1) Для заданной гладкой кривой γ и произвольной ее точки γ[t] найти кривую второго порядка δ[s], проходящую через γ[t] и приближающую γ с четвертым порядком (при некоторой параметризации кривой δ производные этих кривых вплоть до четвертого порядка совпадают). Отметим, что такая кривая δ однозначно определена. Визуализировать изменение кривой δ при изменении точки γ[t].

2) Эволютой или каустикой регулярной кривой называется множество ее центров кривизны. Далее, кривая δ, перпендикулярная ко всем касательным некоторой гладкой кривой γ, называется  эвольвентой этой кривой. Отметим, что эволюта определена однозначно, в то время как эвольвент, вообще говоря, много (эвольвента зависит от своей начальной точки). Для заданной гладкой кривой построить семейство ее эвольвент, динамически зависящее  от параметра. Проиллюстрировать теорему о том, что исходная кривая является одной из эвольвент своей эволюты.

3) Построить график гладкой функции, проходящей через заданные локаторами (Locator) точки. Для двух таких функций f[t] и g[t] построить кривую с кривизной f[t] и кручением g[t]. Реализацию кривой выполнить таким образом, чтобы изменение функций f и g посредством смещения локаторов мгновенно приводило бы к пересчету соответствующей кривой и визуализации ее обновления.

4) Докажите, что кривые постоянной кривизны параметризуются кривыми на сфере. Визуализируйте задание кривых на сфере с помощью развертки сферы и локаторов. По каждой такой кривой вычислите соответствующую пространственную кривую постоянной кривизны. Реализацию сделайте такой, чтобы изменения сферической кривой приводили к мгновенным изменением соответствующей пространственной кривой.

5) Докажите, что кривые постоянного кручения параметризуются кривыми на сфере. Визуализируйте задание кривых на сфере с помощью развертки сферы и локаторов. По каждой такой кривой вычислите соответствующую пространственную кривую постоянного кручения. Реализацию сделайте такой, чтобы изменения сферической кривой приводили к мгновенным изменением соответствующей пространственной кривой.

Определение. Эквидистантой или, более точно, ϵ-эквидистантой параметрически заданной регулярной поверхности r(u,v) с полем нормалей N(u,v) называется поверхность 
ρ(u,v) = r(u,v) + ϵ N(u,v). Ясно, что при малых ϵ эквидистанта регулярна. С ростом ϵ могут возникать точки, в которых регулярность нарушается - так называемые особые точки.

6) Для поверхности, заданной параметрически, динамически визуализировать волновой фронт (эквидистанту, меняющуюся при смещении ползунка). Визуализируйте среднюю и гауссовы кривизны эквидистант, раскрасив поверхность в соответствие с этими функциями. Исследуйте поведение этих функций в окрестностях особенностей эквидистант.

7) Для поверхности, заданной параметрически, динамически визуализировать волновой фронт (эквидистанту, меняющуюся при смещении ползунка). Раскрасьте поверхность в три цвета в зависимости от типа точек (эллиптический, гиперболитеский, параболический). (Точка регулярной поверхности называется эллиптической, если главные кривизны положительны, гиперболической, если они разного знака, но не нулевые, параболической - в остальных случаях.) Исследуйте поведение этих типа в окрестностях особенностей эквидистант.

8) Для поверхности, заданной параметрически, динамически визуализировать волновой фронт (эквидистанту, меняющуюся при смещении ползунка), а также семейство линий кривизны на этих эквидистантах. (Кривая на поверхности называется линией кривизны, если ее вектор скорости в каждой точке направлен вдоль главного направления.) Что происходит с линиями кривизны при возникновении особенностей на эквидистантах?

9) Для поверхности, заданной параметрически, динамически визуализировать волновой фронт (эквидистанту, меняющуюся при смещении ползунка), а также семейство асимптотических линий на этих эквидистантах. (Напрвление, обнуляющее вторую квадратичную форму поверхности, называется асимптотическим. Кривая на поверхности называется асимптотической линией, если ее вектор скорости в каждой точке направлен вдоль асимптотического направления. Отметим, что в области эллиптических точек ассимптотических линий нет, в области гиперболических - через каждую точку проходит две такие линии, а в области параболических - одна.) Что происходит с асимптотическими линиями при возникновении особенностей на эквидистантах?

10) Для поверхности, заданной графиком функции, визуализировать плоское нормальное сечение при динамически меняющихся направлении и точке (визуализировать также точку на поверхности). Построить меняющийся в зависимости от точки график кривизны со знаком как функции направления сечения. При каждом конкретном сечении отметить на построенном графике соответствующую точку, а также точки, соответствующие главным направлениям. Проиллюстрируйте справедливость формулы Эйлера.

11) Для поверхности, заданной графиком функции, визуализировать плоское сечение, проходящее через фиксированную точку поверхности, при динамически меняющихся направлении сечения и нормали n в плоскости сечения к направлению этого сечения (визуализировать точку  и нормаль n). Построить меняющийся в зависимости от направления график кривизны со знаком как функции нормали n. При каждом конкретном сечении отметить на построенном графике соответствующую точку, а также точку, соответствующую нормальному сечению. Проиллюстрируйте справедливость теоремы Менье.

12) Для данной поверхности изобразите каустику (множество центров кривизны). Реализуйте там же распространение волнового фронта (семейство эквидистант). На примере эллипсоида убедитесь, что особенности всех волновых фронтов образуют каустику.

13) Для замкнутой кривой (заданной линией уровня функции) написать динамическую модель биллиарда. Реализовать динамическую зависимость поведения биллиарда от формы кривой, меняющейся при изменении параметров функции. Предусмотреть возможность запоминания траектории и ее визуализацию.

14) Геодезической на поверхности называется регулярная кривая, ускорение которой перпендикулярно поверхности. Для данной поверхности визуализировать геодезическую, выходящую из данной точки в данном направлении. Обеспечить динамическое изменение точки, направления и длины геодезической. Изучить поведение геодезических на поверхности вращения (визуализироваьт теорему Клеро об угле между геодезической и мередианом).

15) Геодезической на поверхности называется регулярная кривая, ускорение которой перпендикулярно поверхности. Для данной поверхности визуализировать геодезическую, соединяющую две данных точки. Обеспечить динамическое изменение точек. Построить поверхность, на которой некоторые две точки соединяются более чем одной геодезической. Визуализировать эти точки и геодезические.

16) Реализовать динамическую модель многогранника заданной структуры, координаты вершин которого можно менять интерактивно. Реализовать движение точечной массы вдоль поверхности многогранника по геодезической (на грани - вдоль отрезка прямой; переход с грани на грань - прямолинейный на соответствующей развертке). Траектория должна чувствовать изменение координат вершин многогранника. Предусмотреть возможность запоминания траектории и ее визуализацию.

17) Визуализировать плоские сечения многогранников, заданные тремя точками, каждая из которых лежит на некотором ребре. Предусмотреть динамическую зависимость сечения от положения точек на ребрах и от координат вершин многогранников. Определить максимальное число сторон сечения для заданного многогранника.

18) Визуализируйте связь между точками и прямыми геометрии Лобачевского в модели на псевдосфере, модели Пуанкаре (стереографическая проекция на круг) и модели верхней полуплоскости. Обеспечить динамическую связь точек и прямых.

19) Визуализируйте связь между точками и прямыми геометрии Лобачевского в модели на псевдосфере, модели Пуанкаре и модели Клейна (центральная проекция на плоскость, касающуюся псевдосферы в ее полюсе). Обеспечить динамическую связь точек и прямых.

20) Задайте трехпараметрическую группу собственных  движений плоскости Лобачевского с помощью Manipulate. Реализуйте возможность задания и деформации многоугольника на плоскости Лобачевского с помощью мышки. Предусмотрите возможность изменения заданного многоугольника под действием группы изометрий (при смещении ползунков).

Определение. Движение плоскости Лобачевского называется гиперболическим, эллиптическим или ипараболическим, если оно имеет 2, 0 и 1 неподвижную точку на абсолюте, соответственно. Гиперболическое движение называется сдвигом. Оно переводит в себя ровно одну прямую на плоскости Лобачевского, а именно, прямую, соединяющую неподвижные точки на абсолюте. Каждая точка этой прямой (оси сдвига) смещается вдоль этой прямой на одно и то же расстояние, называемое величиной сдвига. Эллиптическое движение однозначно задается неподвижной точкой в конечной области плоскости Лобачевского. Оно переводит друг в друга прямые, проходящие через эту точку и задается углом поворота.  Наконец, параболическое движение переводит лруг в друга прямые, проходящие через его неподвижную точку на абсолюте. Оно задается величиной угла между такой прямой и ее оброазом.

21) Задайте гиперболический сдвиг (заданный своей осью и величиной смещения), эллиптическое преобразование (определенное неподвижной точкой и углом поворота), параболический сдвиг (заданный неподвижной точкой на абсолюте и величиной сдвига).
Визуализируйте эти преобразования на примере их действия на некоторый треугольник. Изобразить соотвествующие инвариантные пучки геодезических и орициклов.

22) На плоскости Лобачевского визуализируйте треугольник с углами велчины π/p, π/q, π/r, где 1/p+1/q+1/r<1. Проиллюстрируйте теорему о том, что плоскость Лобачевского допускает замощение изометричными образами этого треугольника. Предусомтрите возможность изменения параметров p, q и r, а также "начального" положения треугольника. Подобрать p, q, и r там, чтобы построенное замощение порождало замощение плоскости Лобачевского 4g-угольниками с суммарным углом 2π такими, что их стороны с номерами i и i+2g имеют одинаковые длины. Визуализируйте полученнное замощение.

23) Визуализировать склейку тора из квадрата. Проиллюстрировать его ориентируемось, протащив репер вдоль петель, соответствующих сторонам квадрата.

24) Визуализировать склейку бутылки Клейна из квадрата. Проверить ее неориентируемось, протащив вдоль некоторой петли репер так, чтобы он изменил ориентацию.

25) Визуализировать склейку проективной плоскости из квадрата. Проверить ее неориентируемось, протащив вдоль некоторой петли репер так, чтобы он изменил ориентацию.

26) Визуализируйте скрученную полосу (0-скрученная полоса - цилиндр; однократно скрученная полоса - лист Мебиуса; двукратно скрученная полоса гомеоморфна цилиндру). Визуализируйте кратное разрезание скрученной полосы (т.е. ее и полученных при разрезании скрученных полос) вдоль средних линий. Визуализируйте тест на ориентируемость непрерывным перемещением (с помощью ползунка) репера вдоль средней линии полученной скрученной полосы.

27) Разрезать бутылку Клейна и убедиться, что она составлена из двух листов Мебиуса. Вырезать из проективной плоскости диск и убедиться, что оставшаяся часть - лист Мебиуса.

28) Реализовать на поверхности вращения графика функции локсодрому (кривую, пересекающую мередианы под заданным углом). Предусмотреть динамическое изменение угла, длины кривой, начальной точки.

29) Визуализировать деформацию сферы с ручкой и листом Мебиуса в сферу с тремя листами Мебиуса. Продемонстрировать неориентируемость. 

30) Визуализировать приклейку листа Мебиуса к сфере с дыркой. Получить так проективную плоскость и бутылку Клейна.