%#AMSTEX#R# - MultiEdit label should be on the 1st line in the file
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Утверждения %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\def\Remark#1{\remark{#1}}
\def\endRemark{\endremark\medskip}
\def\proof{\demo{Доказательство}}
\def\endproof{$\square$\enddemo}
\def\Proof#1{\demo{Доказательство\ #1}}
\def\endProof{$\square$\enddemo}


%%%%%%%%%%%%%%%%% Руссификация элементов из topmatter %%%%%%%%%%%%%%%%%
\catcode`\@=11
\def\abstract{\let\savedef@\abstract
 \def\abstract{\let\abstract\savedef@
  \setbox\abstractbox@\vbox\bgroup\noindent$$\vbox\bgroup
  \def\envir@end{\endabstract}\advance\hsize-2\indenti
  \def\usualspace{\enspace}\eightpoint \noindent
  \frills@{{\smc Аннотация.\enspace}}}%
 \nofrillscheck\abstract}

\def\endabstract{\par\unskip\egroup$$\egroup}

\def\keywords{\let\savedef@\keywords
  \def\keywords##1\endkeywords{\let\keywords\savedef@
  \toks@{\def\usualspace{{\it\enspace}}\eightpoint}%
  \toks@@{##1\unskip.}%
  \edef\thekeywords@{\the\toks@\frills@{{\noexpand\it
    Ключевые слова и выражения.\noexpand\enspace}}\the\toks@@}}%
 \nofrillscheck\keywords}

\def\email{\let\savedef@\email
  \def\email##1\endemail{\let\email\savedef@
  \toks@{\def\usualspace{{\it\enspace}}\endgraf\indent\eightpoint}%
  \toks@@{##1\par}%
  \expandafter\xdef\csname email\number\addresscount@\endcsname
  {\the\toks@\frills@{{\noexpand\it E-mail\noexpand\/}:%
     \noexpand\enspace}\the\toks@@}}%
  \nofrillscheck\email}

\catcode`\@=12

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Рисунки %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Как использовать:
%  \Pic{new01}{Это --- первый рисунок}{fig:f}
%  \BigPic{new02}{new03}{Это --- еще один, но большой, рисунок}{fig:b}
%      new01,new02,new03 - имена pcx-файлов, без расширения

%% these are for 240DPI
%\newdimen\pcxht    \pcxht 55mm
%\newdimen\pcxwd    \pcxwd 67mm
%\newdimen\spcxwd   \spcxwd\textwidth
%\advance\spcxwd by -\pcxwd

%% these are for 300DPI mag = 1200
\newdimen\pcxht    \pcxht 33mm
\newdimen\pcxwd    \pcxwd 45mm
\newdimen\spcxwd   \spcxwd\pcxwd

%% these are for 300DPI mag = 1000
%\newdimen\pcxht    \pcxht 40mm
%\newdimen\pcxwd    \pcxwd 54mm
%\newdimen\spcxwd   \spcxwd\pcxwd


 \def\Pic#1#2{
   \midinsert
     \noindent
     \hbox to \hsize{\hfill
       \hbox to \pcxwd {\special{em:graph #1.pcx}\hfil}
     \hfill}
     \vskip\pcxht
     \centerline{#2}
  \endinsert
 }

 \def\BigPic#1#2#3{
   \midinsert
     \noindent
     \hbox to \hsize{\hfill
       %\hbox to \shiftwd {}
       \hbox to \pcxwd {\special{em:graph #1.pcx}\hfil}\!%
       \hbox to \spcxwd{\special{em:graph #2.pcx}\hfil}
     \hfill}
     \vskip\pcxht
     \centerline{#3}
  \endinsert
 }

\def\a{\alpha}
\def\b{\beta}
\def\g{\gamma}
\def\e{\varepsilon}
\def\f{\varphi}
\def\op{\operatorname}
\def\o{\overset{1}\to}
\def\oo{\overset{2}\to}
\def\d{\delta}
\def\s{\sigma}
\def\t{\tau}
\def\w{\widetilde}
\def\ss{\operatorname{sgn}}
\def\L{\Lambda}
\def\l{\lambda}
\def\om{\omega}
\def\Om{\Omega}
\def\De{\Delta}
\def\pa{\partial}
\def\dd{\overset{..}\to}
\def\pa{\partial}
\def\n{\nabla}
\def\G{\Gamma}
\def\M{\Cal M}
\def\th{\theta}

\NoBlackBoxes
\NoRunningHeads
\TagsOnRight

 \document

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \head
Лекция 9. Индефинитные (псевдоримановы) метрики и пространство
Минковского.  \endhead
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \subhead 1. Индефинитные метрики на поверхностях \endsubhead
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Во многих областях математики и теоретической физики (особенно в теории
относительности) встречаются поверхности, на которых задан объект,
аналогичный римановой метрике, но вместо условия
положительности удовлетворяющий более слабому условию невырожденности.
Такие объекты называют псевдоримановыми или индефинитными метриками.

  \definition {Определение}
Псевдоримановой (индефинитной) метрикой на поверхности $M$ называется
соответствие, сопоставляющее каждой точке $P\in M$ невырожденную
симметричную билинейную форму в касательном пространстве $T_PM$,
гладко зависящую от точки $P$.
 \enddefinition
 \Remark {Замечание 1}
Гладкая зависимость от точки определяется точно так же, как и для
римановой метрики.
 \endRemark
 \Remark {Замечание 2}
В каждой системе координат $u$ псевдориманова метрика $g$ задается
симметричной невырожденной матрицей $g_{ij}(u)=g(r_i(u),r_j(u))$. Закон
преобразования этой матрицы при переходе к другой системе координат точно
такой же, как и для римановой метрики.
 \endRemark
 \Remark {Замечание 3}
В каждом касательном пространстве существует базис, в котором матрица
билинейной формы $g$ диагональна, причем диагональные элементы равны
$\pm1$ (почему?). Пусть положительных диагональных элементов $p$ штук, а
отрицательных --- $q$ штук. Тогда псевдориманова метрика называется
метрикой сигнатуры $(p,q)$. Ясно, что метрика сигнатуры $(n,0)$ --- риманова.
 \endRemark

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \subhead 2. Псевдоевклидово скалярное произведение и
пространство Минковского \endsubhead
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Простейший пример поверхности с псевдоримановой метрикой строится
следующим образом. Рассмотрим линейное пространство $L$ в котором задана
симметричная невырожденная билинейная форма сигнатуры $(p,q)$. Такое
пространство будем обозначать $\Bbb R^{(p,q)}$; саму форму будем называть
{\it псевдоевклидовым скалярным произведением} и обозначать
(так же, как и обычное скалярное произведение) круглыми
скобками. Любая область в пространстве с псевдоевклидовым скалярным
произведением является поверхностью с псевдоримановой метрикой сигнатуры
$(p,q)$; более того, если $M$ --- поверхность в $\Bbb R^{(p,q)}$, то
псевдоевклидово скалярное произведение можно ограничить на касательные
пространства к $M$. Отметим, что в результате этой операции, вообще
говоря, может получиться вырожденная билинейная форма (см. примеры ниже);
если же во всех касательных пространствах билинейная форма оказывается
невырожденной, мы получаем псевдориманову метрику на поверхности $M$. Эта
метрика называется {\it индуцированной из псевдоевклидова пространства
$\Bbb R^{(p,q)}$}.

 \proclaim {Задача}
Пусть $N\subset \Bbb R^{(p,q)}$ --- линейное подпространство. Его {\it
ортогональным дополнением $N^\perp$} называется множество векторов
$\xi\in \Bbb R^{(p,q)}$, ортогональных $N$, т.е. таких, что
$(\xi,\eta)=0\quad\forall \eta\in N$. Выяснить, верны ли для всех
$N$ следующие равенства

1. $\op{dim}N+\op{dim}N^\perp=\op{dim}\Bbb R^{(p,q)}=p+q$.

2. $N\oplus N^\perp=\Bbb R^{(p,q)}$.
 \endproclaim

В специальной теории относительности центральную роль играет
частный случай пространства $\Bbb R^{(p,q)}$ --- т.н. пространство
Минковского. Такое же пространство является объемлющим для геометрии
Лобачевского --- эта геометрия возникает на двумерной поверхности
(псевдосфере) в трехмерном пространстве Минковского.
 \definition {Определение}
Пространством Минковского называется псевдоевклидово пространство
$\Bbb R^{(n,1)}$.
\enddefinition

По определению, в пространстве $\Bbb R^{(n,1)}$ существует
базис $e_0,e_1\dots,e_n$, в котором скалярное
произведение векторов $\xi,\eta$ имеет вид
$(\xi,\eta)=-\xi^0\eta^0+\xi^1\eta^1+\dots+\xi^n\eta^n$. Такой базис
(как и в евклидовом случае) будем называть ортонормированным; координаты в
нем будем обозначать $x_0,x_1,\dots,x_n$.

 \Remark {Замечание 1}
В специальной теории относительности координаты $x=(x_1,\dots x_n)$ ---
пространственные, а координата $x_0$ --- временн\'ая (точнее, $x_0=ct$, где
$c$ --- скорость света). Точки пространства Минковского называются {\it
событиями}.
 \endRemark

 \Remark {Замечание 2}
Иногда (в основном в физической литературе) скалярному произведению в
пространстве Минковского приписывают противоположный знак, т.е. полагают
$(\xi,\eta)=\xi^0\eta^0-\xi^1\eta^1-\dots-\xi^n\eta^n$.  Ясно, что все
формулы векторной алгебры и дифференциальной геометрии при этих двух
разных определениях пространства Минковского  просто пересчитываются друг
через друга (в нужных местах надо поменять знаки).
 \endRemark

Отличия между евклидовой и псевдоевклидовой геометрией
немедленно проявляются при рассмотрении длин векторов. Действительно, в
евклидовой геометрии квадрат длины любого ненулевого вектора -
положительное число. В геометрии Минковского это не так: у некоторых
векторов скалярный квадрат положителен, у некоторых отрицателен, у
некоторых - нулевой.
 \definition {Определение}
Векторы $\xi\in\Bbb R^{(n,1)}$, для которых $(\xi,\xi)>0$ называются
пространственноподобными; векторы, для которых $(\xi,\xi)<0$ -
времениподобными, и векторы, для которых $(\xi,\xi)=0$ - изотропными или
светоподобными.
 \enddefinition
 \proclaim {Пример 1}
Векторы $e_1,\dots,e_n$ из определенного выше базиса (и любые их
линейные комбинации) пространственноподобны, вектор $e_0$ времениподобен,
а векторы $e_0+e_i,\quad i=1,\dots n$ - изотропные.
\endproclaim
\proclaim {Пример 2}
Рассмотрим движение в евклидовом пространстве релятивистской частицы (т.е.
частицы, подчиняющейся законам теории относительности). Закон движения
определяется зависимостью координат $x_1,\dots, x_n$ от времени, т.е.
функциями $x_i=x_i(t)$, $i=1,\dots,n$. Вспоминая, что $x_0=ct$, получим
параметрические уравнения кривой в пространстве Минковского, определяемой
законом движения частицы; эта кривая называется ее {\it мировой линией}.
Рассмотрим касательный вектор $\xi$ к мировой линии; он имеет вид
$c,v_1,\dots,v_n$, где $v_i=dx_i/dt$ --- координаты вектора скорости
частицы. Скалярный квадрат вектора $\xi$ равен $(\xi,\xi)=c^2-v^2$, где
$v^2=(dx_1/dt)^2+\dots+(dx_n/dt)^2$ --- квадрат скорости частицы. Один из
центральных постулатов теории относительности утверждает, что частицы с
положительной массой движутся медленнее света; поэтому $v^2<c^2$ и,
следовательно $(\xi,\xi)<0$. Таким образом, {\it касательный вектор к
мировой линии любой массивной частицы всегда времениподобен}. Если же
частица движется со скоростью света (т.е. $|v|=c$, так могут двигаться
только частицы нулевой массы --- фотоны или нейтрино), касательный вектор к
ее мировой линии, очевидно, изотропен.
 \endproclaim

 \Remark {Замечание}
Ясно, что, если вектор пространства Минковского времениподобен
(пространственноподобен, изотропен), тем же свойством обладает и любой
пропорциональный ему вектор. Поэтому прямые (одномерные подпространства) в
$\Bbb R^{(n,1)}$ также делятся на три типа: пространственноподобные,
времениподобные и изотропные.
 \endRemark

Множество изотропных векторов задается в координатах уравнением
$x_0^2=x_1^2+\dots+x_n^2$; эта поверхность --- $n$-мерный конус в
$n+1$-мерном пространстве, называемый {\it световым конусом}. Световой
конус делит множество всех времениподобных векторов на две области:
скалярное произведение любых двух векторов, лежащих в одной и той же
области отрицательно, а скалярное произведение векторов, лежащих в разных
областях, положительно.
 \definition {Определение}
Два времениподобных вектора $\xi,\eta$ называются одинаково
ориентированными во времени, если  $(\xi,\eta)<0$ и по-разному
ориентированными во времени, если  $(\xi,\eta)>0$.
 \enddefinition
 \proclaim {Пример}
Пусть $e_0,\dots,e_n$ - ортонормированный базис в $\Bbb R^{(n,1)}$.
Времениподобный вектор $\xi$  ориентирован во времени одинаково с вектором
$e_0$, если и только если $\xi^0>0$.
 \endproclaim


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \subhead 2. Подпространства и преобразования Лоренца \endsubhead
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

И в теории относительности, и в геометрии Лобачевского важную роль играют
линейные преобразования пространства Минковского, являющиеся аналогами
ортогональных преобразований. Они называются преобразованиями Лоренца.
 \definition {Определение}
Линейный оператор $A$ в пространстве Минковского $\Bbb R^{(n,1)}$ называется
преобразованием Лоренца, если он сохраняет (псевдоевклидово) скалярное
произведение, т.е. для любых двух векторов $\xi,\eta\in \Bbb R^{(n,1)}$
справедливо равенство $(A\xi,A\eta)=(\xi,\eta)$.
 \enddefinition
 \Remark {Замечание}
Ясно, что, аналогично евклидовому случаю, преобразования Лоренца переводят
ортонормированный базис пространства Минковского в ортонормированный базис
и любые два ортонормированных базиса можно совместить
единственным преобразованием Лоренца.
 \endRemark
Ортогональные операторы в евклидовом пространстве бывают двух типов:
собственные (с определителем 1) и несобственные (с определителем $-1$). В
пространстве Минковского преобразования Лоренца можно различать еще по
тому, меняют ли они направление времени.

 \definition {Определение}
Преобразование Лоренца $A$ называется ортохронным, если оно не меняет
направления времени, т.е. если $(A\xi,\xi)<0$ для любого времениподобного
вектора $\xi$.
 \enddefinition
 \Remark {Замечание}
Времениподобные векторы в пространстве Минковского заполняют внутренность
светового конуса. Ортохронные преобразования оставляют на месте каждую
половину этого конуса, а неортохронные меняют их местами.
 \endRemark
Таким образом, множество всех преобразований Лоренца (группа Лоренца)
делится на 4 части: собственные ортохронные преобразования, несобственные
ортохронные, собственные неортохронные и несобственные неортохронные.

Матрицы $A$ ортогональных операторов в ортонормированном базисе евклидова
пространства удовлетворяют соотношению $A^TA=E$ (единичная матрица).
Выясним, как устроены матрицы преобразований Лоренца.
 \proclaim {Утверждение }
Пусть $A$ --- матрица преобразований Лоренца в ортонормированном базисе
пространства Минковского. Тогда
 $$
A^TIA=I,
\tag 1
 $$
где $I$ --- матрица скалярного произведения в этом базисе (очевидно, это
диагональная $(n+1)\times(n+1)$-матрица, причем первый диагональный
элемент равен $-1$, а остальные --- $+1$).
 \endproclaim
 \proof
Под действием  линейного оператора матрица скалярного
произведения преобразуется по формуле
 $$
I^\prime =A^TIA;
 $$
$A$ будет преобразованием Лоренца, если $I^\prime=I$.
 \endproof

Рассмотрим теперь подпространства пространства Минковского. В евклидовом
пространстве подпространства обладают единственным инвариантом ---
размерностью: любые два подпространства одинаковой размерности можно
перевести друг в друга ортогональным преобразованием. В пространстве
Минковского это не так: помимо размерности играет роль сигнатура
ограничения (псевдо)скалярного произведения на подпространство. Именно,
пусть $N\subset \Bbb R^{(n,1)}$ --- подпространство размерности $k$.
Ограничивая форму $( , )$ на $N$, получим на этом подпространстве
симметричную билинейную форму.  Отметим, что эта форма, вообще говоря,
может быть вырожденной (пример --- изотропная прямая); оказывается,
вырождение формы тесно связано со взаимным расположением подпространства и
его ортогонального дополнения. Именно, обозначим через $N_0$ ядро
ограничения псевдоскалярного произведение на подпространство $N$, т.е.
множество векторов $\xi\in N$, для которых
$(\xi,\eta)=0\quad\forall\eta\in N$.

 \proclaim {Утверждение }
Подпространство $N_0$ совпадает с пересечением подпространства $N$ и его
ортогонального дополнения $N^\perp$.
 \endproclaim
 \proof
Пусть $\xi\in N_0$, тогда этот вектор ортогонален всему подпространству
$N$, а значит, принадлежит $N^\perp$. Обратно, пусть $\xi\in N\cap
N^\perp$; тогда этот вектор (как элемент ортогонального дополнения к $N$)
ортогонален $N$ и, кроме того, лежит в этом подпространстве, т.е.
принадлежит $N_0$.
 \endproof
Из этого утверждения немедленно вытекает классификация подпространств в
пространстве Минковского.
 \proclaim {Теорема }
Любое подпространство $N$ пространство Минковского принадлежит к одному из
следующих трех типов.

1. Подпространства, ограничение на которые скалярного  произведения
положительно определено (эллиптические или евклидовы подпространства).

2. Подпространства, ограничение на которые скалярного  произведения
имеет сигнатуру $(k-1,1)$ (гиперболические подпространства
или подпространства Минковского).

3. Подпространства, ограничение на которые скалярного  произведения
вырождено (параболические подпространства).

Если подпространство эллиптическое, то ортогональное дополнение к нему
гиперболическое, и наоборот --- ортогональное дополнение к
гиперболическому подпространству эллиптично; в этих случаях
подпространство и его ортогональное дополнение трансверсальны (т.е.
пересекаются лишь по нулевому вектору). Если подпространство
параболическое, то таково и его ортогональное дополнение; в этом случае
$N$ и $N^\perp$ пересекаются по (ненулевому) ядру ограничения
(псевдо)скалярного произведения на любое из этих подпространств.
 \endproclaim
 \proof
Пусть ограничение скалярного произведение на подпространство $N$
невырождено. Тогда, согласно только что доказанному утверждению, $N$ и
$N^\perp$ пересекаются только по нулевому вектору. Далее, из
невырожденности скалярного произведения во всем пространстве
Минковского следует, что $\op{dim} N+\op{dim}N^\perp=n+1$ (проверьте!),
поэтому $\Bbb R^{(n,1)}=N\oplus N^\perp$. Приведем теперь скалярное
произведение на подпространствах $N$ и $N^\perp$ к главным осям; тогда эта
квадратичная форма приведется к главным осям на всем $\Bbb R^{(n,1)}$;
среди векторов соответствующего базиса ровно один времениподобен, а
остальные --- пространственноподобны (т.к. сигнатура скалярного
произведения в $\Bbb R^{(n,1)}$ равна $(n,1)$). Таким образом, из пары
подпространств $N,N^\perp$ одно гиперболическое (именно, то, в которое
попадает единственный времениподобный вектор базиса главных осей), а
второе эллиптическое.

Если же подпространство $N$ --- параболическое, то таковым является и его
ортогональное дополнение (поскольку $(N^\perp)^\perp=N$ и подпространства
$N^\perp$ и $N$ пересекаются по ненулевому подпространству); в
соответствии с доказанным выше утверждением, пересечение этих двух
подпространств совпадает с ядром ограничения скалярного произведения на
любое из них.
 \endproof

 \proclaim {Задача 1}
Доказать, что размерность ядра ограничения скалярного произведения
на параболическое подпространство равно единице и любой вектор из
подпространства, не принадлежащий ядру, пространственноподобен.
 \endproclaim

 \proclaim {Задача 2}
Доказать, что любые два эллиптических (гиперболических, параболических)
подпространства одинаковой размерности из можно совместить
преобразованием Лоренца.
 \endproclaim

 \Remark {Замечание}
Разные типы подпространств в пространстве Минковского по-разному
расположены относительно светового конуса. Именно, эллиптические
подпространства пересекаются с ним только по нулевому вектору,
гиперболические пересекают конус трансверсально (по $k-1$-мерному конусу),
а параболические его касаются по прямой (являющейся ядром ограничения
скалярного произведения на подпространство).
 \endRemark


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \subhead 4. Неравенство Коши-Буняковского и неравенство треугольника
 \endsubhead
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Еще одно свойство пространства Минковского, отличающее его от евклидова,
состоит в том, что неравенство Коши-Буняковского для времениподобных
векторов направлено в противоположную сторону.
 \proclaim {Предложение }
Пусть векторы $\xi,\eta\in M^{n+1}$ времениподобны. Тогда
$(\xi,\eta)^2\geq(\xi,\xi)(\eta,\eta)$, причем равенство достигается
тогда и только тогда, когда $\xi$ и $\eta$ параллельны.
 \endproclaim
 \proof
Выберем ортонормированный базис так, чтобы вектор временной
координаты был направлен вдоль $\xi$: $\xi=\l e_0$. Тогда
$(\xi,\eta)^2=\l^2(\eta^0)^2,\quad
(\eta,\eta)^2=(\eta_0^2-(\eta^1)^2-\dots-(\eta^n)^2)^2\leq (\eta^0)^2$,
причем равенство достигается тогда и только тогда, когда $\eta^k=0 \forall
k=1,\dots, n$, т.е. когда $\eta$ и $\xi$ параллельны.
 \endproof
 \proclaim {Математическое следствие (неравенство треугольника в обратную
сторону)} Пусть векторы $\xi,\eta$ времениподобны и $(\xi,\eta)\leq 0$
(т.е. эти векторы одинаково ориентированы по времени). Тогда вектор
$\xi+\eta$ времениподобен и
 $$
|\xi+\eta|\geq |\xi|+|\eta|
 $$
Здесь длина любого времениподобного вектора $\zeta$ по
определению равна $|\zeta|=\sqrt{-(\zeta,\zeta)}$; равенство достигается
только если $\xi$ и $\eta$ линейно зависимы.
 \endproclaim
 \proof
$$
\aligned
&|\xi+\eta|^2=-(\xi+\eta,\xi+\eta)=-(\xi,\xi)-(\eta,\eta)-2(\xi,\eta)=\\
&=|\xi|^2+|\eta|^2+2|(\xi,\eta)|\geq|\xi|^2+2|\xi||\eta|+|\eta|^2=|\xi+\eta|^2,
\endaligned
$$
причем равенство достигается только в случае параллельных векторов.
 \endproof

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \subhead 5. Собственное время. Инерциальные наблюдатели. Относительность
одновременности, замедление времени, сокращение длин и парадокс близнецов
 \endsubhead
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


Обсудим простейшие факты геометрии пространства Минковского с точки зрения
специальной теории относительности. Согласно основному принципу этой
теории, все ортонормированные базисы с фиксированной
пространственной и временной ориентацией (т.е. базисы, времениподобные
векторы в которых одинаково ориентированы во времени) абсолютно
равноправны, так что выделенных координат не существует (в частности, не
существует и ``абсолютного времени'').  Каждый наблюдатель определяет в
пространстве Минковского мировую линию, касательный вектор к которой во
всех точках времениподобен (см. п. 1).  Последнее обстоятельство позволяет
определить длину дуги такой мировой линии; именно, если на ней задан
параметр $y$ и $y_1<y_2$ - значения параметра, определяющие две точки
кривой, положим длину дуги $l$ между этими точками равной
 $$
l=\int_{y_1}^{y_2}\sqrt{-(\xi(y),\xi(y))}dy.
 $$
В соответствии с этим определением на каждой мировой линии вводится
натуральный параметр, равный длине дуги; в специальной теории
относительности этот параметр, поделенный на скорость света $c$,
называется {\it собственным временем наблюдателя} и интерпретируется как
время, измеряемое по его часам. Если мировая линия --- прямая, наблюдатель
называется {\it инерциальным}. Любые две времениподобные прямые можно
совместить преобразованием Лоренца; таким образом, такие преобразования
описывают пересчет пространственных и временных координат у разных
инерциальных наблюдателей. Пусть имеется два инерциальных наблюдателя;
обозначим через $e_0$ и $e_0^\prime$ единичные направляющие векторы их
мировых линий (мы считаем, что эти времениподобные векторы одинаково
ориентированы во времени).  Точки, лежащие на прямых, проходящих через эти
векторы, (а также на сонаправленных прямых) изображают события,
происходящие для данного наблюдателя в одном и том же месте, но в разные
моменты времени.  Плоскость размерности $n$, ортогональная мировой линии
наблюдателя, состоит из событий, произошедших, с его точки зрения,
одновременно, но в разных местах.

Простейшие свойства пространства Минковского приводят к важным с
физической точки зрения выводам. Перечислим наиболее известные из этих
выводов.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \subsubhead Относительность одновременности \endsubsubhead
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Рассмотрим два события, которые с точки зрения первого
--- ``нештрихованного'' --- наблюдателя произошли одновременно. Это
означает, что вектор $\xi$, соединяющий соответствующие точки пространства
Минковского, ортогонален $e_0$. Ясно, что такой вектор, вообще говоря, не
будет ортогонален $e_0^\prime$, т.е. с точки зрения второго наблюдателя
данные два события одновременными не являются.

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \subsubhead Замедление времени \endsubsubhead
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Рассмотрим часы первого наблюдателя; пусть он дважды посмотрел на эти часы
и обнаружил, что прошел промежуток времени $\De t$. Формально это
означает, что мы рассматриваем два события, которые лежат на прямой,
проходящей через вектор $e_0$, причем длина времениподобного вектора
$\xi$, соединяющего эти точки, равна $c\De t$:
С точки зрения втор
$$
\sqrt{-(\xi,\xi)}=с\De t.
 $$
ого (``штрихованного'') наблюдателя, рассматриваемые
события произошли, вообще говоря, в разных местах (вектор $\xi$ не
параллелен $e_0^\prime$); чтобы найти промежуток времени между ними, надо
разложить вектор $\xi$ на параллельную и ортогональную $e_0^\prime$
составляющие и найти длину параллельной составляющей:
 $$
с\De t^\prime=\sqrt{-(\xi^\prime,\xi^\prime)},\quad\text{где}\quad
\xi=\xi^\prime+\eta^\prime, \quad (\eta^\prime,\xi^\prime)=0.
 $$
Вектор $\eta^\prime$ пространственноподобен $(\eta^\prime,\eta^\prime)>0$,
поэтому
 $$
-(\xi,\xi)=-(\xi^\prime,\xi^\prime)-(\eta^\prime,\eta^\prime)<
-(\xi^\prime,\xi^\prime),
 $$
откуда сразу следует, что
 $$
\De t^\prime>\De t.
 $$
Таким образом, с точки зрения второго наблюдателя часы первого идут
медленнее, чем с его собственной точки зрения; отметим, что для первого
наблюдателя его часы неподвижны, поэтому наш вывод можно сформулировать
так: {\it движущиеся часы по сравнению с неподвижными замедляют ход}.

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \subsubhead Сокращение длин \endsubsubhead
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Рассмотрим твердый предмет (например, стержень), который с точки зрения
первого наблюдателя неподвижен; пусть с его же точки зрения длина стержня
равна $l$. С точки зрения второго наблюдателя этот стержень движется; для
того, чтобы найти его длину $l^\prime$, рассмотрим два события, которые
произошли с точки зрения второго наблюдателя одновременно в тех точках, в
которых находятся концы нашего стержня. Евклидова длина
пространственноподобного вектора $\eta^\prime$, соединяющего эти два
события (т.е.  число $\sqrt{(\eta^\prime,eta^\prime)}$) и будет длиной
$l^\prime$ нашего стержня с точки зрения второго наблюдателя. Сравним
числа $l$ и $l^\prime$; для этого заметим, что, с точки зрения первого
наблюдателя, события, соединенные вектором $\eta^\prime$, также произошли
в точках, соответствующих концам стержня, хотя и в разные моменты времени.
Но, поскольку для первого наблюдателя стержень покоится, эта разница во
времени не играет роли --- длина стержня все равно равна евклидовой длине
пространственной (с точки зрения первого наблюдателя) компоненты вектора
$\eta^\prime$; другими словами,
 $$
l=\sqrt{(\eta,\eta)},\quad\text{где}\quad\eta^\prime=\eta+\xi,\quad
(\eta,\xi)=0,
 $$
и времениподобный вектор $\xi$ параллелен $e_0$. Поскольку
 $$
(\eta^\prime,\eta^\prime)=(\eta,\eta)+(\xi,\xi)<(\eta,\eta),
 $$
длина $l^\prime$ нашего стержня с точки зрения второго наблюдателя
меньше, чем длина $l$ этого же стержня с точки зрения первого наблюдателя.
Другими словами, стержень имеет максимальную длину для тех наблюдателей,
для которых он покоится; при переходе в ``движущуюся систему отсчета''
длина сокращается.

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \subsubhead Парадокс близнецов \endsubsubhead
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Пусть два близнеца расстались (время и место расставания примем за
начало координат); после этого один из них двигался инерциально от
точки $0$ до точки $\xi+\eta$ (можно, например, считать, что он покоился),
а другой двигался сначала от нуля до $\xi$, а затем от $\xi$ до
$\xi+\eta$; в этой точке их мировые линии пересеклись, т.е. они
встретились. Здесь $\xi,\eta$ и $\xi+\eta$ --- времениподобные
векторы. Собственное время неподвижного брата (т.е.  время, прошедшее по
его часам) будет при встрече равно $|\xi+\eta|/c$, а собственное время
летавшего брата --- $(|\xi|+|\eta|)/c$.  Согласно неравенству
треугольника для времениподобных векторов, первое время больше, так что
близнец, сидевший дома, может сильно состариться, в то время как
близнец-путешественник будет еще молодым.  Отметим, что братья, конечно,
находятся не в симметричной ситуации:  мировая линия путешественника не
прямая, а ломаная, так что он не инерциален. Другими словами, чтобы
вернуться в исходную точку, ему придется двигаться с ускорением (например,
он может включить двигатели своего космического корабля около $0$ и около
$\xi$ с тем, чтобы сначала улететь от брата, а затем вернуться к нему).
 \enddocument
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Конец Документа %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
