1) Вложение тора в четырехмерное евклидово пространство задано формулой r[u,v] = {Cos[u], Sin[u], Cos[v], Sin[v]}. Визуализировать проекцию этого тора на различные трехмерные пространства, задаваемые динамически координатами своих нормалей. Обратите внимание на наличие самопересечений и проверьте, можно ли, меняя плоскость проекции, от них избавиться.

2) Поверхность Веронезе задается формулами {((x y)/(Sqrt[3])),((y z)/(Sqrt[3])),((x z)/(Sqrt[3])),(((x^2)-(y^2))/(2(Sqrt[3]))),(((x^2)+(y^2)-2(z^2))/6)}, где (x^2)+(y^2)+(z^2)=1. Известно, что эта поверхность задает гладкое вложение проективной плоскости в пятимерное евклидово пространство. Визуализируйте проекцию поверхности Веронезе на различные трехмерные пространства, задаваемые динамически координатами своих нормалей. Подберите параметры так, чтобы образ этой проекции представлял собой скрещенный колпак - стандартное представление погружения проективной плоскости в трехмерное пространство.

3) Поверхность в четырехмерном евклидовом пространстве задается формулами {x y,y z,x z,(x^2)-(y^2)}, где (x^2)+(y^2)+(z^2)=1. Известно, что эта поверхность задает гладкое вложение проективной плоскости. Визуализируйте проекцию этой поверхности на различные трехмерные пространства, задаваемые динамически координатами своих нормалей. Подберите параметры так, чтобы образ этой проекции представлял собой скрещенный колпак - стандартное представление погружения проективной плоскости в трехмерное пространство.

4) Кривая на поверхности вращения, проходящая под одним и тем же улом к параллелям, называется локсодромией. Визуализировать локсодромию на стандартной двумерной сфере, выходящую из данной точки в данном направлении.  Предусмотреть возможность динамического изменения начальной точки и начального направления.

5) Кривая на поверхности вращения, проходящая под одним и тем же улом к параллелям, называется локсодромией. Визуализировать локсодромию поверхности {u Cos[v], u Sin[v], Log[u+(Sqrt[(u^2)-1])]}, выходящую из данной точки в данном направлении.  Предусмотреть возможность динамического изменения начальной точки и начального направления.

6) Круг радиуса a катится по прямой без скольжения. Точка M жестко связана с кругом и находится на расстоянии d от центра. Визуализировать движение точки M и ее траекторию в зависимости от времени и параметра d, задаваемых динамически. Вывести уравнения полученных кривых (циклоид).

7) Круг радиуса a катится по окружности радиуса b без скольжения, оставаясь вне ее. Точка M жестко связана с кругом и находится на расстоянии d от центра. Визуализировать движение точки M и ее траекторию в зависимости от времени и параметров d и b, задаваемых динамически. Вывести уравнения полученных кривых (эпициклоид).

8) Круг радиуса a катится по окружности радиуса b без скольжения, оставаясь внутри ее, b меньше чем a. Точка M жестко связана с кругом и находится на расстоянии d от центра. Визуализировать движение точки M и ее траекторию в зависимости от времени и параметров d и b, задаваемых динамически. Вывести уравнения полученных кривых (гипоциклоид).

9) Центром кривизны бирегулярной кривой γ (скорость и ускорение линейно независимы в каждой точке) называются точки γ + ((<γ',γ'>)/(<γ'',N>))N, где N - поле ненулевых нормалей к кривой γ. Величина |((<γ',γ'>)/(<γ'',N>))N| называется радиусом кривизны. Окружность, центр и радиус которой совпадают соответственно с центром и радиусом кривизны, называется соприкасающейся окружностью. Визуализировать соприкасающиеся окружности, динамически зависящие от параметра кривой, и нарисовать множество центров кривизны. В качестве кривой γ рассмотреть эллипс, полуоси которого также задать динамически. Вычислить порядок касания соприкасающейся окружности и кривой.

10) Рассмотрим параметрическую поверхность {x,a (z^3)+b (x^2)+x z,z}, где a и b – параметры. Изобразить эту поверхность, кривую особых точек ее проекции на плоскость {x,y}, а также образ γ этой кривой при такой проекции. Можно ли подобрать значения параметров так, чтобы γ не имела особенностей?

11) Модель Лотка-Вольтерра описывает систему хищник-жертва с помощью уравнений x' = k x - a x y, y' = -l x+b x y при условии x ≥ 0, y ≥ 0, k > 0,  l > 0, a > 0, b > 0. Здесь x - количество жертв, а y - хищников. Изобразить на плоскости xy соответствующее векторное поле (динамически зависящее от параметров), а также решение этой системы, динамически зависящее от начального условия (заданного локатором). Продемонстрировать, что существуют значения параметров, при которых особая точка {l/b, k/a} устойчива, а также и такие значения, при которых эта точка неустойчива.

12) Пусть r[u,v] - регулярная поверхность, и N - поле единичных нормалей к ней. Матричная функция G[u,v]=(({{<(Subscript[r, u]),(Subscript[r, u])>, <(Subscript[r, u]),(Subscript[r, v])>}, {<(Subscript[r, v]),(Subscript[r, u])>, <(Subscript[r, v]),(Subscript[r, v])>}})) называется первой фундаментальной формой поверхности, а матричная функция Q[u,v]=(({{<(Subscript[r, uu]),N>, <(Subscript[r, uv]),N>}, {<(Subscript[r, vu]),N>, <(Subscript[r, vv]),N>}}))  - второй фундаментальной формой это поверхности. Функция K[u,v] = ((det Q[u,v])/(det G[u,v])) называется гауссовой кривизной. Для поверхности z=(x^2)-(y^2) реализовать вычисление гауссовой кривизны в точке поверхности, заданной двумерным слайдером. Величину кривизны визуализировать как цветом точки, так и значением, выводимым в отдельном окне.

13)  Поверхность задана параметрически так: r[u,v] = {Sin[u],(3+Cos[u])Cos[v],(5+Cos[u])Sin[v]}, где u и v меняются на отрезке [0,2π]. Функция f  сопоставляет точке поверхности ее третью координату. Визуализировать изменение прообраза (f^(-1))((-∞,c]) в зависимости от динамически меняющегося параметра c. При каких значениях параметра c  меняется топология поверхности (f^(-1))((-∞,c])?

14)  На однополостном гиперболоиде (x^2)+(y^2)-(z^2)=1 визуализировать прямолинейные образующие, проходящие через динамически заданную точку поверхности. Положение точки задать двумерным слайдером. Проиллюстрировать теорему: любые две образующие одного семейства скрещиваются, а разных - или пересекаются или параллельны.

15)  На гиперболическом параболоиде (x^2)-(y^2)=2z визуализировать прямолинейные образующие, проходящие через динамически заданную точку поверхности. Положение точки задать двумерным слайдером. Проиллюстрировать теорему: любые две образующие одного семейства попарно скрещиваются и параллельны одной плоскости, а разных - пересекаются.

16)  Проиллюстрировать следующую теорему: точки пересечения диагоналей любых четырехугольников, образованных секущими  эллипса, проведенными из одной точки P, лежат на одной прямой. Предусмотреть возможность динамически изменять точку P, количество секущих, их направления (проводить секущую через пару локаторов), а также полуоси эллипса.