всех $s$). Рассмотрим
кривую в $\Bbb R^3$, заданную параметрическими уравнениями
 $$
r=r_0+\int_0^sv(u)du;
 $$
докажем, что кривизна и кручение этой кривой равны $k(s)$ и $\k(s)$
соответственно. Действительно, вектор скорости нашей кривой, очевидно,
равен $v(s)$; далее, сравнивая уравнение на вектор $v(s)$ с
первой формулой Френе, записанной для рассматриваемой кривой, получаем, что
$k(s)=|\dd r|$ и $n(s)$ --- вектор главной нормали. Отсюда сразу следует,
что $b(s)$ --- бинормаль (т.к. $b=v\times n$), а из сравнения уравнения на
этот вектор с третьей формулой Френе получаем, что $\k(s)$ --- кручение
нашей кривой. Итак, искомая кривая построена. Докажем, что она определена
однозначно с точностью до движения пространства. Пусть $\g_1,\g_2$ --- две
кривые, для которых $k(s)$ --- кривизна, а $\k(s)$ --- кручение.
Рассмотрим движение пространства $f$, совмещающее точки этих кривых с нулевым
значением параметра $s$ и переводящее репер Френе при $s=0$ кривой $\g_1$
в репер Френе при $s=0$ кривой $\g_1$ (такое движение, конечно, всегда
существует --- это композиция параллельного переноса, совмещающего
начальные точки и поворота вокруг этой общей точки, совмещающего реперы
Френе). Проверим, что такое движение {\it совмещает кривые $\g_2$ и $\g_1$
целиком}. Действительно, пусть $v(s),n(s),b(s)$ --- репер Френе любой из
кривых $g_1$, $f(\g_2)$. Поскольку матрица, составленная из этих векторов
удовлетворяет рассмотренной выше задаче Коши для системы линейных
дифференциальных уравнений, причем как уравнения, так и начальные условия
одинаковы для рассматриваемых двух кривых (при $s=0$ реперы Френе
совпадают по определению движения $f$), векторы скорости, нормали и
бинормали у кривых $\g_2$ и $f(\g_1)$ совпадают при всех $s$. Из
совпадения векторов скорости следует, что радиус--векторы $r(s)$ для этих
кривых отличаются на постоянный вектор ($\dot r=v(s)$), а поскольку при
$s=0$ точки наших двух кривых совпадают, этот вектор равен нулю, т.е.
целиком совпадают рассматриваемые кривые.
\enddemo

 \proclaim {Задача}
Сформулируйте аналогичное утверждение для плоской кривой и укажите явную
процедуру восстановления кривой, заданной ее функцией кривизны $k(s)$.
 \endproclaim

 \Remark {Замечание}
Теория кривых в евклидовом пространстве произвольной размерности $N$
строится аналогично трехмерному случаю. В точности так же определяются
вектор скорости, длина дуги, натуральный параметр, соприкасающаяся
окружность и кривизна. Различие проявляется при рассмотрении кручения:
каждой кривой в $N$-мерном можно сопоставить $N-2$ гладкие функции
(кручения) и ортонормированный репер (репер Френе), заданный в каждой
точке кривой. Формулы Френе в многомерном случае похожи на трехмерные:
производная от $k$-го вектора репера Френе выражается через $k-1$-й и
$k+1$-й векторы; коэффициенты и есть кручения (определения кручений и
репера Френе и вывод формул Френе в многомерном случае можно найти,
например, в книге А.С. Мищенко и А.Т. Фоменко ``Курс дифференциальной
геометрии и топологии'').
 \endRemark

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \head Задачи. \endhead
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

1. Найти репер Френе кривой $r=(t^2,1-t,t^3)$.

2. Найти кривизну и кручение кривой
 $$
\aligned
&a)\quad r=(t-\op{sin}t,1-\op{cos}t,4\op{sin}^2(t/2));\\
&b)\quad r=(e^t,e^{-t},t\sqrt2);\\
&c)\quad r=(2t,\op{ln}t,t^2);\\
&d)\quad r=(3t-t^3,3t^2,3t+t^3);\\
\endaligned
 $$

3. Найти все кривые с постоянными кривизной и кручением.

4. Доказать, что кривая плоская, если кручение равно нулю.

5. Доказать существование вектора Дарбу $\om$, т.ч.
 $$
\dot v=\om\times v,\quad\dot n=\om\times n,\quad\dot b=\om\times b.
 $$
Какой механический смысл имеет этот вектор?

6. Доказать, что следующие условия эквивалентны

a) касательные к кривой образуют постоянный угол с фиксированным
направлением;

a) главные нормали перпендикулярны фиксированному направлению;

с) бинормали образуют постоянный угол с фиксированным направлением;

d) отношение кривизны к кручению постоянно

(кривая, удовлетворяющая этим условиям, называется обобщенной
винтовой линией)

7. Доказать, что кривая -
обобщенная винтовая тогда и только тогда, когда $<\overset{..}\to
r,\overset{...}\to r,r^{(4)}>=0$.

8. Доказать, что, если все нормальные плоскости к кривой проходят через
одну точку, то кривая лежит на сфере.

9. Доказать, что кривая лежит на сфере тогда и только тогда, когда
 $$
\frac1{k^2}(1+\frac{\dot k^2}{k^2\k^2})=R^2.
 $$

10. Сфера $(r-r_0)^2=R^2$ называется соприкасающейся к кривой
$r=r(t)$ в точке $t_0$, если она имеет с кривой в этой точке касание
третьего порядка, т.е.
$$
(r(t)-r_0)^2-R^2=o((t-t_0)^3).
$$
Найти центр и радиус соприкасающейся сферы к заданной кривой в заданной
точке.  Доказать, что, если этот радиус постоянен, то кривая лежит на
сфере или имеет постоянную кривизну.

11. Доказать формулу
 $$
<\dot b,\overset{..}\to b,\overset{...}\to b>=\k^5(\frac{k}{\k})^{.}.
 $$
12. Ввести натуральный параметр на кривой
 $$
\aligned
&a)\quad r=(a\op{sin}t,a\op{cos}t,bt);\\
&b)\quad r=(e^t\op{cos}t,e^{t}\op{sin}t,e^t);\\
&c)\quad r=(\op{ch}t,\op{sh}t,t);
\endaligned
 $$

13. Написать уравнения касательной и нормальной плоскости к кривой,
заданной как пересечение поверхностей $F(x,y,z)=0$ и $\Phi(x,y,z)=0$.

14. Доказать, что кривая плоская и найти ее плоскость
 $$
\aligned
&a)\quad x=\frac{1+t}{1-t},\quad y=\frac{1}{1-t^2},\quad z=\frac{1}{1+t},\\
&b)\quad x=a_1t^2+b_1t+c_1,\quad y=a_2t^2+b_2t+c_2,\quad z=a_3t^2+b_3t+c_3.
\endaligned
 $$

15. Составить уравнение кривой пересечения сферы с цилиндром вдвое
меньшего радиуса, проходящего через центр сферы (кривая Вивиани). Написать
уравнения касательной, нормальной плоскости, соприкасающейся плоскости,
нормали и бинормали.

16. В каждой точке кривой
 $$
x=t-\op{sin}t,\quad y=1-\op{cos}t,\quad z=4\op{sin}(t/2)
 $$
в положительном направлении отложен отрезок, равный учетверенной кривизне
в этой точке. Написать уравнение соприкасающейся плоскости кривой,
описанной концом отрезка.

17. Кривая, лежащая на сфере и пересекающая меридианы под прямыми углами,
называется локсодромой. Найти уравнение локсодромы, ее репер Френе,
кривизну и кручение.

18. Когда точка движется по кривой, ее единичный вектор скорости
(главной нормали, бинормали), описывает линию на единичной сфере.
Эта линия называется касательным (нормальным, бинормальным)
сферическим образом кривой.
Доказать, что касательная к касательному
сферическому образу кривой параллельна касательной в соответствующей точке
к бинормальному сферическому образу.

19. Доказать, что, если касательный сферический образ лежит на большом
круге, то кривая плоская.

20. Доказать, что кривая --- обобщенная винтовая линия тогда и только
тогда, когда касательный сферический образ --- дуга параллели.

\enddocument
