Задача №1.6 ( А. Кушнир, В. Лавров, 203 группа, 2011/12 уч.гг.)

Найти все a ϵ (-(π/2), 0), при которых уравнение (Sqrt[2cos(x+a)-1])=sin(6x)-1 имеет хотя бы один корень. Визуализировать зависимость от параметра с помощью Manipulate.

С помощью Manipulate рассмотрим поведение графиков левой и правой частей уравнения в зависимости от параметра. Пересечение графиков будет означать существование корней исходного уравнения.

Manipulate[Show[
Plot[{Sqrt[2Cos[x+a]-1],Sin[6x]-1},{x,-π,π},
PlotStyle->{Directive[Darker[Blue],Thick],Darker[Red]},
AxesStyle->Directive[Arrowheads[{0.03}],Darker[Green]],
AxesLabel->{x,y},
Background->LightYellow],
Graphics[Text[Style["y=(Sqrt[2  cos (x + a) - 1])",18,Black],{-a - 0.11,0.35}]],
Graphics[Text[Style["y=sin(6x)-1",23,Bold,Black],{1.5,-1.0}]]
],
{a,-π/2,0}]

Найдем значения параметра, удовлетворяющие условию:

Из получившейся картинки замети, что их будет два.

Reduce[Exists[x, Sqrt[2Cos[x+a]-1]==Sin[6x]-1]&&-(π/2)≤a≤0,a,Reals]

N[%]

Проверка.

Убедимся, что при найденных значениях корни действительно существуют:

Show[Plot[{Sqrt[2Cos[x-1.3089969389957472`]-1],Sin[6x]-1},{x,-π,π},
ColorFunction->Function[{x,y},Hue[y]],
AxesStyle->Directive[Arrowheads[{0.03}],Gray],
AxesLabel->{x,y}
] ,
Graphics[Text[Style["a = -1.309",18,Black],{-2,0.5}]]
]

Show[Plot[{Sqrt[2Cos[x-0.26179938779914946`]-1],Sin[6x]-1},{x,-π,π},
ColorFunction->"Rainbow",
AxesStyle->Directive[Arrowheads[{0.03}],Gray],
AxesLabel->{x,y}
] ,
Graphics[Text[Style["a = -0.2618",18,Black],{-2,0.5}]]
]