%#AMSTEX#R# - MultiEdit label should be on the 1st line in the file
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Утверждения %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\def\Remark#1{\remark{#1}}
\def\endRemark{\endremark\medskip}
\def\proof{\demo{Доказательство}}
\def\endproof{$\square$\enddemo}
\def\Proof#1{\demo{Доказательство\ #1}}
\def\endProof{$\square$\enddemo}


%%%%%%%%%%%%%%%%% Руссификация элементов из topmatter %%%%%%%%%%%%%%%%%
\catcode`\@=11
\def\abstract{\let\savedef@\abstract
 \def\abstract{\let\abstract\savedef@
  \setbox\abstractbox@\vbox\bgroup\noindent$$\vbox\bgroup
  \def\envir@end{\endabstract}\advance\hsize-2\indenti
  \def\usualspace{\enspace}\eightpoint \noindent
  \frills@{{\smc Аннотация.\enspace}}}%
 \nofrillscheck\abstract}

\def\endabstract{\par\unskip\egroup$$\egroup}

\def\keywords{\let\savedef@\keywords
  \def\keywords##1\endkeywords{\let\keywords\savedef@
  \toks@{\def\usualspace{{\it\enspace}}\eightpoint}%
  \toks@@{##1\unskip.}%
  \edef\thekeywords@{\the\toks@\frills@{{\noexpand\it
    Ключевые слова и выражения.\noexpand\enspace}}\the\toks@@}}%
 \nofrillscheck\keywords}

\def\email{\let\savedef@\email
  \def\email##1\endemail{\let\email\savedef@
  \toks@{\def\usualspace{{\it\enspace}}\endgraf\indent\eightpoint}%
  \toks@@{##1\par}%
  \expandafter\xdef\csname email\number\addresscount@\endcsname
  {\the\toks@\frills@{{\noexpand\it E-mail\noexpand\/}:%
     \noexpand\enspace}\the\toks@@}}%
  \nofrillscheck\email}

\catcode`\@=12

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Рисунки %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Как использовать:
%  \Pic{new01}{Это --- первый рисунок}{fig:f}
%  \BigPic{new02}{new03}{Это --- еще один, но большой, рисунок}{fig:b}
%      new01,new02,new03 - имена pcx-файлов, без расширения

%% these are for 240DPI
%\newdimen\pcxht    \pcxht 55mm
%\newdimen\pcxwd    \pcxwd 67mm
%\newdimen\spcxwd   \spcxwd\textwidth
%\advance\spcxwd by -\pcxwd

%% these are for 300DPI mag = 1200
\newdimen\pcxht    \pcxht 33mm
\newdimen\pcxwd    \pcxwd 45mm
\newdimen\spcxwd   \spcxwd\pcxwd

%% these are for 300DPI mag = 1000
%\newdimen\pcxht    \pcxht 40mm
%\newdimen\pcxwd    \pcxwd 54mm
%\newdimen\spcxwd   \spcxwd\pcxwd


 \def\Pic#1#2{
   \midinsert
     \noindent
     \hbox to \hsize{\hfill
       \hbox to \pcxwd {\special{em:graph #1.pcx}\hfil}
     \hfill}
     \vskip\pcxht
     \centerline{#2}
  \endinsert
 }

 \def\BigPic#1#2#3{
   \midinsert
     \noindent
     \hbox to \hsize{\hfill
       %\hbox to \shiftwd {}
       \hbox to \pcxwd {\special{em:graph #1.pcx}\hfil}\!%
       \hbox to \spcxwd{\special{em:graph #2.pcx}\hfil}
     \hfill}
     \vskip\pcxht
     \centerline{#3}
  \endinsert
 }
\def\a{\alpha}
\def\b{\beta}
\def\g{\gamma}
\def\e{\varepsilon}
\def\f{\varphi}
\def\op{\operatorname}
\def\o{\overset{1}\to}
\def\oo{\overset{2}\to}
\def\d{\delta}
\def\s{\sigma}
\def\t{\tau}
\def\w{\widetilde}
\def\ss{\operatorname{sgn}}
\def\L{\Lambda}
\def\om{\omega}
\def\Om{\Omega}
\def\De{\Delta}
\def\pa{\partial}
\def\dd{\overset{..}\to}
\def\pa{\partial}

\NoBlackBoxes
\NoRunningHeads
\TagsOnRight

\def\wt{\widetilde}
\def\n{\nabla}
\def\g{\gamma}
\def\pa{\partial}
\def\G{\Gamma}
\def\op{\operatorname}
\def\pa{\partial}
\document

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \head Лекция 7. Риманова метрика на поверхности и в области евклидова
пространства. Изометрии римановой метрики \endhead
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \subhead 1. Риманова метрика на поверхности \endsubhead
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


Первая квадратичная форма поверхности определена евклидовой структурой
(скалярным произведением) в объемлющем пространстве $\Bbb R^N$. В
дальнейшем мы будем изучать ``поверхности, не помещенные ни в какое
евклидово пространство'' (многообразия); поэтому полезно аксиоматизировать
понятие первой квадратичной формы, исключив из соответствующего
определения упоминание об объемлющем пространстве. Чтобы это сделать,
отметим, что первая квадратичная форма определяет зависящую от точки
положительно определенную симметричную билинейную форму в касательных
пространствах. Произвольный объект такого вида называется {\it римановой
метрикой}.

 \definition {Определение 1}
Римановой метрикой на поверхности $M$ называется соответствие,
сопоставляющее каждой точке $P$ поверхности положительно определенную
симметричную билинейную форму в касательном пространстве $T_PM$, гладко
зависящую от точки $P$.
 \enddefinition
 Последнее условие означает следующее. Пусть $u^1,\dots, u^n$ ---
координаты на поверхности. Они порождают канонический базис $r_1,\dots,r_n$
в любом касательном пространстве. В этом базисе метрика задается своей
матрицей $g_{ij}(u)=(r_i,r_j)$. Гладкая зависимость от точки означает
бесконечную дифференцируемость функций $g_{ij}(u)$.

 \proclaim {Задача}
Доказать, что понятие гладкой зависимости от точки не зависит от выбора
координат $u^1,\dots, u^n$.
 \endproclaim

Как уже отмечалось, в произвольной системе координат $u$ риманова метрика
задается своей матрицей $g_{ij}(u)$. При переходе к другой системе
координат $v$ эта матрица меняется по закону
 $$
\wt g_{ij}(v)=\sum_{k,m=1}^n\frac{\pa u^k}{\pa v^i}\frac{\pa u^m}{\pa
v^j}g_{ij}(u(v)).
\tag 1
 $$
(докажите!). Это свойство можно считать определением римановой метрики.

 \definition {Определение 2}
Римановой метрикой на поверхности называется соответствие, сопоставляющее
каждой системе координат $u^1,\dots, u^n$ $n\times n$ матрицу $g_{ij}(u)$,
элементы которой --- гладкие функции. При этом должны быть выполнены
следующие условия.

1. При каждом значении переменных $u$ матрица $g_{ij}(u)$ симметрична и
положительно определена.

2. Если координатам $u$ соответствует матрица $g_{ij}(u)$, а координатам
$v$ --- матрица $\wt g_{ij}(v)$, то эти матрицы связаны равенствами (1).
 \enddefinition

 \proclaim {Утверждение }
Два приведенных определения римановой метрики эквивалентны.
 \endproclaim
 \proof
В одну сторону  утверждение очевидно --- если задана билинейная форма в
касательных пространствах, то ее матрица $g_{ij}(u)$ в произвольном
каноническом базисе удовлетворяет условиям 1, 2.

Обратно, пусть для каждой системы координат $u$ задана матрица
$g_{ij}(u)$. Определим билинейную форму в каждом касательном пространстве
$T_PM$, полагая ее матрицу в каноническом базисе $r_1,\dots,r_n$ равной
$g_{ij}(u)$. Свойство 2 гарантирует, что при этом получится {\it
одна билинейная форма, не зависящая от выбора координат}. Свойство 1
означает, что эта форма симметрична и положительна.
 \endproof
 \Remark {Замечание }
Приведенные два определения римановой метрики иллюстрируют типичную для
дифференциальной геометрии ситуацию: геометрические объекты можно
определять двумя способами --- инвариантным (пользуясь языком линейной
алгебры) и координатным (задавая закон преобразования объекта при замене
координат).
 \endRemark

Пусть $M$ --- область в евклидовом пространстве $\Bbb R^n$. Очевидно, ее
можно считать частным случаем поверхности. Произвольные координаты $u$ в
области принято называть (в отличие от евклидовых $x$) {\it
криволинейными координатами}, а кривые $u^i=\op{const.}$ при
$i\neq i_0$ --- {\it координатными линиями, соответствующими
криволинейной координате с номером $i_0$}. Касательные пространства $T_PM$
как множества совпадают со всем объемлющим пространством, однако векторы
считаются отложенными от точки $P$. Риманова метрика задается билинейной
формой в каждом таком пространстве, или матрицей $g_{ij}(x^1,\dots x^n)$,
гладко зависящей от точки области. В частности, евклидова структура в
$\Bbb R^n$ задает риманову метрику, называемую {\it стандартной евклидовой
метрикой}; в евклидовых координатах $x^1,\dots x^n$ ее матрица единичная,
т.е.
 $$
ds^2=\sum_{j=1}^n(dx^j)^2.
 $$

 \definition {Определение}
Риманова метрика на поверхности $M$ называется евклидовой, если
на $M$ существуют координаты, в которых матрица метрики единичная. Такие
координаты называются евклидовыми.
 \enddefinition

\proclaim {Задача}
Доказать, что первая квадратичная форма  двумерной сферы не евклидова даже
локально (т.е. евклидовых координат не существует ни в какой открытой
области).

\endproclaim

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \subhead 2. Индуцированная метрика \endsubhead
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Пусть $M,Q$ --- две поверхности в $\Bbb R^N$, причем поверхность $Q$ лежит
в поверхности $M$. Если $u=(u^1,\dots, u^n)$ --- координаты на $M$, а
$v=(v^1,\dots v^k)$ --- координаты на $Q$ ($k\leq n$), то множество $Q$
задается в $M$ параметрическими уравнениями $u^i=u^i(v^1,\dots,v^k)$,
причем ранг матрицы $\pa u^i/\pa v^j$ равен $k$ (проверьте!). Ясно, что
для любой точки $P\in Q$ касательное пространство $T_PQ$ содержится в
касательном пространстве $T_PM$: произвольный вектор
$\rho_j=\pa r/\pa v^j$ канонического базиса в $T_PQ$ имеет вид
 $$
\rho_j=\sum_{i=1}^n\frac{\pa u^i}{\pa v^j}r_i,\quad j=1,\dots, n,
 $$
т.е. принадлежит $T_PM$.

Пусть теперь $g$ --- риманова метрика на $M$; ограничивая
соответствующую билинейную форму с пространства $T_PM$ на пространство
$T_PQ$, получим, очевидно, риманову метрику на $Q$.

 \definition {Определение}
Эта метрика называется индуцированной c поверхности $M$ на поверхность
$Q$. В частности, если $M$ --- область в евклидовом пространстве, получаем
метрику, индуцированную из области на поверхность.
 \enddefinition
 \Remark {Важное замечание}
Первая квадратичная форма поверхности --- это риманова метрика,
индуцированная на ней из объемлющего евклидова пространства (в котором
рассматривается стандартная евклидова метрика).
 \endRemark

Выясним, как выглядит индуцированная метрика в координатах.

\proclaim {Предложение }
Пусть $g_{ij}(u)$ --- риманова метрика на поверхности $M$, и $u^i=u^i(v)$
--- параметрические уравнения $Q$ в $M$. Тогда матрица индуцированной
на поверхности $Q$ метрики имеет вид
 $$
\wt g_{ij}(v)=\sum_{k,m=1}^n\frac{\pa u^k}{\pa v^i}\frac{\pa u^m}{\pa
v^j}g_{km}(u(v)).
 $$
 \endproclaim
 \proof
Нужная формула сразу же следует из приведенной выше формулы разложения
векторов $\rho_j$ канонического базиса на $Q$ по каноническому базису
$r_1,\dots,r_n$ на $M$.
 \endproof
 \Remark {Замечание}
Таким образом, для того, чтобы получить координатную формулу для
индуцированной метрики, надо просто подставить в выражение для метрики на $M$
 $$
ds^2=\sum_{i,j=1}^ng_{ij}(u)du^idu^j
 $$
уравнения $u=u(v)$ поверхности $Q$ (конечно, подставлять эти функции надо
как в аргументы функций $g_{ij}$, так и в дифференциалы $du^i$). В
частности, первая квадратичная форма поверхности $r=r(u^1,\dots,u^n)$ в
евклидовом пространстве $R^N$ имеет вид
 $$
ds^2=\sum_{j,k}(\sum_{i}\frac{\pa x^i}{\pa u^j}\frac{\pa x^i}{\pa
u^k})du^jdu^k.
 $$
 \endRemark

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \subhead 3. Изометрии поверхностей \endsubhead
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Пусть $M,Q$ --- поверхности  в
евклидовом пространстве $\Bbb R^N$. Рассмотрим произвольное
отображение $f: M\to Q$ одной поверхности в другую; если на поверхностях
заданы координаты $u$ и $v$ соответственно, то это отображение задается
набором из $n$ функций от $n$ переменных $v^i=f^i(u^1,\dots, u^n)$.

 \definition {Определение}
Отображение $f:M\to Q$ называется гладким, если $f^i(u)$ --- гладкие функции.
 \enddefinition
 \proclaim {Задача}
Проверить, что это определение не зависит от выбора координат на
поверхностях.
 \endproclaim

Пусть теперь поверхности имеют одинаковую размерность и гладкое
отображение $f$ взаимно--однозначно; тогда существует обратное отображение
$f^{-1}:Q\to M$, которое в координатах задается функциями
$u^i=\f^i(v^1,\dots, v^n)$.

\definition {Определение}
Гладкое отображение $f:M\to Q$ называется диффеоморфизмом, если
обратное отображение $f^{-1}$ гладкое, т.е. функции $\f^i(v)$ бесконечно
дифференцируемы.
 \enddefinition

 \Remark {Замечание}
Эквивалентное определение диффеоморфизма: функции $f^i(u)$ гладкие и
якобиан $\op{det}(\pa f^i/\pa u^j)$ не обращается в нуль.
 \endRemark


Любое гладкое отображение $f$ поверхностей определяет
отображение касательных пространств в соответствующих точках. Именно, если
при отображении $f$ кривая $\g$ на поверхности $M$ переходит в кривую
$f(\g)$ на поверхности $Q$, то вектор скорости к $f(\g)$ в точке
$f(P)\in f(\g)$ будет образом касательного вектора к $\g$ в точке $P$ (см.
рис. 2).
 % \Pic{file_name}{caption}
\Pic{fig2}{Рис. 2.}

 \proclaim {Задача}
Доказать, что построенный таким способом образ касательного вектора не
зависит от выбора кривой $\g$, т.е. приведенное
правило корректно определяет отображение $d_Pf:  T_PM\to T_{f(P)}Q$
касательных пространств. Проверить, что это отображение --- линейный
оператор.
 \endproclaim
 \proclaim {Указание}
Его матрица в базисах $r_1,\dots,r_n$ и
$\rho_1,\dots,\rho_m$ - это матрица $\pa v^i/\pa u^j(P)$.
 \endproclaim

 \definition {Определение}
Определенное таким образом отображение касательного пространства в точке
$P$ к поверхности $M$ в касательное пространство в точке $f(P)$ к
поверхности $Q$ называется дифференциалом (или производной) $d_Pf$
отображения $f$ в точке $P$.
 \enddefinition

Если $f$ --- диффеоморфизм, то дифференциал этого отображения в каждой
точке определяет изоморфизм соответствующих касательных пространств
(почему?). Пусть на поверхностях $M,Q$ заданы римановы метрики; тогда в
каждом касательном пространстве к любой из этих поверхностей определено
скалярное произведение.

 \definition {Определение}
Диффеоморфизм $f: M\to Q$ называется изометрией, если дифференциал этого
отображения $d_Pf$ в произвольной точке $P\in M$ сохраняет скалярное
произведение касательных векторов, т.е. является ортогональным оператором
из $T_PM$ в $T_{f(P)}Q$.
Две поверхности $M,Q$ называются изометричными, если между ними существует
 изометрия.
 \enddefinition

Пусть на поверхностях $M,Q$ заданы координаты $u,v$ соответственно, и
$f:M\to Q$ --- диффеоморфизм. Это отображение задается гладкими функциями
$v^i(u)$, а обратное отображение --- гладкими функциями $u^i(v)$. Пусть
$g_{ij}(u)$ и $\wt g_{ij(v)}$ --- матрицы римановых метрик на $M$ и $Q$
соответственно. Поскольку
$$
df(r_i)=\sum_{j=1}^n\frac{\pa v^j}{\pa u^i}\rho_j
$$
(проверьте!), отображение $f$ будет изометрией, если
 $$
g_{ij}=(r_i,r_j)=(df(r_i),df(r_j))=
\sum_{k,m=1}^n\frac{\pa v^k}{\pa u^i}\frac{\pa v^m}{\pa
u^j}(\rho_k,\rho_m)= \sum_{k,m=1}^n\frac{\pa v^k}{\pa u^i}\frac{\pa v^m}{\pa u^j}\wt
g_{km}.
 $$

Таким образом, {\it для того, чтобы проверить, что отображение является
изометрией, надо подставить в выражение}

$$
\wt ds^2=\sum_{i,j=1}^n\wt g_{ij}dv^idv^j
 $$

{для римановой метрики на поверхности $Q$ функции $v^i(u)$, задающие
отображение (при этом, как обычно, функционалы $dv^i$ преобразуются как
дифференциалы этих функций).}

 \Remark {Замечание}
Полученный закон преобразования метрики при отображении $f$ можно считать
определением изометрии (проверьте!)
\endRemark

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \subhead 4. Геометрия, порожденная римановой метрикой, и свойства
изометрий \endsubhead
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Пусть на поверхности $M$ задана риманова метрика $g$. Тогда на ней
возникает геометрия --- можно вычислять длины кривых и углы между ними,
используя билинейную форму $g$ в качестве скалярного произведения
касательных векторов. Далее, наличие метрики позволяет определить на $M$
ковариантные производные. Именно, пусть $u^1,\dots, u^n$ --- координаты
на поверхности; определим набор символов Кристоффеля стандартными формулами
 $$
\G_{ij}^k=\sum_{k,m=1}^n\frac12g^{km}(\frac{\pa g_{im}}{\pa u^j}+\frac{\pa
g_{jm}}{\pa u^i}-\frac{\pa g_{ij}}{\pa u^m}).
 $$
Теперь, если $a=\sum a^ir_i$ --- векторное поле, а $b=\sum b^jr_j$ ---
касательный вектор к поверхности, назовем ковариантной производной поля
$\xi$ вдоль вектора $b$ касательный вектор
 $$
\n_ba=\sum_{i,j=1}^nb^j(\frac{\pa a^i}{\pa u^j}+\sum_{k=1}^n\G_{jk}^i
a^k)r_i.
 $$
  \proclaim {Задача}
Доказать, что вектор $\n_b a$ не зависит от выбора координат $u$.
 \endproclaim

После того, как определены ковариантные производные, точно так
же, как и ранее, определяются параллельные семейства векторов,
параллельный перенос векторов и геодезические линии. Все эти объекты и
операции, определяющие геометрические свойства поверхности, строятся,
таким образом, исходя только из римановой метрики.

Пусть теперь между двумя поверхностями с римановой метрикой существует
изометрия. Отметим, что закон преобразования метрик при изометрии в
точности совпадает с законом ее преобразовании при замене координат на
поверхности.  Это не удивительно
 --- при изометриях сохраняются длины кривых и углы между кривыми,
т.е.
 геометрия на поверхностях, между которыми задана изометрия, в точности
 одинакова. Поэтому при изучении этой геометрии такие поверхности можно не
 различать --- точки этих поверхностей отождествляются друг с другом
 при помощи изометрии; при этом координаты $u,v$ надо интерпретировать
 как разные координаты на одной и той же поверхности.
Заметим, что, поскольку символы Кристоффеля
выражаются только через первую квадратичную форму поверхности, а она при
изометрии сохраняется, то параллельные семейства векторов при изометрии
переходят в параллельные семейства.  Поэтому параллельный перенос на
изометричных поверхностях устроен одинаково:  если кривая $\g$ соединяет
точки $P$ и $Q$ на поверхности $M$, а вектор $a$ касается этой поверхности
в точке $P$, то результат параллельного переноса вектора $df_P(a)$ из
точки $f(P)$ в точку $f(Q)$ вдоль кривой $f(\g)$ равен $df_Q(b)$, где $b$
--- результат параллельного переноса вектора $a$ из точки $P$ в точку $Q$
вдоль кривой $\g$.  Наконец, по той же самой причине геодезические при
изометриях переходят в геодезические.



 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
   \subhead 5. Группа изометрий римановой метрики \endsubhead
   %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Ясно, что каждая поверхность, снабженная римановой метрикой, изометрична
сама себе --- тождественное отображение, очевидно, является изометрией.
Очень важным при изучении поверхностей является следующий вопрос:
существуют ли другие изометрии поверхности на себя, и если да, то какие?
  Каждая такая изометрия определяет ``симметрию''  поверхности с точки
  зрения возникающей на ней геометрии: геометрия в областях, переводимых
  изометрией друг в друга, одинакова. Чем больше изометрий, тем
  ``симметричнее'' поверхность; на поверхностях с самым большим запасом
  изометрий геометрия в окрестности любой точки устроена одинаково.
  Отметим, что множество всех изометрий данной поверхности с римановой
  метрикой образует группу относительно композиции отображений
  (докажите!).

  \definition {Определение}
  Эта группа называется группой изометрий римановой метрики.
   \enddefinition

 Найдем группу изометрий двумерной плоскости со стандартной евклидовой
  метрикой.
   \proclaim {Теорема }
 Изометриями евклидовой плоскости являются аффинные преобразования вида
 $$
\xi\to a+A\xi,
   $$
  где $\xi$ --- точка плоскости (т.е. двумерный вектор с координатами
  $x,y$, $a$ --- произвольный двумерный вектор, $A$ --- ортогональная
  $2\times 2$--матрица).
  \endproclaim

   \proof
 Ясно, что параллельные переносы и ортогональные преобразования сохраняют
   скалярное произведение касательных векторов, поэтому все отображения
   указанного в теореме вида являются изометриями. Докажем, что других
   изометрий нет. Прежде всего заметим, что каждая изометрия однозначно
   определяется тем, куда она переводит фиксированную точку $P$ плоскости и
   фиксированный ортонормированный репер $e_1,e_2$ в касательном
   пространстве в этой точке (другими словами, если существует изометрия,
   совмещающая между собой два таких набора (точка, репер), то эта
   изометрия единственна).  Действительно пусть $Q$ --- произвольная точка
   плоскости, $r$ --- расстояние от нее до $P$, и $\a_1,\a_2$ --- углы
между
   лучом $PQ$ и векторами $e_1,e_2$ соответственно. Тогда, поскольку длины
   кривых и углы между ними при изометрии сохраняются, и, кроме того,
   прямые переходят в прямые, образ $f(Q)$ точки $Q$ будет лежать на луче,
   выходящем из точки $f(P)$ под углами $\a_1,\a_2$ к векторам репера
   $d_Pf(e_1),d_Pf(e_2)$ и на расстоянии $r$ от $f(P)$. Этими данными
   образ произвольной точки (а значит, и все отображение $f$) определяется
   однозначно. Пусть теперь $f$ --- произвольная изометрия; зафиксируем
   точку $P$ и репер $e_1,e_2$, торчащий в этой точке. Заметим, что всегда
   существует композиция параллельного переноса и ортогонального
   преобразования, переводящая $P$ в $f(P)$ и репер $e_1,e_2$ в
   репер $d_Pf(e_1),d_Pf(e_2)$ (надо сперва устроить параллельный перенос
   на вектор $\Vec{Pf(P)}$, а затем совместить два торчащих в одной
точке
   ортонормированных репера ортогональным преобразованием). По только что
   доказанному свойству единственности, эта композиция и есть изометрия
   $f$.
    \endproof
    \Remark {Замечание}
Изометрии плоскости делятся на два типа: собственные ($\op{det}A=1$) и
    несобственные $\op{det}A=-1$. Собственные изометрии --- повороты
    вокруг некоторой точки  и параллельные переносы. Несобственные --- это
    скользящие симметрии (осевые симметрии с одновременным параллельным
    переносом на некоторый вектор, параллельный оси симметрии). Это
утверждение называется {\it теоремой Шаля}.
     \endRemark

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \head Задачи \endhead
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

1. Доказать, что развертка цилиндрической поверхности  на плоскость ---
изометрия.

2. Доказать, что развертка конуса  на плоскость ---
изометрия.

3. Доказать, что отображение $\f=v+\op{arctg}\rho,\quad
r^2=\rho^2+1$ - изометрия коноида
$x=\rho\op{cos}v,y=\rho\op{sin}v,z=\rho+v$ и гиперболоида
$x=r\op{cos}\f,y=r\op{sin}\f,z=\sqrt{r^2-1}$.

4. Найти группу изометрий сферы.

5. Доказать, что существует поверхность вращения, изометричная винтовой
поверхности $x=u\op{cos}v,y=u\op{sin}v,z=F(u)+av$, причем при изометрии
винтовые линии переходят в параллели.

6. Найти поверхность вращения, изометричную геликоиду
$x=u\op{cos}v,y=\op{sin}v,z=av$.

7. Доказать, что поверхности
$x=\rho\op{cos}v,y=\rho\op{sin}v,z=a(\op{ln}(\rho/a)+v)$ и
$x=r\op{cos}\f,y=r\op{sin}\f,z=a\sqrt2(\op{ln}r+\sqrt{r^2-a^2})$
изометричны.


   \enddocument




